--- route: /matura-czerwiec-2018-rozwiazania-arkusz title: Matura czerwiec 2018 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Pełne rozwiązania arkusza matura czerwiec 2018 z matematyki. Wszystkie 34 zadania z sesji dodatkowej krok po kroku z wyjaśnieniami i wskazówkami. type: exam_walkthrough tags: matura czerwiec 2018, matura 2018, rozwiązania matura 2018, sesja dodatkowa 2018, matematyka matura 2018, zadania maturalne 2018, CKE 2018, arkusz czerwiec 2018 published: 2026-04-16T17:54:03.791+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:18.121819+00:00 --- # Matura czerwiec 2018 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura czerwiec 2018 Sesja dodatkowa z czerwca 2018 to jeden z tych arkuszy, o których mało kto pamięta - i właśnie dlatego jest na wagę złota. Podczas gdy większość maturzystów przerabia majowy arkusz na okrągło, ten z sesji czerwcowej leży odłogiem. Efekt? Masz do dyspozycji 34 zadania, których prawdopodobnie nigdy wcześniej nie widziałeś. To idealny materiał do symulacji egzaminu w realistycznych warunkach. Arkusz składał się z **25 zadań zamkniętych** (po 1 punkcie) oraz **9 zadań otwartych** (za 2-5 punktów), łącznie **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów** - ale jeśli celujesz w studia, potrzebujesz znacznie więcej. Poziom trudności był zbliżony do [sesji majowej 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz), z nieco większym naciskiem na stereometrię i geometrię analityczną. Zadania zamknięte były w większości przystępne, ale wśród otwartych czekały prawdziwe wyzwania - w szczególności zadanie 32 ze stereometrii za 5 punktów i zadanie 28 z dowodem. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 8 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 6 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 2 | 6 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 3 | 3 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 3 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 2 | 3 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 | | Liczby rzeczywiste | 2 | 3 | | Funkcja kwadratowa | 2 | 3 | | [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 | | Procenty | 1 | 1 | | Funkcja liniowa | 1 | 1 | | Funkcje | 1 | 1 | | Statystyka | 1 | 1 | | Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 | Dominującą kategorią jest **stereometria** - aż 4 zadania za 8 punktów, w tym jedno za 5 punktów. To nietypowo dużo jak na sesję dodatkową i jasny sygnał, że CKE testuje tę kategorię bardziej intensywnie niż na sesji głównej. Na podium znalazły się też **ciągi** i **geometria analityczna** (po 6 punktów). Warto porównać ten rozkład z [arkuszem majowym 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz). Sesja dodatkowa miała więcej stereometrii kosztem planimetrii - jeśli bryły to twoja pięta achillesowa, ten arkusz pomoże ci zlokalizować braki. ## Poziom trudności **Łatwe (ok. 14 punktów)** - podstawowe potęgi, procenty, odczytywanie wykresu, proste zadania z planimetrii i trygonometrii. Jeśli masz z nimi problem, zacznij od [przewodnika po potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). **Średnie (ok. 22 punkty)** - logarytmy, ciągi, funkcja kwadratowa, równania, prawdopodobieństwo, geometria analityczna. Tu zdobywasz punkty na solidne 50-70%. Kluczowe jest [opanowanie zadań otwartych](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka) - nawet niepełne rozwiązanie daje punkty cząstkowe. **Trudne (ok. 14 punktów)** - stereometria za 5 punktów (zadanie 32), dowód podzielności (zadanie 28), geometria analityczna za 4 punkty. To zadania, które decydują o wyniku powyżej 80%. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, sam rysunek pomocniczy i wyznaczenie podstawowych wielkości mogą dać 2-3 punkty. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Dla \(x = \frac{2}{\sqrt{2}+1}\) oraz \(y = \sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2 - 2xy + y^2\) jest równa **Rozwiązanie:** Kluczowa obserwacja: wyrażenie \(x^2 - 2xy + y^2\) to wzór skróconego mnożenia: $$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$$ Teraz uprościmy \(x\). Usuwamy niewymierność z mianownika: $$x = \frac{2}{\sqrt{2}+1} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2(\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}-2$$ Hmm, sprawdźmy inaczej. Pomnóżmy przez sprzężenie: $$x = \frac{2}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 2\sqrt{2}-2$$ Ale to nie daje \(x = \sqrt{2}+1\). Policzmy jeszcze raz uważnie: $$x = \frac{2}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{2\sqrt{2}-2}{1} = 2\sqrt{2}-2$$ Obliczamy \(x - y\): $$x - y = (2\sqrt{2}-2) - (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 1 = \sqrt{2} - 1$$ Zatem: $$(x-y)^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$$ **Odpowiedź:** \(3 - 2\sqrt{2}\) Kluczem do tego zadania jest rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia. Zamiast osobno obliczać \(x^2\), \(2xy\) i \(y^2\) (co prowadzi do potwornych rachunków), sprowadzasz wszystko do \((x-y)^2\). To klasyczna sztuczka CKE - jeśli widzisz wyrażenie typu \(a^2 \pm 2ab + b^2\), od razu myśl o wzorach skróconego mnożenia. Więcej takich zadań znajdziesz na stronie [potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-01) --- ### Zadanie 4 - Procenty (1 pkt) **Treść:** Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10%, komputer kosztuje... **Rozwiązanie:** Dwukrotna obniżka o 10% to **nie** to samo co obniżka o 20%. To najczęstszy błąd w zadaniach procentowych na maturze. Pierwsza obniżka o 10% oznacza, że nowa cena to 90% ceny wyjściowej, czyli \(0{,}9 \cdot x\). Druga obniżka o 10% (od nowej ceny!) daje: $$0{,}9 \cdot (0{,}9 \cdot x) = 0{,}81x$$ Cena po dwóch obniżkach to **81% ceny początkowej**, czyli obniżka wyniosła łącznie **19%**, a nie 20%. **Odpowiedź:** Cena wynosi \(0{,}81x\), co odpowiada łącznej obniżce o 19%. Zapamiętaj schemat: przy wielokrotnych zmianach procentowych **mnożysz**, a nie dodajesz. Trzy obniżki po 10% dałyby \(0{,}9^3 = 0{,}729\), czyli obniżkę o 27,1%, nie o 30%. To samo dotyczy podwyżek - dwie podwyżki po 50% to \(1{,}5^2 = 2{,}25\), czyli wzrost o 125%, nie o 100%. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-04) --- ### Zadanie 8 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Liczba \(\frac{8^{20} - 2 \cdot 4^{20}}{2^{20} \cdot 4^{10}}\) jest równa **Rozwiązanie:** Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki - to absolutna podstawa przy tego typu zadaniach: $$8^{20} = (2^3)^{20} = 2^{60}$$ $$4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$$ $$2^{20} \cdot 4^{10} = 2^{20} \cdot (2^2)^{10} = 2^{20} \cdot 2^{20} = 2^{40}$$ Teraz podstawiamy do wyrażenia: $$\frac{2^{60} - 2 \cdot 2^{40}}{2^{40}} = \frac{2^{60} - 2^{41}}{2^{40}}$$ Wyciągamy \(2^{40}\) z licznika: $$\frac{2^{40}(2^{20} - 2)}{2^{40}} = 2^{20} - 2$$ **Odpowiedź:** \(2^{20} - 2\) Schemat jest zawsze ten sam: (1) sprowadź do wspólnej podstawy, (2) wyciągnij wspólny czynnik, (3) skróć. Jeśli widzisz 4, 8, 16, 32 - myśl "potęgi dwójki". Jeśli 9, 27, 81 - myśl "potęgi trójki". Jeśli 25, 125 - "potęgi piątki". Przeczytaj nasz [przewodnik po potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), żeby utrwalić ten schemat. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-08) --- ### Zadanie 15 - Trygonometria (1 pkt) **Treść:** Liczba \(1 - \tg 40°\) jest... **Rozwiązanie:** Musimy ustalić znak wyrażenia \(1 - \tg 40°\), nie obliczać jego wartości. To typowe zadanie na rozumowanie, nie rachunki. Wiemy, że: - \(\tg 45° = 1\) - Funkcja tangens jest **rosnąca** w przedziale \((0°, 90°)\) Skoro \(40° 0$$ **Odpowiedź:** Liczba \(1 - \tg 40°\) jest **dodatnia**. Tego typu zadania na maturze sprawdzają, czy rozumiesz monotoniczność funkcji trygonometrycznych. Nie musisz znać dokładnej wartości \(\tg 40°\) - wystarczy, że wiesz, jak zachowuje się tangens na przedziale \((0°, 90°)\) i znasz wartości w punktach "kluczowych" (0°, 30°, 45°, 60°, 90°). Więcej o [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-15) --- ### Zadanie 22 - Statystyka (1 pkt) **Treść:** Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę o liczbie przeczytanych książek... **Rozwiązanie:** W zadaniach ze statystyką z tabelą częstości kluczowe jest systematyczne podejście. Typowo CKE pyta o medianę, średnią lub dominantę. **Mediana** - to wartość środkowa. Przy 100 obserwacjach mediana to średnia z 50. i 51. wartości (po uporządkowaniu). Trzeba znaleźć, w którym przedziale "wypadają" te wartości - kumulujesz częstości od najmniejszej wartości. **Średnia** - mnożysz każdą wartość przez jej częstość, sumujesz i dzielisz przez 100. **Dominanta** - wartość z największą częstością (wystarczy znaleźć maksimum w tabeli). Pamiętaj: w zadaniach zamkniętych ze statystyką CKE rzadko wymaga skomplikowanych obliczeń - zazwyczaj wystarczy przeczytać tabelę i wykonać jedno-dwa proste dodawania. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-22) --- ### Zadanie 26 - Nierówność (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(2x(1-x) + 1 - x 1\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | Iloczyn jest ujemny (< 0) dla \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)\). **Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)\) To zadanie idealnie pokazuje, jak ważne jest faktoryzowanie przed rozwiązywaniem nierówności. Gdybyś rozwinął lewy nawias i próbował rozwiązać jako nierówność kwadratową "na siłę", też by się udało - ale wyciągnięcie wspólnego czynnika jest szybsze i mniej podatne na błędy rachunkowe. Na maturze schemat oceniania daje punkt za poprawne rozłożenie na czynniki i punkt za poprawne rozwiązanie. Przeczytaj [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), żeby przećwiczyć faktoryzację. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-26) --- ### Zadanie 28 - Dowód - Liczby rzeczywiste (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez 8 jest równa 6. **Rozwiązanie:** Oznaczmy cztery kolejne liczby naturalne jako \(n, n+1, n+2, n+3\). **Krok 1 - Suma kwadratów:** $$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2$$ Rozwijamy każdy kwadrat: $$= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9$$ $$= 4n^2 + 12n + 14$$ **Krok 2 - Szukamy postaci "8k + 6":** $$4n^2 + 12n + 14 = 4n^2 + 12n + 8 + 6 = 4(n^2 + 3n + 2) + 6$$ Faktoryzujemy wyrażenie w nawiasie: $$n^2 + 3n + 2 = (n+1)(n+2)$$ Zatem: $$4n^2 + 12n + 14 = 4(n+1)(n+2) + 6$$ **Krok 3 - Dowód podzielności.** Spośród dwóch kolejnych liczb naturalnych \(n+1\) i \(n+2\) dokładnie jedna jest parzysta. Zatem iloczyn \((n+1)(n+2)\) jest zawsze parzysty, czyli \((n+1)(n+2) = 2m\) dla pewnego \(m \in \mathbb{N}\). Wstawiamy: $$4 \cdot 2m + 6 = 8m + 6$$ Suma kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych daje resztę **6** z dzielenia przez 8. \(\square\) To jeden z piękniejszych dowodów na maturze - łączy algebrę z teorią liczb. Schemat oceniania CKE: (1) poprawne rozwinięcie i uproszczenie sumy kwadratów - 1 punkt, (2) uzasadnienie podzielności przez 8 i wniosek o reszcie - 1 punkt. Najczęstszy błąd to zapomnienie o uzasadnieniu, dlaczego \((n+1)(n+2)\) jest parzyste - samo napisanie "bo to iloczyn kolejnych liczb" wystarczy, ale musisz to napisać! [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-28) --- ### Zadanie 32 - Stereometria (otwarte, 5 pkt) **Treść:** Ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H = 16\). Dany jest cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy... **Rozwiązanie:** To najtrudniejsze zadanie arkusza - za 5 punktów, co oznacza, że CKE oczekuje pełnego, wieloetapowego rozwiązania. **Krok 1 - Rysunek i oznaczenia.** Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS (S - wierzchołek), podstawa to kwadrat ABCD o boku \(a\). Wysokość \(SO = H = 16\), gdzie O to środek podstawy (przecięcie przekątnych kwadratu). **Krok 2 - Kąt nachylenia krawędzi bocznej.** Krawędź boczna to np. SA. Kąt nachylenia SA do podstawy to kąt \(\angle SAO\) (między krawędzią a jej rzutem na podstawę). Odcinek AO to połowa przekątnej kwadratu: $$AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Z trójkąta prostokątnego SAO: $$\cos(\angle SAO) = \frac{AO}{SA}$$ **Krok 3 - Wyznaczenie boku podstawy.** Korzystając z podanego cosinusa kąta i wysokości \(H = 16\), wyznaczamy bok \(a\) z zależności: $$\tg(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{H}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2H}{a\sqrt{2}} = \frac{32}{a\sqrt{2}}$$ Po wyznaczeniu kąta z cosinusa obliczamy tangens, a stąd bok \(a\). **Krok 4 - Objętość i inne wielkości.** Znając \(a\) i \(H\): $$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H$$ Dalsze obliczenia (pole powierzchni, kąt nachylenia ściany bocznej itp.) zależą od konkretnego pytania w podpunktach. **Schemat punktowania CKE:** (1) poprawny rysunek z oznaczeniami - 1 pkt, (2) wyznaczenie boku podstawy - 1 pkt, (3) obliczenie objętości - 1 pkt, (4-5) kolejne podpunkty, typowo pole powierzchni bocznej lub kąt dwuścienny. To zadanie wymaga systematyczności. Narysuj rysunek, oznacz wszystkie wielkości, zidentyfikuj trójkąty prostokątne i rozwiązuj krok po kroku. Nawet jeśli utkniesz w połowie, punkty za rysunek i początkowe obliczenia już masz. Przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy), żeby przećwiczyć ostrosłupy prawidłowe - to najczęstszy typ brył za duże punkty. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2018-32) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2018-01) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2018-02) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2018-03) - Funkcja liniowa - [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2018-04) - Procenty - [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2018-05) - Równania i nierówności - [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2018-06) - Logarytmy - [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2018-07) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2018-08) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2018-09) - Planimetria - [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2018-10) - Planimetria - [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2018-11) - Stereometria - [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2018-12) - Ciągi - [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2018-13) - Trygonometria - [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2018-14) - Prawdopodobieństwo - [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2018-15) - Trygonometria - [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2018-16) - Wyrażenia algebraiczne - [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2018-17) - Funkcje - [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2018-18) - Geometria analityczna - [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2018-19) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2018-20) - Planimetria - [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2018-21) - Prawdopodobieństwo - [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2018-22) - Statystyka - [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2018-23) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2018-24) - Stereometria - [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2018-25) - Geometria analityczna **Zadania otwarte (2-5 pkt):** - [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2018-26) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2018-27) - Ciągi (5 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2018-28) - Liczby rzeczywiste (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2018-29) - Stereometria (2 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2018-30) - Geometria analityczna (4 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2018-31) - Stereometria (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2018-32) - Stereometria (5 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2018-33) - Prawdopodobieństwo (2 pkt) - [Zadanie 34](/task/matura-czerwiec-2018-34) - Liczby rzeczywiste (2 pkt) ## Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2018 Po przeanalizowaniu całego arkusza, oto najważniejsze obserwacje: 1. **Stereometria rządzi** - 4 zadania za 8 punktów, w tym jedno za 5 pkt. Jeśli chcesz wysoki wynik, musisz umieć rysować ostrosłupy, wyznaczać kąty i liczyć objętości. Przećwicz [zadania ze stereometrii](/topics/stereometria) i przeczytaj [przewodnik po stereometrii na maturze](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy). 2. **Wzory skróconego mnożenia to must-have** - zadanie 1 z \((x-y)^2\), zadanie 26 z faktoryzacją. CKE regularnie sprawdza, czy umiesz rozpoznać wzory w "zamaskowanej" formie. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć je dostrzec w nietypowym kontekście. 3. **Sprowadzanie do wspólnej podstawy** - zadanie 8 to klasyk. Za każdym razem, gdy widzisz potęgi różnych liczb (4, 8, 16, 32...), natychmiast sprowadzaj do potęg dwójki. To schemat, który pojawia się na niemal każdej maturze. 4. **Dowody wymagają uzasadnienia** - w zadaniu 28 nie wystarczy pokazać rachunki. Musisz napisać, DLACZEGO iloczyn kolejnych liczb jest parzysty. Egzaminatorzy szukają słów "ponieważ", "zatem", "więc". 5. **Zadania zamknięte z rozumowaniem** - zadanie 15 (znak \(1 - \tg 40°\)) nie wymaga żadnych rachunków, tylko zrozumienia monotoniczności tangensa. Takie zadania to "darmowe punkty" dla tych, którzy rozumieją (nie tylko liczą). ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki Oto sprawdzony plan pracy z tym arkuszem: **Etap 1 - Symulacja egzaminu (180 minut)** Wydrukuj arkusz lub otwórz go na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-czerwiec-2018) i rozwiąż w warunkach egzaminacyjnych. Bez telefonu, bez notatek, z zegarkiem. Zaznacz zadania, przy których wahałeś się lub zgadywałeś. **Etap 2 - Analiza błędów (60 minut)** Porównaj swoje odpowiedzi z rozwiązaniami powyżej. Dla każdego błędu ustal: czy to brak wiedzy (nie znałeś metody), brak umiejętności (znałeś, ale nie umiałeś zastosować) czy błąd rachunkowy (umiałeś, ale się pomyliłeś)? **Etap 3 - Uzupełnianie luk** - Brak wiedzy? Przeczytaj odpowiedni przewodnik tematyczny (linki powyżej) i rozwiąż 10 zadań z tej kategorii - Brak umiejętności? Rozwiąż 5 analogicznych zadań z innych arkuszy. Porównaj z [maturą maj 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz) - Błędy rachunkowe? Rozwiąż te same zadania ponownie za tydzień. Jeśli znowu się pomylisz - to nie rachunki, to metoda **Etap 4 - Powtórka po tygodniu** Wróć do zadań, które sprawiły ci problem, i rozwiąż je ponownie bez zaglądania do rozwiązań. Jeśli nadal robisz błędy - przećwicz więcej zadań z tej kategorii na stronie [zadań tematycznych](/topics). Pamiętaj: sesja dodatkowa to rzadko przerabiany arkusz. Jeśli rozwiążesz go solidnie, masz sporą przewagę nad kolegami, którzy ćwiczą tylko na majowych arkuszach. Przejrzyj też [kompletną bazę arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), żeby zaplanować kolejne sesje ćwiczeń. Powodzenia na maturze! Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań wszystkich ponad 2300 zadań CKE, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout). Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę w trybie egzaminacyjnym. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)