--- route: /matura-czerwiec-2016-rozwiazania-arkusz title: Matura czerwiec 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Pełne rozwiązania arkusza matura czerwiec 2016 z matematyki. Wszystkie 33 zadania z sesji dodatkowej krok po kroku z wyjaśnieniami i wskazówkami egzaminacyjnymi. type: exam_walkthrough tags: matura czerwiec 2016, matura 2016, rozwiązania matura 2016, sesja dodatkowa 2016, matematyka matura 2016, zadania maturalne 2016, CKE 2016, arkusz czerwiec 2016 published: 2026-04-17T07:33:14.068+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:30.113123+00:00 --- # Matura czerwiec 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura czerwiec 2016 Matura z matematyki z sesji dodatkowej (czerwiec) 2016 to arkusz, który wielu uczniów kompletnie pomija podczas powtórek - i to spory błąd. Sesja dodatkowa ma porównywalny poziom trudności do [sesji głównej z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz), a ponieważ mniej osób go zna, możesz na nim uczciwie sprawdzić swoje umiejętności bez ryzyka, że "przypadkiem" znasz odpowiedzi z filmików na YouTube. Arkusz składał się z **33 zadań**: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 8 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie **49 punktów**. Zwróć uwagę - to 33 zadania, nie 34 jak w większości arkuszy. CKE czasem zmienia liczbę zadań między sesjami. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. Rok 2016 był dopiero drugą sesją nowej formuły matury (po 2015). CKE wciąż kalibrowało trudność, ale ten arkusz jest dobrze wyważony i świetnie nadaje się do powtórek. Jeśli chcesz porównać z sesją główną, zajrzyj do [rozwiązań matury maj 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Wszystkie arkusze znajdziesz w [kompletnej bazie arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | Wyrażenia algebraiczne | 3 | 3 | | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 3 | 3 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4+ | 6 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 7 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 5 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 | | Procenty | 2 | 6 | | Funkcja kwadratowa | 2 | 2 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 5 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 3 | | Logarytmy | 1 | 1 | | Układy równań | 1 | 1 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 1 | Dominuje [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - aż 4+ zadania za 6 punktów. Na drugim miejscu [ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) (3 zadania, ale za aż 7 punktów - jest tu zadanie otwarte za 5 pkt). Równania i nierówności to tradycyjnie silna kategoria z [3 zadaniami za 5 punktów](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania). Procenty mimo tylko 2 zadań dają 6 punktów - jedno z nich to rozbudowane zadanie otwarte. [Stereometria](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) wygląda podobnie: 2 zadania, ale za 5 punktów (w tym zadanie za 4 pkt). Kto opanuje te działy, zgarnia bonus punktowy. ## Poziom trudności Arkusz czerwcowy 2016 był **nieco łatwiejszy** od sesji majowej w części zamkniętej, ale trudniejszy w zadaniach otwartych - szczególnie ciągi za 5 punktów i stereometria za 4 punkty potrafiły zaskoczyć. **Łatwe (ok. 15 punktów)** - wyrażenia algebraiczne, podstawowe potęgi, proste zadania z geometrii analitycznej (odczytywanie współrzędnych, równanie prostej), funkcja kwadratowa. To zadania, które musisz robić bezbłędnie. Jeśli masz z nimi problem, wróć do [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania). **Średnie (ok. 20 punktów)** - logarytmy, ciągi arytmetyczne i geometryczne, procenty z kontekstem, równanie wymierne, planimetria. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania w różnych kontekstach pozwolą ci zdobyć większość tych punktów. Przeczytaj [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), żeby nie tracić punktów na formalności. **Trudne (ok. 14 punktów)** - ciąg arytmetyczny za 5 punktów, stereometria stożka za 4 punkty, dowód algebraiczny za 2 punkty. To zadania, które odróżniają wynik 60% od 80%+. Ale nawet tu punkty cząstkowe są w zasięgu - samo zapisanie danych i wzoru to już 1-2 punkty. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Oblicz \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) **Rozwiązanie:** Klucz to zamienić wszystko na potęgi trójki. To uniwersalny schemat w zadaniach z [potęgami](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) - zamieniasz pierwiastki na ułamkowe wykładniki i upraszczasz. Najpierw podwyrażenie \(3\sqrt{3}\): $$3\sqrt{3} = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$ Teraz pierwiastek trzeciego stopnia z tego wyrażenia: $$\sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = \left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$ **Odpowiedź:** \(\sqrt{3}\) Schemat: zamień na potęgi -> pomnóż wykładniki -> uprość. Ten sam wzorzec wraca na maturze co roku. Pamiętaj: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\) i \(a^k \cdot a^l = a^{k+l}\). Nie komplikuj - sprowadź do jednej podstawy i licz wykładniki. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-03) --- ### Zadanie 6 - Logarytmy (1 pkt) **Treść:** Oblicz \(\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9}\) **Rozwiązanie:** Suma [logarytmów](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) o tej samej podstawie to logarytm iloczynu. To pierwsza własność, po którą sięgasz, gdy widzisz dodawanie logów: $$\log_3\frac{3}{2}+\log_3\frac{2}{9} = \log_3\left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9}\right)$$ Mnożymy ułamki: $$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$$ Więc: $$\log_3\frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1$$ **Odpowiedź:** \(-1\) Typowe zadanie na własność \(\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)\). Najczęstszy błąd: dodawanie argumentów zamiast ich mnożenia. Pamiętaj - logarytm "zamienia" mnożenie na dodawanie, nie odwrotnie. Ćwicz tego typu zadania na [zadaniach z logarytmów](/topics/logarytmy). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-06) --- ### Zadanie 10 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) **Treść:** Dana jest funkcja \(f(x)=-2(x+5)(x-11)\). Wyznacz największy przedział, w którym funkcja jest rosnąca. **Rozwiązanie:** Funkcja kwadratowa podana w postaci iloczynowej. Odczytujemy od razu [miejsca zerowe](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania): $$x_1 = -5, \quad x_2 = 11$$ Współczynnik \(a = -2 < 0\), więc parabola ma ramiona skierowane w dół. Wierzchołek jest w punkcie: $$x_w = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Parabola z ramionami w dół rośnie na lewo od wierzchołka i maleje na prawo. Zatem funkcja jest rosnąca na przedziale: $$(-\infty,\; 3]$$ **Odpowiedź:** Największy przedział, w którym \(f\) jest rosnąca, to \((-\infty, 3]\). Postać iloczynowa to prezent od CKE - od razu widzisz miejsca zerowe bez liczenia delty. Potem średnia arytmetyczna miejsc zerowych daje ci \(x\)-ową wierzchołka. Pamiętaj: \(a < 0\) to parabola "smutna" (ramiona w dół), funkcja rośnie do wierzchołka, potem maleje. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-10) --- ### Zadanie 20 - Stereometria (1 pkt) **Treść:** W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Oblicz kąt między ścianą boczną a podstawą. **Rozwiązanie:** Ostrosłup prawidłowy czworokątny z bocznymi ścianami jako trójkątami równobocznymi - to znaczy, że krawędź boczna jest równa krawędzi podstawy. Oznaczmy bok podstawy (i krawędź boczną) jako \(a\). Podstawa to kwadrat o boku \(a\). Środek podstawy O jest w odległości \(\frac{a}{2}\) od środka każdego boku. Niech M to środek boku podstawy AB. Kąt między ścianą boczną a podstawą to kąt \(\angle SMO\), gdzie S to wierzchołek ostrosłupa. Wysokość trójkąta równobocznego (ściany bocznej) opuszczona z S na AB: $$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Odległość od środka podstawy do środka boku: $$OM = \frac{a}{2}$$ Wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOM: $$SO = \sqrt{SM^2 - OM^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Kąt \(\beta = \angle SMO\) w trójkącie prostokątnym SOM: $$\tg\beta = \frac{SO}{OM} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2}$$ $$\beta = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) \approx 54{,}7°$$ **Odpowiedź:** Kąt między ścianą boczną a podstawą wynosi \(\operatorname{arctg}(\sqrt{2})\). To zadanie łączy [stereometrię](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) z [planimetrią](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia). Najważniejsze to prawidłowo zidentyfikować, gdzie leży kąt dwuścienny - zawsze szukasz go w trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość ostrosłupa, apotema podstawy (odcinek od środka do boku) i wysokość ściany bocznej. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-20) --- ### Zadanie 26 - Równanie wymierne (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\) **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Dziedzina.** Mianowniki nie mogą być zerem, więc \(2x \neq 0\) i \(x + 1 \neq 0\): $$x \neq 0 \quad \text{i} \quad x \neq -1$$ **Krok 2 - Przenosimy na jedną stronę.** Zamiast mnożyć krzyżowo (co daje duże wyrażenie), odejmujemy prawo od lewa: $$\frac{2x+1}{2x} - \frac{2x+1}{x+1} = 0$$ Wyciągamy wspólny czynnik \((2x+1)\): $$(2x+1)\left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1}\right) = 0$$ **Krok 3 - Iloczyn równy zero.** Albo \(2x + 1 = 0\), albo \(\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+1} = 0\). **Przypadek 1:** \(2x + 1 = 0\), czyli \(x = -\frac{1}{2}\). Sprawdzamy dziedzinę: \(-\frac{1}{2} \neq 0\) i \(-\frac{1}{2} \neq -1\) - pasuje. **Przypadek 2:** \(\frac{1}{2x} = \frac{1}{x+1}\), czyli \(x + 1 = 2x\) (mnożymy krzyżowo, bo oba mianowniki niezerowe w dziedzinie). Stąd \(x = 1\). Sprawdzamy dziedzinę: \(1 \neq 0\) i \(1 \neq -1\) - pasuje. **Odpowiedź:** \(x \in \left\{-\frac{1}{2},\; 1\right\}\) Zwróć uwagę na sprytną metodę: zamiast mnożyć krzyżowo od razu, przenosimy na jedną stronę i wyciągamy wspólny czynnik. To szybsze i mniejsze ryzyko błędu rachunkowego. Na maturze za rozwiązanie [równań](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) wymiernych CKE wymaga jawnego wyznaczenia dziedziny - pominięcie tego kosztuje punkt. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-26) --- ### Zadanie 28 - Dowód algebraiczny (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) zachodzi nierówność \(x^4 + y^4 \geq x^2 y^2\). **Rozwiązanie:** Dowód polega na sprowadzeniu nierówności do postaci, w której widać, że jest oczywiście prawdziwa. **Krok 1 - Przenosimy na jedną stronę:** $$x^4 + y^4 - x^2 y^2 \geq 0$$ **Krok 2 - Dodajemy i odejmujemy sprytny składnik.** Użyjemy tożsamości: $$x^4 + y^4 - x^2 y^2 = x^4 - 2x^2 y^2 + y^4 + x^2 y^2 = (x^2 - y^2)^2 + x^2 y^2$$ **Krok 3 - Ocena znaku.** Mamy sumę dwóch wyrażeń: - \((x^2 - y^2)^2 \geq 0\) - kwadrat jest zawsze nieujemny - \(x^2 y^2 = (xy)^2 \geq 0\) - kwadrat jest zawsze nieujemny Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna: $$(x^2 - y^2)^2 + (xy)^2 \geq 0$$ Zatem \(x^4 + y^4 - x^2 y^2 \geq 0\), czyli \(x^4 + y^4 \geq x^2 y^2\). \(\square\) **Odpowiedź:** Nierówność jest prawdziwa dla dowolnych \(x, y \in \mathbb{R}\). Schemat dowodu nierówności na maturze to prawie zawsze: przenieś na jedną stronę, przekształć do sumy kwadratów (lub innej formy oczywiście nieujemnej), uzasadnij nieujemność. Kluczowy trik to "dodanie i odjęcie" składnika \(x^2 y^2\), żeby utworzyć pełny kwadrat. To standardowa technika - przećwicz ją na [zadaniach z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-28) --- ### Zadanie 31 - Ciąg arytmetyczny (otwarte, 5 pkt) **Treść:** Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych liczb jest równa 15, a suma ich kwadratów jest równa 83. Znajdź te liczby. **Rozwiązanie:** To [zadanie za 5 punktów](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), więc CKE oczekuje pełnego, starannego rozwiązania. Kluczowy trik: trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy symetrycznie. **Krok 1 - Wprowadzenie oznaczeń.** Niech trzy wyrazy ciągu arytmetycznego to: $$a - r, \quad a, \quad a + r$$ gdzie \(a\) to wyraz środkowy, a \(r\) to różnica ciągu. **Krok 2 - Warunek na sumę:** $$(a - r) + a + (a + r) = 15$$ $$3a = 15$$ $$a = 5$$ **Krok 3 - Warunek na sumę kwadratów:** $$(5 - r)^2 + 5^2 + (5 + r)^2 = 83$$ Rozwijamy kwadraty: $$25 - 10r + r^2 + 25 + 25 + 10r + r^2 = 83$$ Wyrazy z \(r\) (\(-10r\) i \(+10r\)) redukują się: $$75 + 2r^2 = 83$$ $$2r^2 = 8$$ $$r^2 = 4$$ $$r = 2 \quad \text{lub} \quad r = -2$$ **Krok 4 - Wyznaczenie liczb:** Dla \(r = 2\): \(3, 5, 7\) Dla \(r = -2\): \(7, 5, 3\) **Krok 5 - Sprawdzenie:** - Suma: \(3 + 5 + 7 = 15\) \(\checkmark\) - Suma kwadratów: \(9 + 25 + 49 = 83\) \(\checkmark\) - Ciąg arytmetyczny z różnicą 2: \(3, 5, 7\) \(\checkmark\) **Odpowiedź:** Szukane liczby to \(3, 5, 7\) (lub równoważnie \(7, 5, 3\)). Zapis symetryczny \((a-r, a, a+r)\) to najlepsza strategia dla trzech wyrazów ciągu arytmetycznego - różnica automatycznie się redukuje przy sumowaniu. Dla czterech wyrazów użyłbyś \((a-3d, a-d, a+d, a+3d)\) z różnicą \(2d\). Schemat oceniania CKE za to zadanie przyznaje punkty za: (1) prawidłowe oznaczenia, (2) wyznaczenie \(a\), (3) równanie na \(r\), (4) rozwiązanie i sprawdzenie. Nawet jeśli pomylisz się na końcu, pierwsze kroki dają ci 2-3 punkty cząstkowe. Więcej o [ciągach na maturze](/topics/ciagi). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-31) --- ### Zadanie 32 - Stereometria, stożek (otwarte, 4 pkt) **Treść:** Stożek ma objętość \(8\pi\). Stosunek wysokości do promienia podstawy wynosi \(\frac{h}{r} = \frac{3}{2}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka. **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Wyznaczenie \(h\) i \(r\).** Ze stosunku \(\frac{h}{r} = \frac{3}{2}\) mamy \(h = \frac{3}{2}r\). Podstawiamy do wzoru na [objętość stożka](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy): $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{3}{2}r = \frac{1}{2}\pi r^3$$ Przyrównujemy do \(8\pi\): $$\frac{1}{2}\pi r^3 = 8\pi$$ $$r^3 = 16$$ $$r = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$$ Oraz: $$h = \frac{3}{2}r = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$$ **Krok 2 - Tworząca stożka.** Z twierdzenia Pitagorasa (przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, a trójkąt prostokątny tworzą \(r\), \(h\) i tworząca \(l\)): $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2\sqrt[3]{2})^2 + (3\sqrt[3]{2})^2}$$ $$l = \sqrt{4\sqrt[3]{4} + 9\sqrt[3]{4}} = \sqrt{13\sqrt[3]{4}}$$ $$l = \sqrt{13 \cdot 4^{1/3}} = \sqrt{13} \cdot 2^{1/3}$$ **Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej.** Wzór: $$P_c = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)$$ Podstawiamy \(r = 2\sqrt[3]{2}\) i \(l = \sqrt{13} \cdot 2^{1/3} = \sqrt{13} \cdot \sqrt[3]{2}\): $$P_c = \pi \cdot 2\sqrt[3]{2} \cdot \left(\sqrt{13} \cdot \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2}\right)$$ $$P_c = \pi \cdot 2\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2}\left(\sqrt{13} + 2\right)$$ $$P_c = \pi \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \left(\sqrt{13} + 2\right)$$ $$P_c = 2\sqrt[3]{4}\left(\sqrt{13} + 2\right)\pi$$ **Odpowiedź:** \(P_c = 2\sqrt[3]{4}(\sqrt{13} + 2)\pi\) To zadanie wymaga starannych rachunków z pierwiastkami trzeciego stopnia - łatwo się pomylić. Kluczowe etapy: (1) wyznacz \(r\) z objętości, (2) oblicz \(h\) ze stosunku, (3) policz tworzącą z Pitagorasa, (4) podstaw do wzoru na pole całkowite. Schemat oceniania CKE przyznaje punkty osobno za każdy etap, więc nawet jeśli zatrzymasz się na wyznaczeniu \(r\) i \(h\), dostajesz 2 punkty. Przeczytaj nasz [przewodnik po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy), żeby przećwiczyć wszystkie typy brył. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2016-32) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Wszystkie 33 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2016-01) - Wyrażenia algebraiczne - [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2016-02) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2016-03) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2016-04) - Wyrażenia algebraiczne - [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2016-05) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2016-06) - Logarytmy - [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2016-07) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2016-08) - Procenty - [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2016-09) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2016-10) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2016-11) - Geometria analityczna - [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2016-12) - Geometria analityczna - [Zadanie 13](/task/matura-czerwiec-2016-13) - Równania i nierówności - [Zadanie 14](/task/matura-czerwiec-2016-14) - Ciągi - [Zadanie 15](/task/matura-czerwiec-2016-15) - Wyrażenia algebraiczne - [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2016-16) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 17](/task/matura-czerwiec-2016-17) - Równania i nierówności - [Zadanie 18](/task/matura-czerwiec-2016-18) - Geometria analityczna - [Zadanie 19](/task/matura-czerwiec-2016-19) - Planimetria - [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2016-20) - Stereometria - [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2016-21) - Ciągi - [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2016-22) - Prawdopodobieństwo - [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2016-23) - Planimetria - [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2016-24) - Geometria analityczna - [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2016-25) - Układy równań **Zadania otwarte (2-5 pkt):** - [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2016-26) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2016-27) - Procenty (4 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2016-28) - Dowód algebraiczny (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2016-29) - Stereometria (4 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2016-30) - Planimetria (2 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2016-31) - Ciągi (5 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2016-32) - Stereometria (4 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-czerwiec-2016-33) - Geometria analityczna (2 pkt) ## Kluczowe wnioski z matury czerwiec 2016 1. **Geometria analityczna króluje.** 4+ zadania za 6 punktów - to więcej niż w sesji majowej. Opanuj równania prostych, odległość punktu od prostej i równanie okręgu. [Ćwicz geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna) 2. **Ciągi za duże punkty.** 3 zadania, ale aż 7 punktów (w tym jedno za 5 pkt). Zapis symetryczny trzech wyrazów ciągu arytmetycznego to obowiązkowa technika. [Ćwicz ciągi](/topics/ciagi) 3. **Potęgi i pierwiastki to fundament.** Zamiana na potęgi o wspólnej podstawie pojawia się nie tylko w "czystych" zadaniach z potęgami, ale też w logarytmach i stereometrii. To narzędzie, które musisz mieć w małym palcu. [Ćwicz potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki) 4. **Równania wymierne - zawsze dziedzina.** Pominięcie dziedziny w równaniu wymiernym to stracony punkt. CKE wymaga jawnego zapisania warunków na mianowniki. Rób to mechanicznie - na początku każdego zadania z ułamkami. 5. **Dowody algebraiczne mają schemat.** Przenieś na jedną stronę, sprowadź do sumy kwadratów, uzasadnij nieujemność. Ten sam wzorzec działa w 90% dowodów nierówności na maturze. ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Tydzień 1 - Próba egzaminacyjna.** Rozwiąż cały arkusz w warunkach zbliżonych do matury: 170 minut, bez kalkulatora, bez telefonu. Zapisz wynik i zaznacz, które zadania sprawiły problemy. Nie podglądaj rozwiązań w trakcie - chodzi o diagnozę, nie o wynik. **Tydzień 2 - Analiza błędów.** Dla każdego błędnego zadania odpowiedz sobie na pytanie: czy problem to brak wiedzy (nie znam wzoru), brak techniki (znam wzór, ale nie umiem go zastosować) czy błąd rachunkowy (umiem, ale się pomyliłem)? Każdy typ wymaga innej pracy: - Brak wiedzy: wróć do teorii - [potęgi](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), [logarytmy](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania), [ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania), [stereometria](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy), [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - Brak techniki: rozwiąż 10-15 zadań z danej kategorii na [Sprawnej Maturze](/) - Błędy rachunkowe: ćwicz dokładność, sprawdzaj wyniki podstawieniem **Tydzień 3 - Ponowne rozwiązanie i kolejny arkusz.** Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz, żeby upewnić się, że uzupełniłeś braki. Potem przejdź do kolejnego - polecam [maturę maj 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz) (sesja główna) albo [maturę czerwiec 2018](/matura-czerwiec-2018-rozwiazania-arkusz) (sesja dodatkowa dwa lata później, żeby zobaczyć ewolucję trudności). Przygotowujesz się do matury? Na [Sprawnej Maturze](/) mamy **ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)