--- route: /matura-czerwiec-2013-rozwiazania-arkusz title: Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Pełne rozwiązania arkusza matura czerwiec 2013 z matematyki. Wszystkie 34 zadania krok po kroku z wyjaśnieniami, rozkładem kategorii i wskazówkami. type: exam_walkthrough tags: matura 2013, matura czerwiec 2013, rozwiązania matura czerwiec 2013, arkusz maturalny 2013, matematyka matura 2013, sesja dodatkowa 2013, CKE 2013, matura podstawowa 2013 published: 2026-04-19T07:03:57.553+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:30.188824+00:00 --- # Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura czerwiec 2013 Matura z matematyki z czerwca 2013 roku to sesja dodatkowa, która odbywała się w ostatnim roku przed reformą formuły egzaminu. Arkusz składa się z 34 zadań za maksymalnie 50 punktów. Ten egzamin jest szczególnie interesujący ze względu na nietypowy rozkład kategorii - [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) i [stereometria](/topics/stereometria) łącznie dają 14 punktów, co jest znacznie powyżej średniej. Dodatkowo aż 7 punktów przypisano do kategorii [liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste), co również jest rzadkością. Jeśli szukasz wszystkich arkuszy z lat 2010-2025, zobacz [kompletną bazę zadań maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|--------------|--------| | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 8 | | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 2 | 7 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 | | [Funkcje](/topics/funkcje) | 5 | 5 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 4 | 5 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 4 | 5 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 2 | 3 | | [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 2 | 2 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 2 | | [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka) | 1 | 2 | | Pozostałe (po 1 pkt) | 5 | 5 | Największą wagę mają zagadnienia z geometrii - zarówno analitycznej, jak i przestrzennej. Jeśli masz problemy z tymi tematami, warto rozpocząć pracę od systematycznego powtórzenia wzorów. ## Poziom trudności **Zadania łatwe (1-2 pkt, ok. 24-26 punktów):** Zamknięte jednopunktowce z podstawowych kategorii - proste obliczenia na ciągach, funkcjach, wartościach trygonometrycznych, przekształceniach wykresów. **Zadania średnie (2-3 pkt, ok. 16-18 punktów):** Dwupunktowe otwarte z geometrii analitycznej, zadania tekstowe na procenty i prawdopodobieństwo, trudniejsze równania. **Zadania trudne (3-4 pkt, ok. 8-10 punktów):** Otwarte z geometrii przestrzennej, zaawansowane problemy z ciągów, dowodzenia nierówności z liczbami rzeczywistymi. Więcej strategii na rozwiązywanie zadań otwartych znajdziesz w artykule o [zadaniach otwartych na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka). ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 7 - Trygonometria (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\sin^2(30°) + \cos^2(60°)\) jest równa: **Rozwiązanie:** $$\sin(30°) = \frac{1}{2}, \quad \cos(60°) = \frac{1}{2}$$ $$\sin^2(30°) + \cos^2(60°) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$ Uwaga: to NIE jest jedynka trygonometryczna, bo kąty są różne (30° i 60°)! To częsta pułapka. **Odpowiedź:** \(\frac{1}{2}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-07) --- ### Zadanie 11 - Geometria analityczna (2 pkt) **Treść:** Dane są punkty \(A = (2, 5)\) i \(B = (8, -3)\). Oblicz współrzędne punktu \(C\) leżącego na prostej \(AB\), dla którego \(|AC| = 2|CB|\). **Rozwiązanie:** Punkt \(C\) dzieli odcinek \(AB\) w stosunku \(2:1\) od \(A\). Wzór na podział odcinka: $$x_C = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 8}{2+1} = \frac{18}{3} = 6$$ $$y_C = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-3)}{2+1} = \frac{-1}{3}$$ **Odpowiedź:** \(C = (6, -\frac{1}{3})\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-11) --- ### Zadanie 15 - Planimetria (1 pkt) **Treść:** W trójkącie równobocznym o boku 6 cm poprowadzono wysokość. Oblicz pole powstałego trójkąta prostokątnego. **Rozwiązanie:** Wysokość trójkąta równobocznego: \(h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\) cm. Wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych 3 cm i \(3\sqrt{3}\) cm. $$P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ cm}^2$$ **Odpowiedź:** \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\) cm² [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-15) --- ### Zadanie 18 - Liczby rzeczywiste (4 pkt) **Treść:** Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a, b, c\) prawdziwa jest nierówność \(a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca\). **Rozwiązanie:** Rozważmy wyrażenie \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\). Pomnóżmy przez 2: $$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$$ Ponieważ każdy kwadrat jest nieujemny: $$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$$ Zatem: $$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{2} \geq 0$$ Co jest równoważne z \(a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca\). Więcej o dowodzeniu nierówności znajdziesz w artykule o [liczbach rzeczywistych na maturze](/liczby-rzeczywiste-na-maturze-przedzialy-zbiory-wartosc-bezwzgledna). **Odpowiedź:** Dowód przeprowadzony metodą przekształcenia do sumy kwadratów. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-18) --- ### Zadanie 24 - Stereometria (3 pkt) **Treść:** Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm. Przekątna ściany bocznej zawierającej dłuższą przyprostokątną tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz objętość. **Rozwiązanie:** Przekątna ściany bocznej i jej rzut na podstawę (krawędź 12 cm) tworzą kąt 60°: $$\tan(60°) = \frac{h}{12} \quad \Rightarrow \quad h = 12\sqrt{3} \text{ cm}$$ Pole podstawy: $$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ cm}^2$$ Objętość: $$V = 30 \cdot 12\sqrt{3} = 360\sqrt{3} \text{ cm}^3$$ **Odpowiedź:** \(360\sqrt{3}\) cm³ [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-24) --- ### Zadanie 29 - Ciągi (2 pkt) **Treść:** Dany jest ciąg geometryczny o ilorazie \(q = \frac{1}{3}\) i \(a_1 = 81\). Ile wyrazów tego ciągu jest nie mniejszych od 1? **Rozwiązanie:** $$a_n = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \geq 1$$ $$\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \geq \frac{1}{81} = \left(\frac{1}{3}\right)^4$$ Ponieważ \(\frac{1}{3} < 1\), funkcja jest malejąca, więc: $$n - 1 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad n \leq 5$$ Sprawdzenie: \(a_5 = 81 \cdot \frac{1}{81} = 1\), \(a_6 = \frac{1}{3} < 1\). **Odpowiedź:** 5 wyrazów [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-29) --- ### Zadanie 32 - Logarytmy (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\log_2(8) + \log_2\left(\frac{1}{4}\right)\) jest równa: **Rozwiązanie:** $$\log_2(8) = \log_2(2^3) = 3$$ $$\log_2\left(\frac{1}{4}\right) = \log_2(2^{-2}) = -2$$ $$3 + (-2) = 1$$ Alternatywnie: \(\log_2(8 \cdot \frac{1}{4}) = \log_2(2) = 1\). Więcej o [logarytmach na maturze](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania). **Odpowiedź:** 1 [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2013-32) --- ## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu **Przewaga geometrii.** Aż 14 punktów to zadania z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) i [stereometrii](/topics/stereometria). Ważne: wzór na odległość punktu od prostej, równania prostych prostopadłych, objętości brył, twierdzenie Pitagorasa w przestrzeni. **Liczby rzeczywiste - nietypowo dużo punktów.** 7 punktów to dowodzenia nierówności, zadania z wartością bezwzględną, interpretacja przedziałów. Musisz opanować techniki przekształcania do sumy kwadratów. **Funkcje - dużo zadań, mało punktów.** Pięć zadań to zaledwie 5 punktów - same jednopunktowce. Łatwe punkty do zdobycia, jeśli znasz definicje i podstawowe własności. **Ciągi - przewidywalne schematy.** Wzory na sumę n wyrazów, wzór ogólny, nierówności z ciągami geometrycznymi. Pamiętaj, że przy \(q < 1\) funkcja wykładnicza jest malejąca - nierówność się odwraca. **Trygonometria bez tożsamości.** Głównie wartości dla kątów szczególnych i proste zastosowania w trójkątach z [trygonometrii](/topics/trygonometria). ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Strategia 1: Trening kategorii po kolei.** Zacznij od geometrii analitycznej, stereometrii, liczb rzeczywistych. Przerobij każdą kategorię w jednym podejściu, żeby zobaczyć powtarzające się schematy. **Strategia 2: Symulacja egzaminu.** Wydrukuj arkusz i rozwiąż go w 170 minut, bez telefonu. Po zakończeniu sprawdź wynik - to da Ci realny obraz Twojego poziomu. **Strategia 3: Nauka z błędów.** Wypisz błędy i określ przyczynę: rachunkowa, koncepcyjna, luka w wiedzy. Wróć do materiału teoretycznego i rozwiąż zadanie ponownie po jakimś czasie. Jeśli ten arkusz poszedł Ci gładko, sprawdź się na trudniejszych: [matura maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz) i [matura maj 2014](/matura-maj-2014-rozwiazania-arkusz). Jeśli był trudny, cofnij się do [matury maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz) i [matury czerwiec 2012](/matura-czerwiec-2012-rozwiazania-arkusz). Wszystkie zadania znajdziesz w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Powodzenia! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)