--- route: /matura-czerwiec-2012-rozwiazania-arkusz title: Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Pełne rozwiązania arkusza matura czerwiec 2012 z matematyki. Wszystkie 34 zadania krok po kroku z wyjaśnieniami, rozkładem kategorii i wskazówkami. type: exam_walkthrough tags: matura 2012, matura czerwiec 2012, rozwiązania matura czerwiec 2012, arkusz maturalny 2012, matematyka matura 2012, sesja dodatkowa 2012, CKE 2012, matura podstawowa 2012 published: 2026-04-19T07:03:57.553+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:10.154089+00:00 --- # Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura czerwiec 2012 Matura z matematyki z czerwca 2012 roku to sesja dodatkowa, przeznaczona dla osób, które nie przystąpiły do majowego egzaminu lub chciały poprawić wynik. Arkusz zawierał 34 zadania za łącznie 50 punktów. Sesje czerwcowe tradycyjnie różnią się nieco od majowych pod względem stylu zadań - CKE wykorzystuje je do testowania alternatywnych wariantów pytań. W tym arkuszu widać wyraźny nacisk na geometrię: [planimetria](/topics/planimetria) i [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) łącznie dają 14 punktów, a [trygonometria](/topics/trygonometria) i [stereometria](/topics/stereometria) kolejne 10 punktów. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|--------------|--------| | [Planimetria](/topics/planimetria) | 6 | 7 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 7 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 3 | 5 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 5 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 4 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 | | Kombinatoryka | 1 | 4 | | Statystyka | 2 | 3 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 | | Funkcja kwadratowa | 2 | 2 | | Pozostałe (po 1 pkt) | 6 | 7 | W porównaniu do [majowego arkusza 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz), czerwcowy kładzie mniejszy nacisk na algebrę (równania tylko 4 punkty zamiast 11), a więcej na geometrię i trygonometrię. ## Poziom trudności **Zadania łatwe (1 pkt, ok. 14 punktów):** Działania na potęgach, proste procenty, odczyt funkcji z wykresu, definicje statystyczne, wzory geometryczne. **Zadania średnie (2-3 pkt, ok. 21 punktów):** Równania kwadratowe, [trygonometria](/topics/trygonometria) w trójkątach prostokątnych, objętości i pola powierzchni w stereometrii, ciągi, proste zadania z geometrii analitycznej. **Zadania trudne (4-5 pkt, ok. 15 punktów):** Kombinatoryka, złożone problemy geometryczne, zadania łączące kilka działów. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 5 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Liczba \(\sqrt{0,0016}\) jest równa: **Rozwiązanie:** $$\sqrt{0,0016} = \sqrt{\frac{16}{10000}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{10000}} = \frac{4}{100} = 0,04$$ **Odpowiedź:** 0,04 [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-05) --- ### Zadanie 12 - Trygonometria (2 pkt) **Treść:** W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha\), a przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\) ma długość: **Rozwiązanie:** Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym: $$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{a}{10}$$ Stąd: \(a = 10 \sin \alpha\) **Odpowiedź:** \(10 \sin \alpha\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-12) --- ### Zadanie 18 - Planimetria (2 pkt) **Treść:** Pole równoległoboku o bokach długości 8 cm i 12 cm oraz kącie ostrym \(60°\) wynosi: **Rozwiązanie:** Pole równoległoboku: \(P = a \cdot b \cdot \sin \alpha\) $$P = 8 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \text{ cm}^2$$ **Odpowiedź:** \(48\sqrt{3}\) cm² [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-18) --- ### Zadanie 23 - Ciągi (2 pkt) **Treść:** Ciąg geometryczny \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n = 3 \cdot 2^{n-1}\). Wyznacz iloraz tego ciągu. **Rozwiązanie:** $$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2$$ **Odpowiedź:** \(q = 2\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-23) --- ### Zadanie 27 - Geometria analityczna (3 pkt) **Treść:** Prosta \(y = 2x - 5\) przecina oś OY w punkcie \(A\), a oś OX w punkcie \(B\). Oblicz pole trójkąta \(AOB\). **Rozwiązanie:** Punkt \(A\) (oś OY, \(x = 0\)): \(y = -5\), więc \(A = (0, -5)\). Punkt \(B\) (oś OX, \(y = 0\)): \(2x = 5\), więc \(B = (2.5, 0)\). $$P = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB| = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2.5 = \frac{25}{4}$$ **Odpowiedź:** \(\frac{25}{4}\) jednostek kwadratowych [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-27) --- ### Zadanie 30 - Kombinatoryka (4 pkt) **Treść:** Z sześciu chłopców i czterech dziewcząt należy wybrać trzyosobową delegację składającą się z dwóch chłopców i jednej dziewczyny. Na ile sposobów można to zrobić? **Rozwiązanie:** $$\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{1} = 15 \cdot 4 = 60$$ **Odpowiedź:** 60 [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-30) --- ### Zadanie 32 - Stereometria (3 pkt) **Treść:** Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku 6 cm. Wysokość ostrosłupa wynosi 4 cm. Oblicz objętość. **Rozwiązanie:** $$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = \frac{144}{3} = 48 \text{ cm}^3$$ **Odpowiedź:** 48 cm³ [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2012-32) --- ## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu **Geometria jest kluczowa:** Planimetria (7 pkt) i geometria analityczna (7 pkt) to łącznie 14 punktów - prawie 30% arkusza. W [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) często łączysz wiedzę algebraiczną z geometryczną. **Trygonometria wymaga definicji:** W zadaniach z [trygonometrii](/topics/trygonometria) pojawiają się definicje funkcji w trójkącie prostokątnym. Musisz znać wartości dla kątów \(30°, 45°, 60°\) oraz wzory na pole z sinusem. **Kombinatoryka to zadanie za 4 punkty:** Musisz rozumieć różnicę między permutacjami a kombinacjami oraz stosować regułę mnożenia. ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Porównaj z majowym arkuszem 2012.** Sprawdź [maturę maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć różnicę w stylu. Maj kładł większy nacisk na algebrę, czerwiec na geometrię. Dzięki temu zidentyfikujesz swoje mocne i słabe strony. **Ćwicz trygonometrię na prostych zadaniach.** W tym arkuszu zadania trygonometryczne są stosunkowo proste - definicje w trójkącie prostokątnym. Dobry moment, żeby utrwalić podstawy z [trygonometrii](/topics/trygonometria). Jeśli [potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) czy [logarytmy](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) to Twoja słabość, znajdź dodatkowe zadania w innych arkuszach. Po opanowaniu tego arkusza przejdź do [matury czerwiec 2013](/matura-czerwiec-2013-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz). Wszystkie zadania w [bazie arkuszy](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Powodzenia! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)