---
route: /matura-2026-zadania-14-15-27-rozwiazania-trudne-zadania
title: Matura maj 2026 - rozwiązania zadań 14, 15 i 27 (najtrudniejsze otwarte)
description: Trzy najtrudniejsze otwarte zadania matury maj 2026 (parabola, ciąg geometryczny, ostrosłup). Pełne rozwiązania, pułapki, schematy i linki do bazy ponad 2300 zadań CKE.
type: task_solution
category: Funkcja kwadratowa
tags: zadanie 14 matura 2026, zadanie 27 matura matematyka, ostrosłup matura 2026, funkcja kwadratowa matura, ciąg geometryczny, rozwiązania matura maj 2026, trudne zadania matura
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-05-05T15:00:00+00:00
updated: 2026-05-05T15:00:00+00:00
---
# Matura maj 2026 - rozwiązania zadań 14, 15 i 27 (najtrudniejsze otwarte)
## Trzy zadania, które decydowały o wyniku matury maj 2026

Jeśli na maturze z matematyki **5 maja 2026** szło ci dobrze do pewnego momentu, a potem zacząłeś gubić punkty, to z dużym prawdopodobieństwem winowajcami były **zadania 14, 15 i 27**. To trzy najwyżej punktowane zadania otwarte w arkuszu (4 + 3 + 2 pkt = łącznie **9 punktów**, czyli 18% wszystkich punktów do zdobycia).

W tym wpisie rozkładamy każde z nich na czynniki pierwsze. Pokazujemy nie tylko **gotowy schemat**, ale i typowe pułapki - czyli to, dlaczego maturzyści tracą punkty cząstkowe nawet wtedy, gdy ostatecznie wpadną na poprawny wynik.

Jeśli chcesz porównać swoje wyniki z resztą arkusza, zerknij na [pełne rozwiązania matury maj 2026](/matura-matematyka-2026-maj-odpowiedzi-arkusz-cke-rozwiazania) albo otwórz [arkusz w aplikacji](/exams/matura-maj-2026).

## Zadanie 14 (4 pkt) - funkcja kwadratowa z translacją wykresu

### Treść

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(3,-2)\). Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x+1)\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest liczba \(0\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci ogólnej.

### Schemat rozwiązania

To klasyczne zadanie, w którym kluczowym narzędziem jest **postać kanoniczna funkcji kwadratowej**. CKE celowo nie podaje współczynnika \(a\), bo chce sprawdzić, czy umiesz go wyciągnąć z warunku ubocznego (\(g(0)=0\)).

**Krok 1.** Skoro \(W=(3,-2)\), to:

$$f(x)=a(x-3)^{2}-2$$

**Krok 2.** Obliczamy \(g(x)=f(x+1)\) - przesuwamy wykres \(f\) o **1 jednostkę w lewo**:

$$g(x)=a\bigl((x+1)-3\bigr)^{2}-2=a(x-2)^{2}-2$$

**Krok 3.** Z warunku \(g(0)=0\):

$$a\cdot(-2)^{2}-2=0\Rightarrow 4a=2\Rightarrow a=\tfrac{1}{2}$$

**Krok 4.** Postać kanoniczna \(f\), a następnie rozwinięcie do postaci ogólnej:

$$f(x)=\tfrac{1}{2}(x-3)^{2}-2=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)-2=\tfrac{1}{2}x^{2}-3x+\tfrac{5}{2}$$

### Najczęstsze błędy

- **Mylenie kierunku translacji** - "podstawiamy \(x+1\), więc przesuwamy w prawo". Nie. \(f(x+1)\) przesuwa wykres **w lewo** o 1 jednostkę. Zapamiętaj to raz na zawsze.
- **Niewyliczenie \(a\)** - niektórzy zostawiają odpowiedź w postaci \(f(x)=a(x-3)^{2}-2\) i tracą 2-3 punkty. Trzeba dojść do liczbowej wartości \(a\).
- **Błąd przy rozwijaniu** - po wymnożeniu \(\tfrac{1}{2}\cdot 9=\tfrac{9}{2}\), a potem odjęcie \(2\) daje \(\tfrac{5}{2}\), nie \(\tfrac{7}{2}\) ani \(\tfrac{1}{2}\).

[Pełne interaktywne rozwiązanie zadania 14](/task/matura-maj-2026-16) - przejdź przez każdy krok osobno.

> Jeśli pomyłki przy postaciach funkcji kwadratowej zdarzają ci się częściej niż raz na 5 arkuszy, zerknij do przewodnika [funkcja kwadratowa na maturze - wzory, zadania i rozwiązania](/topics/funkcja-kwadratowa). Tam zebraliśmy 30+ zadań z arkuszy 2015-2025 z każdym typem postaci.

## Zadanie 15 (3 pkt) - ciąg geometryczny ukryty w arytmetycznym

### Treść

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trzywyrazowy ciąg \((a_1, a_9, a_k)\) jest geometryczny. Oblicz \(k\).

### Schemat rozwiązania

Tu CKE łączy dwa działy - **ciąg arytmetyczny** (bo \(a_n=3n+5\) to wzór ogólny ciągu arytmetycznego) i **ciąg geometryczny** (bo trójwyrazowy podciąg ma być geometryczny). Klucz to **warunek na średnią geometryczną**:

$$\text{trzy liczby }(a,b,c)\text{ są geometryczne}\iff b^{2}=a\cdot c$$

**Krok 1.** Wyliczamy \(a_1\) i \(a_9\) ze wzoru ciągu:

$$a_1=3\cdot 1+5=8,\qquad a_9=3\cdot 9+5=32$$

**Krok 2.** Stosujemy warunek geometryczności:

$$a_9^{2}=a_1\cdot a_k\Rightarrow 1024=8\cdot a_k\Rightarrow a_k=128$$

**Krok 3.** Wyznaczamy \(k\) ze wzoru ciągu:

$$3k+5=128\Rightarrow 3k=123\Rightarrow k=41$$

### Najczęstsze błędy

- **Mnożenie zamiast średniej geometrycznej** - niektórzy zapisują \(a_9=a_1\cdot q\), a potem podstawiają. Można i tak, ale wtedy musisz wyliczyć \(q=4\), znaleźć \(a_k=a_9\cdot q=128\) - i tu się zazwyczaj gubią, bo zapominają, że to ciąg geometryczny **(a_1, a_9, a_k)**, a nie cały ciąg \((a_n)\). Bezpieczniej iść przez warunek \(b^{2}=ac\).
- **Pomyłka w \(a_9\)** - zamiast 32 wpisują 33 (myląc z arytmetycznym wzorem). \(3\cdot 9=27\), \(27+5=32\).
- **Brak sprawdzenia, że \(k\) jest naturalne** - na maturze nie musisz tego pisać, ale warto się upewnić, że dostajesz całkowite \(k\).

[Pełne rozwiązanie zadania 15](/task/matura-maj-2026-17) - z dwiema alternatywnymi drogami: przez \(b^{2}=ac\) i przez iloraz \(q\).

> Więcej zadań z tej kategorii znajdziesz w [pełnym przewodniku po ciągach](/topics/ciagi). Mix arytmetyczno-geometryczny pojawia się w niemal każdym arkuszu, od 2015 wzwyż.

## Zadanie 27 (2 pkt) - ostrosłup z nachyleniem krawędzi

### Treść

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość \(8\sqrt{3}\). Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

### Schemat rozwiązania

W stereometrii **rysunek to połowa sukcesu**. Nawet schematyczny szkic z zaznaczonymi długościami pozwala uniknąć błędu typu "wziąłem całą przekątną zamiast jej połowy".

**Krok 1. Bok kwadratu.** Z własności kwadratu: \(d=a\sqrt{2}\), stąd:

$$a=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{6}$$

**Krok 2. Wysokość.** Wierzchołek ostrosłupa prawidłowego leży **dokładnie nad środkiem podstawy**, w odległości \(\tfrac{d}{2}=4\sqrt{3}\) od każdego wierzchołka kwadratu. Krawędź boczna, jej rzut na podstawę i wysokość tworzą trójkąt prostokątny z kątem \(30^\circ\):

$$\operatorname{tg}30^\circ=\frac{H}{4\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}}\Rightarrow H=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=4$$

**Krok 3. Pole podstawy i objętość.**

$$P_p=a^{2}=(4\sqrt{6})^{2}=96$$

$$V=\tfrac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\tfrac{1}{3}\cdot 96\cdot 4=128$$

### Najczęstsze błędy

- **Branie całej przekątnej zamiast jej połowy** - jeden z najczęstszych błędów w stereometrii. Krawędź boczna, jej rzut i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna pozioma to **połowa przekątnej**, nie cała przekątna.
- **Pomylenie tg z sin** - kąt nachylenia jest między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy. tg tego kąta = wysokość / rzut krawędzi.
- **Pomyłka w pierwiastku** - \((4\sqrt{6})^{2}=16\cdot 6=96\), nie 24 ani 144.

[Pełne rozwiązanie zadania 27](/task/matura-maj-2026-30) - z dokładnym rzutem ukośnym i każdym krokiem rozpisanym osobno.

> Więcej zadań z ostrosłupami i innymi bryłami znajdziesz w przewodniku [stereometria na maturze - bryły, objętości, kąty](/topics/stereometria). Zebraliśmy tam 40+ zadań z ostatnich 10 lat.

## Co możesz zrobić, jeśli te zadania ci nie poszły

**Jeśli pisałeś maturę 5 maja i pomyliłeś któreś z tych zadań** - dobra wiadomość: to dział nauki, w którym **trening prowadzi do automatyzmu**. Funkcja kwadratowa z przesunięciem, ciąg geometryczny w arytmetycznym, ostrosłup z nachyleniem - to schematy. Po 15-20 podobnych zadaniach robisz je z zamkniętymi oczami.

**Jeśli planujesz poprawkę w sierpniu**, zacznij od:

1. Przerobienia **wszystkich 33 zadań arkusza maj 2026** - tu masz pełną listę: [/exams/matura-maj-2026](/exams/matura-maj-2026)
2. Powtórki kategorii, w których tracisz najwięcej punktów - aplikacja pokazuje statystyki w [/progress](/progress)
3. Rozwiązania 5-7 starszych arkuszy, np. [maj 2025](/exams/matura-maj-2025), [maj 2024](/exams/matura-maj-2024), [maj 2023](/exams/matura-maj-2023)

Jeśli celujesz w lepszy wynik na maturze poprawkowej (lub w 2027), warto regularnie korzystać z [progresji w aplikacji](/progress) i symulować pełne arkusze na czas w [symulatorze matury](/simulator).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)