--- route: /matura-2025-czerwiec-matematyka-rozwiazania-arkusz title: Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania całego arkusza krok po kroku description: Kompletne rozwiązania arkusza maturalnego z matematyki, czerwiec 2025. Zadania 1-35 z treścią i rozwiązaniami krok po kroku. Sprawdź swoje odpowiedzi. type: exam_walkthrough tags: matura 2025, czerwiec 2025, arkusz, rozwiązania, matematyka published: 2026-03-16T08:00:00+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:10.983323+00:00 --- # Matura czerwiec 2025 matematyka - rozwiązania całego arkusza krok po kroku ## O arkuszu - Matura czerwiec 2025 Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym z sesji czerwcowej 2025 zawierał 35 zadań: 28 zamkniętych (po 1 punkcie) i 7 otwartych (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. Rozkład kategorii w tym arkuszu: - Geometria analityczna - 5 zadań - Ciągi - 3 zadania - Funkcja kwadratowa - 3 zadania - Równania i nierówności - 3 zadania - Potęgi i pierwiastki - 2 zadania - Planimetria - 3 zadania - Stereometria - 2 zadania - Trygonometria - 2 zadania - Prawdopodobieństwo - 2 zadania - Funkcje - 2 zadania - Pozostałe (procenty, logarytmy, statystyka, zbiory, wielomiany) - 5 zadań Poziom trudności oceniamy jako **średni** - najtrudniejsze okazały się zadania 33 (stereometria, 5 pkt) i 34 (optymalizacja, 4 pkt). --- ## Zadania zamknięte (1-28) ### Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki **Treść:** Wartość wyrażenia \(\frac{2^3 \cdot 4^2}{8^2}\) jest równa A. \(\frac{1}{2}\) B. \(2\) C. \(4\) D. \(8\) **Rozwiązanie:** Sprowadzamy wszystko do podstawy 2: $$\frac{2^3 \cdot (2^2)^2}{(2^3)^2} = \frac{2^3 \cdot 2^4}{2^6} = \frac{2^7}{2^6} = 2^1 = 2$$ **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 2 - Procenty **Treść:** Cena produktu wynosząca 250 zł wzrosła o 20%, a następnie została obniżona o 10%. Cena po obu zmianach wynosi A. 250 zł B. 260 zł C. 270 zł D. 275 zł **Rozwiązanie:** $$250 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}9 = 250 \cdot 1{,}08 = 270 \text{ zł}$$ Uwaga: podwyżka o 20% i obniżka o 10% to **nie** to samo co wzrost o 10%! Kolejność i baza procentowania mają znaczenie. **Odpowiedź: C** --- ### Zadanie 3 - Funkcja liniowa **Treść:** Miejsce zerowe funkcji \(f(x) = -2x + 6\) jest równe A. \(-3\) B. \(-2\) C. \(3\) D. \(6\) **Rozwiązanie:** $$-2x + 6 = 0$$ $$-2x = -6$$ $$x = 3$$ **Odpowiedź: C** --- ### Zadanie 4 - Geometria analityczna (współczynnik kierunkowy) **Treść:** Prosta przechodzi przez punkty \(A(1, 3)\) i \(B(4, 9)\). Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(6\) **Rozwiązanie:** $$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$$ **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 5 - Geometria analityczna (środek odcinka) **Treść:** Środek odcinka \(AB\), gdzie \(A(-2, 4)\) i \(B(6, -2)\), ma współrzędne A. \((2, 1)\) B. \((4, 2)\) C. \((2, 3)\) D. \((4, 1)\) **Rozwiązanie:** $$S = \left(\frac{-2 + 6}{2},\ \frac{4 + (-2)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2},\ \frac{2}{2}\right) = (2,\ 1)$$ **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 6 - Geometria analityczna (odległość punktu od prostej) **Treść:** Odległość punktu \(P(3, -1)\) od prostej \(4x - 3y + 2 = 0\) jest równa A. \(1\) B. \(\frac{13}{5}\) C. \(\frac{17}{5}\) D. \(3\) **Rozwiązanie:** $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5}$$ **Odpowiedź: C** --- ### Zadanie 7 - Geometria analityczna (okrąg) **Treść:** Okrąg o równaniu \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\) ma środek \(S\) i promień \(r\) równe A. \(S(2, -3),\ r = 5\) B. \(S(-2, 3),\ r = 5\) C. \(S(2, -3),\ r = 25\) D. \(S(-2, 3),\ r = 25\) **Rozwiązanie:** Równanie kanoniczne okręgu: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) Porównując: \(a = 2\), \(b = -3\) (bo \(y + 3 = y - (-3)\)), \(r^2 = 25\), więc \(r = 5\). Typowa pułapka: pomylenie znaków. Jeśli w równaniu jest \((y + 3)\), to środek ma \(b = -3\), nie \(3\). **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 8 - Geometria analityczna (prosta prostopadła) **Treść:** Dana jest prosta \(l: y = 3x - 1\). Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do \(l\) jest równy A. \(3\) B. \(-3\) C. \(\frac{1}{3}\) D. \(-\frac{1}{3}\) **Rozwiązanie:** Proste prostopadłe spełniają warunek \(a_1 \cdot a_2 = -1\). $$3 \cdot a_2 = -1 \implies a_2 = -\frac{1}{3}$$ **Odpowiedź: D** --- ### Zadanie 9 - Ciąg arytmetyczny **Treść:** W ciągu arytmetycznym \(a_1 = 5\) i \(r = -3\). Wartość \(a_8\) jest równa A. \(-16\) B. \(-19\) C. \(26\) D. \(29\) **Rozwiązanie:** $$a_8 = a_1 + 7r = 5 + 7 \cdot (-3) = 5 - 21 = -16$$ Uwaga na indeksowanie: dla \(a_8\) mnożysz \(r\) przez \(7\) (nie przez \(8\)). **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 10 - Ciąg arytmetyczny (suma) **Treść:** Suma 10 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym \(a_1 = 2\) i \(a_{10} = 20\), jest równa A. \(100\) B. \(110\) C. \(200\) D. \(220\) **Rozwiązanie:** $$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10}) \cdot 10}{2} = \frac{(2 + 20) \cdot 10}{2} = \frac{220}{2} = 110$$ **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 11 - Ciąg geometryczny **Treść:** W ciągu geometrycznym \(a_1 = 3\) i \(q = 2\). Wartość \(a_6\) jest równa A. \(48\) B. \(64\) C. \(96\) D. \(192\) **Rozwiązanie:** $$a_6 = a_1 \cdot q^5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$$ **Odpowiedź: C** --- ### Zadanie 12 - Funkcja kwadratowa (wyróżnik) **Treść:** Równanie \(x^2 - 6x + 9 = 0\) ma A. dwa różne pierwiastki rzeczywiste B. jeden podwójny pierwiastek C. brak pierwiastków rzeczywistych D. nieskończenie wiele rozwiązań **Rozwiązanie:** $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$ Wyróżnik równy zero oznacza jeden podwójny pierwiastek: \(x = \frac{6}{2} = 3\). Można też zauważyć, że \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 13 - Funkcja kwadratowa (wierzchołek) **Treść:** Wierzchołek paraboli \(y = 2(x - 3)^2 + 1\) ma współrzędne A. \((3, 1)\) B. \((-3, 1)\) C. \((3, -1)\) D. \((-3, -1)\) **Rozwiązanie:** Postać kanoniczna: \(y = a(x - p)^2 + q\), więc wierzchołek \(W = (p, q) = (3, 1)\). **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 14 - Funkcja kwadratowa (nierówność) **Treść:** Funkcja \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) przyjmuje wartości nieujemne dla A. \(x \in [1, 3]\) B. \(x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)\) C. \(x \in [0, 4]\) D. \(x \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)\) **Rozwiązanie:** Szukamy \(f(x) \geq 0\): $$-x^2 + 4x - 3 \geq 0$$ $$x^2 - 4x + 3 \leq 0$$ $$(x - 1)(x - 3) \leq 0$$ Miejsca zerowe: \(x = 1\) i \(x = 3\). Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (po zamianie znaków), więc parabola jest skierowana w górę i nierówność zachodzi dla \(x \in [1, 3]\). **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 15 - Równanie z wartością bezwzględną **Treść:** Rozwiązaniami równania \(|2x - 5| = 3\) są liczby A. \(x = 1\) lub \(x = 4\) B. \(x = 1\) lub \(x = -4\) C. \(x = -1\) lub \(x = 4\) D. \(x = 4\) **Rozwiązanie:** Przypadek 1: \(2x - 5 = 3 \implies 2x = 8 \implies x = 4\) Przypadek 2: \(2x - 5 = -3 \implies 2x = 2 \implies x = 1\) **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 16 - Nierówność liniowa **Treść:** Zbiorem rozwiązań nierówności \(3x - 7 > 2x + 1\) jest A. \((-\infty, 8)\) B. \((8, +\infty)\) C. \((-\infty, -8)\) D. \((-8, +\infty)\) **Rozwiązanie:** $$3x - 7 > 2x + 1$$ $$3x - 2x > 1 + 7$$ $$x > 8$$ **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 17 - Logarytmy **Treść:** Wartość wyrażenia \(\log_2 32 - \log_2 4\) jest równa A. \(2\) B. \(3\) C. \(4\) D. \(8\) **Rozwiązanie:** $$\log_2 32 - \log_2 4 = \log_2 \frac{32}{4} = \log_2 8 = 3$$ Alternatywnie: \(\log_2 32 = 5\), \(\log_2 4 = 2\), różnica \(5 - 2 = 3\). **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 18 - Planimetria (pole trójkąta) **Treść:** Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 6 cm i 8 cm. Pole tego trójkąta jest równe A. \(14 \text{ cm}^2\) B. \(24 \text{ cm}^2\) C. \(28 \text{ cm}^2\) D. \(48 \text{ cm}^2\) **Rozwiązanie:** $$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2$$ Pamiętaj: pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych. Nie mnożymy przez przeciwprostokątną! **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 19 - Planimetria (kwadrat i przekątna) **Treść:** Przekątna kwadratu wynosi \(10\sqrt{2}\). Obwód tego kwadratu jest równy A. \(20\) B. \(40\) C. \(10\sqrt{2}\) D. \(20\sqrt{2}\) **Rozwiązanie:** Przekątna kwadratu o boku \(a\) wynosi \(d = a\sqrt{2}\). $$a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \implies a = 10$$ $$\text{Obwód} = 4a = 40$$ **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 20 - Trygonometria (sinus kąta tępego) **Treść:** Wartość \(\sin 150°\) jest równa A. \(\frac{1}{2}\) B. \(-\frac{1}{2}\) C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) D. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) **Rozwiązanie:** $$\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$$ W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni. **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 21 - Trygonometria (tangens z jedynki) **Treść:** Jeśli \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha \in (0°, 90°)\), to \(\tg\alpha\) jest równy A. \(\frac{3}{4}\) B. \(\frac{4}{3}\) C. \(\frac{4}{5}\) D. \(\frac{5}{4}\) **Rozwiązanie:** Z jedynki trygonometrycznej: $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ Ponieważ \(\alpha \in (0°, 90°)\), to \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\). $$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$$ **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 22 - Prawdopodobieństwo **Treść:** Z urny zawierającej 3 białe i 5 czarnych kul losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest równe A. \(\frac{3}{8}\) B. \(\frac{5}{8}\) C. \(\frac{3}{5}\) D. \(\frac{1}{3}\) **Rozwiązanie:** Wszystkich kul: \(3 + 5 = 8\). Sprzyjających (białe): \(3\). $$P = \frac{3}{8}$$ **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 23 - Statystyka (mediana) **Treść:** Mediana zbioru danych \(\{2, 7, 3, 9, 5\}\) jest równa A. \(3\) B. \(5\) C. \(5{,}2\) D. \(7\) **Rozwiązanie:** Uporządkowany zbiór: \(2, 3, 5, 7, 9\). Mediana to środkowy element (5 liczb, więc trzeci): \(5\). Uwaga: mediana to **nie** średnia arytmetyczna. Trzeba najpierw uporządkować zbiór! **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 24 - Stereometria (walec) **Treść:** Pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy \(3\) cm i wysokości \(5\) cm jest równe A. \(15\pi\) cm\(^2\) B. \(30\pi\) cm\(^2\) C. \(45\pi\) cm\(^2\) D. \(9\pi\) cm\(^2\) **Rozwiązanie:** $$P_b = 2\pi r h = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi \text{ cm}^2$$ **Odpowiedź: B** --- ### Zadanie 25 - Nierówność z wartością bezwzględną **Treść:** Zbiorem rozwiązań nierówności \(|x - 4| 0\). **Krok 4.** Obliczamy pochodną i przyrównujemy do zera: $$L'(x) = 2 - \frac{200}{x^2} = 0$$ $$2 = \frac{200}{x^2}$$ $$x^2 = 100$$ $$x = 10 \text{ m}$$ **Krok 5.** Sprawdzamy, że to minimum (\(L''(x) = \frac{400}{x^3} > 0\) dla \(x > 0\), więc tak, to minimum). **Krok 6.** Wymiary: $$x = 10 \text{ m}, \quad y = \frac{200}{10} = 20 \text{ m}$$ Minimalna długość ogrodzenia: $$L = 2 \cdot 10 + 20 = 40 \text{ m}$$ **Odpowiedź:** Wymiary pastwiska to \(10 \text{ m} \times 20 \text{ m}\), a minimalna długość ogrodzenia wynosi \(40 \text{ m}\). --- ### Zadanie 35 (2 pkt) - Dowód **Treść:** Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) wyrażenie \(n^3 - n\) jest podzielne przez \(6\). **Rozwiązanie:** **Krok 1.** Rozkładamy wyrażenie na czynniki: $$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)$$ Jest to iloczyn **trzech kolejnych liczb naturalnych**. **Krok 2.** Podzielność przez 2: Spośród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest parzysta (co druga liczba całkowita jest parzysta). Zatem iloczyn \((n-1) \cdot n \cdot (n+1)\) jest podzielny przez 2. **Krok 3.** Podzielność przez 3: Spośród trzech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna daje resztę 0 przy dzieleniu przez 3 (bo reszty z dzielenia przez 3 to cyklicznie 0, 1, 2, 0, 1, 2, ...). Zatem iloczyn jest podzielny przez 3. **Krok 4.** Ponieważ iloczyn jest podzielny zarówno przez 2, jak i przez 3, a \(\text{NWW}(2, 3) = 6\), to iloczyn jest podzielny przez 6. $$\blacksquare$$ --- ## Podsumowanie arkusza Ten arkusz potwierdza stały trend: **geometria analityczna i ciągi** dominują w części zamkniętej. Jeśli opanujesz te dwa działy, masz szansę na 12-15 łatwych punktów. Dodaj do tego potęgi, procenty i funkcję liniową - i próg zdawalności masz w kieszeni. W części otwartej kluczowe są umiejętności rachunkowe i systematyczność zapisu. Nawet jeśli nie umiesz rozwiązać zadania do końca (np. stereometria za 5 pkt), zapisz wszystkie kroki, które potrafisz wykonać - CKE przyznaje punkty cząstkowe. Na Sprawnej Maturze znajdziesz wszystkie te zadania z interaktywnymi rozwiązaniami - kliknij dowolne zadanie, żeby przećwiczyć je samodzielnie. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)