---
route: /losowanie-ze-zwracaniem-prawdopodobienstwo-regula-mnozenia-zadania-matura
title: Losowanie ze zwracaniem - prawdopodobieństwo, reguła mnożenia i zadania maturalne
description: Losowanie ze zwracaniem: ile jest wyników, para (a, b) jako wynik, tabela par i reguła mnożenia. Osiem zadań z matur CKE rozwiązanych krok po kroku.
type: task_solution
category: Prawdopodobieństwo
tags: losowanie ze zwracaniem, losowanie ze zwracaniem prawdopodobieństwo, losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem, prawdopodobieństwo zadania maturalne, reguła mnożenia prawdopodobieństwo, tabela par prawdopodobieństwo, iloczyn wylosowanych liczb prawdopodobieństwo, suma wylosowanych liczb parzysta, zdarzenia elementarne ze zwracaniem, prawdopodobieństwo klasyczne matura
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-28T07:16:51.341+00:00
updated: 2026-08-28T07:16:51.341+00:00
---
# Losowanie ze zwracaniem - prawdopodobieństwo, reguła mnożenia i zadania maturalne
Losowanie ze zwracaniem oznacza, że wylosowany element wraca do puli przed następnym losowaniem, więc każde losowanie odbywa się z tego samego, pełnego zbioru, a wyniki mogą się powtarzać. Jeśli ze zbioru \(n\)-elementowego losujesz \(k\) razy po jednym elemencie ze zwracaniem, wszystkich możliwych wyników jest \(n^k\); przy dwóch losowaniach to \(n \cdot n = n^2\), a pojedynczym wynikiem jest uporządkowana para \((a, b)\), w której \(a\) to pierwsza wylosowana liczba, a \(b\) druga. Prawdopodobieństwo liczysz z definicji klasycznej: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\), gdzie \(|A|\) to liczba par spełniających warunek zadania.

To jeden z najczęściej powtarzanych typów otwartego zadania z prawdopodobieństwa na maturze podstawowej. W bazie sprawnamatura polecenie "ze zbioru liczb losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem" znajdziesz w arkuszach z maja 2011, 2012, 2014, 2019, 2022, 2023 i 2024, z sierpnia 2017 i 2022 oraz w zestawie CKE 2025. Zmienia się tylko warunek: suma parzysta, iloczyn podzielny przez 15, iloczyn ujemny, pierwsza liczba większa od drugiej. Metoda jest zawsze ta sama i poniżej przechodzimy ją na ośmiu zadaniach z arkuszy.

## Losowanie ze zwracaniem a losowanie bez zwracania

Przy losowaniu ze zwracaniem pula nie maleje: za każdym razem wybierasz spośród wszystkich \(n\) elementów, więc para \((3, 3)\) jest pełnoprawnym wynikiem, a \((2, 5)\) i \((5, 2)\) to dwa różne wyniki. Przy losowaniu bez zwracania wylosowany element znika z puli, drugie losowanie ma już tylko \(n - 1\) możliwości, a powtórzenie jest niemożliwe.

Porównaj na zbiorze \(\{1, 2, 3, 4\}\):

- ze zwracaniem, dwa losowania: \(|\Omega| = 4 \cdot 4 = 16\) par, w tym cztery pary z powtórzeniem;
- bez zwracania, dwa losowania po kolei: \(|\Omega| = 4 \cdot 3 = 12\) par, bez powtórzeń;
- bez zwracania, dwa elementy naraz (kolejność nieistotna): \(|\Omega| = \binom{4}{2} = 6\) zbiorów.

Ten trzeci wariant, z kombinacjami, opisuję osobno w artykule o [losowaniu bez zwracania](/losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania). Tu zajmujemy się wyłącznie wariantem pierwszym, bo w treści zadania fraza "ze zwracaniem" rozstrzyga sprawę: kolejność ma znaczenie, powtórzenia są dozwolone, a wszystkich wyników jest \(n^2\).

## Ile jest wszystkich wyników - reguła mnożenia

Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych przy losowaniu ze zwracaniem liczysz [regułą mnożenia](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje): pierwsze losowanie ma \(n\) możliwości, drugie też \(n\), więc par jest \(n \cdot n\). Przy \(k\) losowaniach mnożysz \(k\) razy i dostajesz \(n^k\).

$$|\Omega| = \underbrace{n \cdot n \cdot \ldots \cdot n}_{k \text{ razy}} = n^k$$

Kilka wartości, które pojawiają się w arkuszach: zbiór pięcioelementowy daje \(25\) par, sześcioelementowy \(36\), siedmioelementowy \(49\), ośmioelementowy \(64\), dziewięcioelementowy \(81\). Dokładnie taką samą przestrzeń, \(6 \cdot 6 = 36\), ma [rzut dwiema kostkami](/rzut-dwiema-kostkami-prawdopodobienstwo-tabela-36-wynikow): rzut drugą kostką to nic innego jak drugie losowanie ze zwracaniem ze zbioru \(\{1, \ldots, 6\}\).

## Tabela par - najpewniejszy sposób na zdarzenia sprzyjające

Najpewniejszą metodą [policzenia zdarzeń sprzyjających](/losowanie-liczb-z-dwoch-zbiorow-prawdopodobienstwo-suma-iloczyn-matura#jak-policzyc-pary-sprzyjajace) jest tabela: w wierszach wypisujesz pierwszą wylosowaną liczbę, w kolumnach drugą, a w komórkach zaznaczasz, czy para spełnia warunek. Dla zbiorów do ośmiu elementów tabela ma najwyżej 64 pola i wypełnisz ją szybciej, niż zdążysz się pomylić w rozumowaniu na skróty.

Tak wygląda tabela iloczynów dla zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). Pogrubione są iloczyny nieparzyste, czyli zdarzenia sprzyjające z przykładu 1 poniżej.

| pierwsza / druga | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| **1** | **1** | 2 | **3** | 4 | **5** |
| **2** | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| **3** | **3** | 6 | **9** | 12 | **15** |
| **4** | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| **5** | **5** | 10 | **15** | 20 | **25** |

Pogrubionych pól jest dziewięć i układają się w regularny wzór: tylko wiersze i kolumny liczb nieparzystych. To podpowiada drugą metodę, szybszą, gdy warunek da się przetłumaczyć na własność każdej liczby osobno: zamiast zaznaczać pola, liczysz \(3 \cdot 3 = 9\), bo trzy liczby nieparzyste w pierwszym losowaniu i trzy w drugim. Obie metody dają ten sam wynik, a tabela jest dodatkowo sprawdzeniem.

## Przykład 1: iloczyn nieparzysty (matura maj 2019, zadanie 30)

**Treść:** Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Pięć liczb, dwa losowania ze zwracaniem: \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Wystarczy jedna parzysta, żeby iloczyn był parzysty.

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.** Nieparzyste w zbiorze: \(1, 3, 5\), czyli trzy. Pierwsza nieparzysta na 3 sposoby, druga na 3 sposoby: \(|A| = 3 \cdot 3 = 9\). Zgadza się z tabelą wyżej.

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{9}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{9}{25}\).

## Przykład 2: suma parzysta (matura maj 2024)

**Treść:** Dany jest pięcioelementowy zbiór \(K = \{5, 6, 7, 8, 9\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy obie są parzyste albo obie nieparzyste. Parzysta plus nieparzysta daje nieparzystą.

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.** Parzyste w zbiorze: \(6, 8\) (dwie liczby), nieparzyste: \(5, 7, 9\) (trzy liczby).

$$|A| = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{13}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{13}{25}\). Sprawdzenie przez zdarzenie przeciwne: par o sumie nieparzystej jest \(2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12\), a \(13 + 12 = 25\). Rachunek się domyka. Więcej o takim sprawdzaniu w artykule o [zdarzeniu przeciwnym i sumie zdarzeń](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa).

## Przykład 3: iloczyn ujemny (matura sierpień 2022, zadanie 34)

**Treść:** Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5, -4, 1, 2, 3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Iloczyn jest ujemny, gdy liczby mają różne znaki: jedna ujemna, druga dodatnia. W zbiorze są dwie liczby ujemne (\(-5, -4\)) i trzy dodatnie (\(1, 2, 3\)).

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.** Kolejność ma znaczenie, więc liczysz dwa układy osobno:

- pierwsza ujemna, druga dodatnia: \(2 \cdot 3 = 6\) par,
- pierwsza dodatnia, druga ujemna: \(3 \cdot 2 = 6\) par.

$$|A| = 6 + 6 = 12$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{12}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{12}{25}\). Najczęstszy błąd to policzenie tylko \(2 \cdot 3 = 6\) i wynik \(\frac{6}{25}\). Para \((-5, 2)\) i para \((2, -5)\) to dwa różne wyniki losowania, więc oba trzeba zaliczyć.

## Przykład 4: iloczyn równy 24 (matura maj 2022, zadanie 34)

**Treść:** Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 9 \cdot 9 = 81\).

**Krok 2: Wypisz pary.** Szukasz par \((a, b)\) liczb od \(1\) do \(9\), dla których \(a \cdot b = 24\). Rozkłady liczby \(24\) na dwa czynniki: \(1 \cdot 24\), \(2 \cdot 12\), \(3 \cdot 8\), \(4 \cdot 6\). Pierwsze dwa odpadają, bo \(24\) i \(12\) nie należą do zbioru.

$$A = \{(3, 8), (8, 3), (4, 6), (6, 4)\}, \qquad |A| = 4$$

**Krok 3: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{4}{81}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{4}{81}\). Gdy warunek dotyczy konkretnej wartości iloczynu albo sumy, nie kombinuj z własnościami, po prostu wypisz pary. Pamiętaj tylko o obu kolejnościach.

## Przykład 5: iloczyn podzielny przez 15 (matura maj 2023)

**Treść:** Ze zbioru ośmiu liczb \(\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(15\).

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 8 \cdot 8 = 64\).

**Krok 2: Przetłumacz warunek.** Iloczyn jest podzielny przez \(15 = 3 \cdot 5\), gdy jest podzielny przez \(3\) i przez \(5\). Jedyną liczbą w zbiorze podzielną przez \(5\) jest \(5\), więc jedna z wylosowanych liczb musi być piątką. Druga musi dostarczyć czynnik \(3\): to \(3\), \(6\) albo \(9\). Para \((5, 5)\) odpada, bo \(25\) nie dzieli się przez \(3\). O [cechach podzielności](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania) warto pamiętać, bo to one skracają ten krok.

**Krok 3: Zdarzenia sprzyjające.**

$$A = \{(5, 3), (5, 6), (5, 9), (3, 5), (6, 5), (9, 5)\}, \qquad |A| = 6$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{3}{32}\).

## Przykład 6: pierwsza liczba większa od drugiej (zestaw CKE 2025)

**Treść:** Ze zbioru sześciu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że pierwsza wylosowana liczba będzie większa od drugiej wylosowanej liczby.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\).

**Krok 2: Symetria zamiast wypisywania.** Wszystkie pary dzielą się na trzy grupy: \(a > b\), \(a  b\) odpowiada dokładnie jedna para \((b, a)\) z \(a  b\) musi być równa liczbie par z \(a < b\).