---
route: /losowanie-liczb-z-dwoch-zbiorow-prawdopodobienstwo-suma-iloczyn-matura
title: Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y - jak policzyć prawdopodobieństwo (zadania maturalne)
description: Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y: |Ω| = |X|·|Y|, tabela par, suma parzysta, znak iloczynu. Pięć zadań CKE krok po kroku.
type: task_solution
category: Prawdopodobieństwo
tags: losowanie z dwóch zbiorów prawdopodobieństwo, losujemy jedną liczbę ze zbioru a następnie ze zbioru, dane są dwa zbiory losujemy po jednej liczbie, reguła mnożenia prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo suma parzysta dwa zbiory, iloczyn wylosowanych liczb dodatni prawdopodobieństwo, iloczyn podzielny przez 4 prawdopodobieństwo, tabela par prawdopodobieństwo, zadanie 33 matura 2026 prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo klasyczne zadania otwarte, prawdopodobieństwo matura podstawowa
published: 2026-09-18T07:15:00+00:00
updated: 2026-09-20T10:28:21.351814+00:00
---
# Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y - jak policzyć prawdopodobieństwo (zadania maturalne)
Gdy losujesz jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie jedną liczbę ze zbioru \(Y\), wynikiem jest uporządkowana para \((x, y)\), a wszystkich takich par jest \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\), czyli liczność pierwszego zbioru razy liczność drugiego. Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) to liczba par spełniających warunek podzielona przez \(|X| \cdot |Y|\). Pary sprzyjające liczysz na jeden z trzech sposobów: z tabeli par, przez rozbicie na przypadki (parzystość, znak, reszta z dzielenia) albo przez zdarzenie przeciwne.

W formule 2023 to zadanie pojawiło się już w czterech arkuszach i za każdym razem było zadaniem otwartym za 2 punkty: w [arkuszu z maja 2026](/exams/matura-maj-2026) (zadanie 33, dwa zbiory cyfr i liczba dwucyfrowa podzielna przez 6), w [arkuszu z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025) (zadanie 33, zbiory z zerem i liczbami ujemnymi, iloczyn nieujemny), w [arkuszu z sierpnia 2024](/exams/matura-sierpien-2024) (suma większa od 9) i w próbnej maturze CKE z grudnia 2024 (zadanie 33, iloczyn podzielny przez 4). W starej formule ten sam schemat był wart 4 punkty: matura maj 2018, zadanie 33, suma podzielna przez 3. Różnica w stosunku do wpisu o [losowaniu ze zwracaniem](/losowanie-ze-zwracaniem-prawdopodobienstwo-regula-mnozenia-zadania-matura) jest jedna, ale kluczowa: tam dwa razy losujesz z tego samego zbioru i \(|\Omega| = n^2\), tutaj zbiory są dwa, różne, często o różnej liczbie elementów, i \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\).

## Ile jest wszystkich wyników, gdy losujemy z dwóch zbiorów

Wszystkich wyników jest tyle, ile uporządkowanych par \((x, y)\), gdzie \(x \in X\) i \(y \in Y\), czyli \(|X| \cdot |Y|\). To reguła mnożenia: pierwszą liczbę wybierasz na \(|X|\) sposobów, a do każdego z tych wyborów drugą liczbę na \(|Y|\) sposobów, więc możliwości mnożą się, a nie dodają.

Dla zbiorów \(X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}\) i \(Y = \{-2, -1, 0, 1\}\) z czerwca 2025 daje to \(|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24\) par. Nie \(6 \cdot 6 = 36\), nie \(4 \cdot 4 = 16\) i nie \(6 + 4 = 10\). Każda z tych błędnych liczb psuje mianownik, więc psuje wynik nawet przy dobrze policzonym liczniku.

Pary są równoprawdopodobne, bo każde z dwóch losowań wybiera jeden element z całego zbioru, a drugie losowanie nie zależy od pierwszego. Dlatego wolno użyć [modelu klasycznego](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania): \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\).

Ta sama reguła mnożenia liczy [liczby czterocyfrowe o zadanych cyfrach](/ile-jest-liczb-czterocyfrowych-regula-mnozenia-zadania) i wyniki [rzutu dwiema kostkami](/rzut-dwiema-kostkami-prawdopodobienstwo-tabela-36-wynikow). Kostki to szczególny przypadek dwóch zbiorów: \(X = Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) i \(|\Omega| = 36\).

## Dlaczego to nie jest n do kwadratu i po co kolejność w parze

Kwadrat \(n^2\) pojawia się tylko wtedy, gdy oba losowania są z tego samego zbioru o \(n\) elementach. Przy dwóch różnych zbiorach kolejność w parze jest ustalona przez zbiory, nie przez ciebie: pierwsza współrzędna zawsze pochodzi z \(X\), druga zawsze z \(Y\). Dlatego nie dzielisz przez \(2\) i nie sięgasz po kombinacje, jak przy [losowaniu bez zwracania](/losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania).

Para \((2, 3)\) i para \((3, 2)\) są dwoma różnymi wynikami tylko wtedy, gdy obie da się w ogóle wylosować, czyli gdy \(2\) i \(3\) należą do obu zbiorów naraz. W zadaniu z czerwca 2025 zbiory zachodzą na siebie: \((1, -2)\) i \((-2, 1)\) to dwa różne wyniki, bo \(1\) i \(-2\) są i w \(X\), i w \(Y\). Ale \((2, -2)\) istnieje, a \((-2, 2)\) nie, bo \(2\) nie należy do \(Y\). Gdy zbiory są rozłączne, jak \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) i \(D = \{7, 8, 9, 10\}\) z próbnej matury z grudnia 2024, pytanie o zamianę kolejności w ogóle nie powstaje: każda para ma małą liczbę na pierwszym miejscu i dużą na drugim.

Praktyczny wniosek: nigdy nie licz par „bez kolejności". Wypisujesz \((x, y)\) z \(x\) z pierwszego zbioru, \(y\) z drugiego, i tyle.

## Jak policzyć pary sprzyjające

Pary sprzyjające liczysz tabelą, gdy zbiory są małe; przez rozbicie na rozłączne przypadki, gdy warunek dotyczy parzystości, znaku albo reszty z dzielenia; przez zdarzenie przeciwne, gdy łatwiej opisać pary, które warunku nie spełniają. Wszystkie trzy metody dają tę samą liczbę \(|A|\), więc druga metoda jest darmową kontrolą pierwszej.

Weź \(X = \{1, 2, 3\}\), \(Y = \{4, 5, 6, 7\}\) i zdarzenie \(A\): suma wylosowanych liczb jest parzysta. Wszystkich par jest \(|\Omega| = 3 \cdot 4 = 12\).

### Tabela par

W wierszach liczby z \(X\), w kolumnach liczby z \(Y\), w komórce suma \(x + y\). Zaznaczasz komórki spełniające warunek i liczysz je.

| x + y | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | **6** | 7 | **8** |
| 2 | **6** | 7 | **8** | 9 |
| 3 | 7 | **8** | 9 | **10** |

Sum parzystych jest \(6\), więc \(P(A) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Tabela ma dokładnie \(|X| \cdot |Y|\) komórek, więc przy okazji pilnuje mianownika, a egzaminator widzi każdą parę.

### Rozbicie na przypadki

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie nieparzyste. W \(X\) są \(2\) liczby nieparzyste i \(1\) parzysta, w \(Y\) po \(2\) każdego rodzaju. Obie nieparzyste: \(2 \cdot 2 = 4\) pary. Obie parzyste: \(1 \cdot 2 = 2\) pary. Razem \(|A| = 4 + 2 = 6\), zgodnie z tabelą.

Ten sam schemat działa dla każdego warunku, który zależy tylko od „rodzaju" liczby:

- suma parzysta: obie parzyste lub obie nieparzyste; suma nieparzysta: różna parzystość,
- iloczyn nieparzysty: obie nieparzyste; iloczyn parzysty: co najmniej jedna parzysta,
- iloczyn dodatni: obie dodatnie lub obie ujemne; iloczyn ujemny: różne znaki,
- iloczyn równy zero: choć jedna z liczb to \(0\),
- suma podzielna przez \(3\): reszty z dzielenia obu liczb przez \(3\) dopełniają się do \(0\) lub \(3\).

Przypadki muszą być rozłączne, żeby nie policzyć żadnej pary dwa razy. Największe ryzyko podwójnego liczenia niesie zero, bo para \((0, 0)\) należy jednocześnie do przypadku „\(x = 0\)" i „\(y = 0\)".

### Zdarzenie przeciwne

Gdy warunek brzmi „co najmniej", „różny od" albo „nieujemny", policz pary, które go nie spełniają, i odejmij od \(|\Omega|\). Dla sumy parzystej zdarzeniem przeciwnym jest suma nieparzysta: \(2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6\) par o różnej parzystości, więc \(|A| = 12 - 6 = 6\). O tym, kiedy [zdarzenie przeciwne](/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa) skraca rachunek, przeczytasz osobno. W przykładzie 2 niżej właśnie ono zamienia cztery przypadki z zerem na dwa proste iloczyny.

## Wzory

Liczba wszystkich par przy dwóch zbiorach:

$$|\Omega| = |X| \cdot |Y|$$

Prawdopodobieństwo klasyczne:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Liczba par w rozłącznych przypadkach:

$$|A| = |A_1| + |A_2| + \ldots + |A_k|$$

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

$$P(A) = 1 - P(A')$$

Każdy przypadek \(A_i\) liczysz znowu regułą mnożenia: liczba pasujących \(x\) razy liczba pasujących \(y\). Cały rachunek to więc kilka iloczynów i jedna suma.

## Przykład 1: Liczba dwucyfrowa podzielna przez 6 (matura maj 2026, zadanie 33)

**Treść:** Dane są dwa zbiory cyfr: \(X = \{1, 3, 5, 7, 9\}\) oraz \(Y = \{0, 2, 4, 6, 8\}\). Losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru \(Y\). Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru \(X\) jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru \(Y\) jest cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Oba zbiory mają po \(5\) cyfr, więc par, a zarazem liczb dwucyfrowych, jest

$$|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$$

Liczba \(25\) wygląda jak \(n^2\), ale to przypadek: zbiory są różne, po prostu równoliczne.

**Krok 2: Rozbicie warunku.** Liczba jest podzielna przez \(6\), gdy jest podzielna przez \(2\) i przez \(3\). Cyfra jedności pochodzi z \(Y\), a tam są same cyfry parzyste, więc każda z \(25\) liczb jest parzysta. Zostaje podzielność przez \(3\): suma cyfr \(x + y\) ma być podzielna przez \(3\).

**Krok 3: Tabela sum cyfr.** W komórce stoi \(x + y\), pogrubione są sumy podzielne przez \(3\).

| x + y | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | **3** | 5 | 7 | **9** |
| 3 | **3** | 5 | 7 | **9** | 11 |
| 5 | 5 | 7 | **9** | 11 | 13 |
| 7 | 7 | **9** | 11 | 13 | **15** |
| 9 | **9** | 11 | 13 | **15** | 17 |

**Krok 4: Zliczenie par.** Po wierszach: \(2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9\). To liczby \(12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96\), każda dzieli się przez \(6\), więc \(|A| = 9\).

**Krok 5: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{9}{25}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{9}{25}\).

## Przykład 2: Iloczyn nieujemny, zbiory z zerem i liczbami ujemnymi (matura czerwiec 2025, zadanie 33)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}\) oraz \(Y = \{-2, -1, 0, 1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x, y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\), a \(y\) liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x, y)\), która spełnia warunek \(x \cdot y \geq 0\). Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Zbiór \(X\) ma \(6\) elementów, zbiór \(Y\) ma \(4\), więc

$$|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24$$

**Krok 2: Zdarzenie przeciwne.** Iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy liczby mają różne znaki, a żadna nie jest zerem. W \(X\) są \(3\) liczby ujemne, jedno zero i \(2\) dodatnie. W \(Y\) są \(2\) ujemne, jedno zero i \(1\) dodatnia.

$$|A'| = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$$

Pierwszy składnik to \(x\) ujemne z \(y\) dodatnim, drugi to \(x\) dodatnie z \(y\) ujemnym.

**Krok 3: Pary sprzyjające.** Wszystkie pozostałe pary mają iloczyn dodatni albo zerowy, czyli spełniają warunek.

$$|A| = 24 - 7 = 17$$

Kontrola wprost: obie ujemne \(3 \cdot 2 = 6\), obie dodatnie \(2 \cdot 1 = 2\), pary z co najmniej jednym zerem \(4 + 6 - 1 = 9\) (cztery pary z \(x = 0\), sześć z \(y = 0\), a \((0, 0)\) policzone raz). Razem \(6 + 2 + 9 = 17\).

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{17}{24}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{17}{24}\).

## Przykład 3: Suma większa od 9 (matura sierpień 2024)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(C = \{0, 4, 5, 7, 9\}\) oraz \(D = \{1, 2, 3\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** Pięć liczb w \(C\), trzy w \(D\).

$$|\Omega| = 5 \cdot 3 = 15$$

**Krok 2: Tabela sum.** Największa liczba w \(D\) to \(3\), więc z \(c \in \{0, 4, 5\}\) suma nie przekroczy \(8\). Zostają wiersze \(7\) i \(9\).

| c + d | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 | 7 |
| 5 | 6 | 7 | 8 |
| 7 | 8 | 9 | **10** |
| 9 | **10** | **11** | **12** |

**Krok 3: Zliczenie par.** Warunek spełniają \((7, 3)\), \((9, 1)\), \((9, 2)\), \((9, 3)\). Para \((7, 2)\) daje sumę równą \(9\), a to nie jest „większa od 9". Zatem \(|A| = 4\).

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{4}{15}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{4}{15}\).

## Przykład 4: Iloczyn podzielny przez 4 (matura próbna CKE grudzień 2024, zadanie 33)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) oraz \(D = \{7, 8, 9, 10\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(C\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(D\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez 4. Zapisz obliczenia.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.**

$$|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24$$

**Krok 2: Przypadki według liczby z D.** Iloczyn dzieli się przez \(4\), gdy oba czynniki razem wnoszą co najmniej dwie dwójki w rozkładzie. Zbiór \(D\) ma tylko cztery liczby, więc rozbij po nich:

- \(d = 8\): \(8\) samo dzieli się przez \(4\), więc pasuje każde \(c\), czyli \(6\) par,
- \(d = 10\): jedna dwójka jest w \(10\), drugą musi dać \(c\), więc \(c \in \{2, 4, 6\}\), czyli \(3\) pary,
- \(d = 7\) i \(d = 9\): liczby nieparzyste nie dają żadnej dwójki, więc \(c\) musi dzielić się przez \(4\), czyli \(c = 4\), po \(1\) parze dla każdego \(d\), razem \(2\).

**Krok 3: Suma przypadków.** Przypadki są rozłączne, bo różnią się liczbą \(d\).

$$|A| = 6 + 3 + 2 = 11$$

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{11}{24}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{11}{24}\).

## Przykład 5: Suma podzielna przez 3, dwa zbiory po siedem liczb (matura maj 2018, zadanie 33)

**Treść:** Dane są dwa zbiory: \(A = \{100, 200, 300, 400, 500, 600, 700\}\) i \(B = \{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\}\). Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.** „Z każdego z nich losujemy jedną liczbę" to ten sam model: para (liczba z \(A\), liczba z \(B\)).

$$|\Omega| = 7 \cdot 7 = 49$$

**Krok 2: Reszty z dzielenia przez 3.** Wypisywanie \(49\) sum jest wykonalne, ale reszty załatwiają to szybciej. Suma cyfr liczby \(100\) to \(1\), więc \(100\) daje resztę \(1\); dalej \(200\) resztę \(2\), \(300\) resztę \(0\), \(400\) resztę \(1\), \(500\) resztę \(2\), \(600\) resztę \(0\), \(700\) resztę \(1\). W zbiorze \(A\): reszta \(0\) dwa razy, reszta \(1\) trzy razy, reszta \(2\) dwa razy. W zbiorze \(B\): \(12\) i \(15\) mają resztę \(0\), \(10\), \(13\) i \(16\) resztę \(1\), \(11\) i \(14\) resztę \(2\), czyli znowu dwa, trzy, dwa.

**Krok 3: Pary o dopełniających się resztach.** Suma dzieli się przez \(3\), gdy reszty to \((0, 0)\), \((1, 2)\) albo \((2, 1)\).

$$|A| = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 + 6 = 16$$

Kontrola z listy: \((100, 11)\), \((100, 14)\), \((200, 10)\), \((200, 13)\), \((200, 16)\), \((300, 12)\), \((300, 15)\), \((400, 11)\), \((400, 14)\), \((500, 10)\), \((500, 13)\), \((500, 16)\), \((600, 12)\), \((600, 15)\), \((700, 11)\), \((700, 14)\). Szesnaście par.

**Krok 4: Prawdopodobieństwo.** Ułamek \(\frac{16}{49}\) jest nieskracalny, bo \(16 = 2^4\), a \(49 = 7^2\).

$$P(A) = \frac{16}{49}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{16}{49}\).

## Przykład 6: Suma parzysta przy zbiorach różnej liczności

**Treść:** Dane są zbiory \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) i \(Y = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie jedną liczbę ze zbioru \(Y\). Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie parzysta.

**Krok 1: Liczba wszystkich wyników.**

$$|\Omega| = 5 \cdot 7 = 35$$

**Krok 2: Parzystość w każdym zbiorze.** W \(X\) są \(3\) liczby nieparzyste (\(1, 3, 5\)) i \(2\) parzyste (\(2, 4\)). W \(Y\) są \(3\) nieparzyste (\(3, 5, 7\)) i \(4\) parzyste (\(2, 4, 6, 8\)).

**Krok 3: Dwa rozłączne przypadki.** Obie nieparzyste: \(3 \cdot 3 = 9\). Obie parzyste: \(2 \cdot 4 = 8\).

$$|A| = 9 + 8 = 17$$

**Krok 4: Kontrola zdarzeniem przeciwnym.** Suma nieparzysta: \(3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 12 + 6 = 18\). Razem \(17 + 18 = 35 = |\Omega|\), zgadza się.

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{17}{35}\). Wynik nie jest równy \(\frac{1}{2}\), bo w \(Y\) liczb parzystych jest więcej niż nieparzystych. Intuicja „suma parzysta w połowie przypadków" działa tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden zbiór ma tyle samo liczb parzystych co nieparzystych.

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Mnożenie \(n \cdot n\) zamiast \(|X| \cdot |Y|\). Przy zbiorach sześcio- i czteroelementowych z czerwca 2025 wynik \(36\) albo \(16\) w mianowniku psuje całe zadanie. Policz elementy każdego zbioru osobno, zanim cokolwiek pomnożysz, i zapisz \(|\Omega|\) w pierwszej linijce rozwiązania.

**Pułapka 2:** Zero przy iloczynie. Warunek \(x \cdot y \geq 0\) obejmuje pary z zerem, warunek \(x \cdot y > 0\) je wyklucza. Gdy liczysz pary z zerem wprost, para \((0, 0)\) wchodzi i do przypadku „\(x = 0\)", i do „\(y = 0\)", więc odejmij ją raz. Najbezpieczniej jest przejść na zdarzenie przeciwne, bo iloczyn ujemny nigdy nie zawiera zera.

**Pułapka 3:** Liczenie par „bez kolejności". Uczeń widzi w \(X\) i \(Y\) te same liczby, uznaje \((1, -2)\) i \((-2, 1)\) za jeden wynik i dzieli przez \(2\) albo sięga po kombinacje. Tu nie ma czego dzielić: pierwsza liczba zawsze pochodzi z \(X\), druga z \(Y\), a każda para jest jednym, odrębnym wynikiem.

**Pułapka 4:** Utożsamienie „suma parzysta" z „obie liczby parzyste". Dwie liczby nieparzyste też dają sumę parzystą i zwykle to one wnoszą większość par sprzyjających. Podobnie „iloczyn parzysty" to nie „obie parzyste", tylko „co najmniej jedna parzysta".

**Pułapka 5:** Mylenie cyfr z liczbami. W zadaniu z maja 2026 losujesz cyfry, ale warunek dotyczy liczby dwucyfrowej \(10x + y\). Podzielność przez \(6\) sprawdzasz dla tej liczby: parzystość z cyfry jedności, podzielność przez \(3\) z sumy cyfr. Iloczyn ani suma samych cyfr nie są tu zdarzeniem, o które pyta zadanie.

**Wskazówka:** Polecenie „Zapisz obliczenia" znaczy, że sam ułamek nie wystarczy. Zapisz \(|\Omega|\) z regułą mnożenia, pokaż, skąd bierze się \(|A|\) (tabela, przypadki albo zdarzenie przeciwne), i podaj \(P(A)\) jako ułamek. W maju 2018 polecenie dodatkowo żądało ułamka nieskracalnego, więc na końcu sprawdź, czy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika. Jak egzaminator przyznaje punkty za rozwiązanie częściowe, opisuje wpis o [zasadach oceniania zadań maturalnych](/jak-punktowane-zadania-matura-matematyka-zasady-oceniania).

**Zapamiętaj:** Trzy linijki, które muszą być w każdym takim rozwiązaniu:

- \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\) z podanymi licznościami zbiorów,
- \(|A|\) z widoczną metodą liczenia,
- \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\) jako ułamek, najlepiej skrócony.

## Co musisz umieć

- Zapisać wynik losowania z dwóch zbiorów jako uporządkowaną parę (x, y) i policzyć wszystkie pary regułą mnożenia.
- Odróżnić losowanie z dwóch różnych zbiorów od dwukrotnego losowania z jednego zbioru.
- Zbudować tabelę par dla małych zbiorów i zaznaczyć w niej pary spełniające warunek.
- Rozbić zdarzenie na rozłączne przypadki według parzystości, znaku albo reszty z dzielenia.
- Policzyć pary z zerem tak, żeby para (0, 0) weszła do rachunku raz.
- Użyć zdarzenia przeciwnego, gdy warunek brzmi „nieujemny", „co najmniej" albo „różny od".
- Zapisać liczność zbioru zdarzeń elementarnych, liczność zdarzenia i wynik jako ułamek nieskracalny.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Cztery zadania z arkuszy z modelu klasycznego: rzut dwiema kostkami z iloczynem równym 12 (znowu pary, tym razem 36 wyników), dwa zadania o podzielności losowanej liczby dwucyfrowej i jedno z niewiadomą liczbą kul, w którym prawdopodobieństwo jest dane. Do tego dwa zadania z dwoma zbiorami z maja 2026 i czerwca 2025, tym razem na ich własnych stronach. Każde otwiera się z rozwiązaniem krok po kroku. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [działu Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo), a wariant z dwoma losowaniami z jednego zbioru we wpisie o [losowaniu ze zwracaniem](/losowanie-ze-zwracaniem-prawdopodobienstwo-regula-mnozenia-zadania-matura).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z prawdopodobieństwa (/losuj)

## Najczęstsze pytania o losowanie z dwóch zbiorów

### Ile jest wszystkich wyników, gdy losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie jedną ze zbioru Y?

Tyle, ile uporządkowanych par \((x, y)\), czyli \(|X| \cdot |Y|\). Dla zbiorów o \(6\) i \(4\) elementach to \(24\) wyniki, dla zbiorów o \(5\) i \(3\) elementach \(15\). Liczności zbiorów mnożysz, nie dodajesz, i nie podnosisz żadnej z nich do kwadratu.

### Czy para (2, 3) i para (3, 2) to ten sam wynik?

Nie. Pierwsza współrzędna zawsze pochodzi ze zbioru \(X\), druga ze zbioru \(Y\), więc \((2, 3)\) i \((3, 2)\) są różnymi wynikami, o ile obie da się wylosować. Jeśli \(3\) nie należy do \(X\) albo \(2\) nie należy do \(Y\), para \((3, 2)\) w ogóle nie istnieje. W żadnym razie nie dzielisz liczby par przez \(2\).

### Jak policzyć prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest parzysta?

Policz w każdym zbiorze liczby parzyste i nieparzyste. Pary o sumie parzystej to pary obu liczb parzystych plus pary obu liczb nieparzystych, więc \(|A| = p_X \cdot p_Y + n_X \cdot n_Y\), gdzie \(p\) i \(n\) to liczby elementów parzystych i nieparzystych. Wynik dzielisz przez \(|X| \cdot |Y|\). Nie zakładaj, że wyjdzie \(\frac{1}{2}\): dla \(X = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) i \(Y = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) wychodzi \(\frac{17}{35}\).

### Jak policzyć prawdopodobieństwo, że iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni?

Iloczyn jest dodatni, gdy obie liczby są dodatnie albo obie ujemne, więc \(|A|\) to liczba dodatnich w \(X\) razy liczba dodatnich w \(Y\) plus liczba ujemnych w \(X\) razy liczba ujemnych w \(Y\). Zera nie liczysz po żadnej stronie, bo iloczyn z zerem jest równy zero, a zero nie jest dodatnie. Jeśli warunek brzmi „nieujemny", dołóż pary z zerem albo odejmij od \(|\Omega|\) pary o różnych znakach.

### Co zmienia zero w jednym ze zbiorów?

Zero nie ma znaku i nie jest ani dodatnie, ani ujemne, więc każda para z zerem ma iloczyn równy \(0\). Przy warunku „iloczyn dodatni" takie pary odpadają, przy warunku „iloczyn nieujemny" albo „iloczyn równy zero" wchodzą. Par z co najmniej jednym zerem jest \(|Y| + |X| - 1\), gdy zero jest w obu zbiorach, bo parę \((0, 0)\) liczysz raz. Przy sumie zero nie sprawia kłopotu: jest liczbą parzystą i daje resztę \(0\) z dzielenia przez \(3\).

### Czy losowanie z dwóch zbiorów to to samo co losowanie ze zwracaniem?

To ten sam model par uporządkowanych i ta sama reguła mnożenia, ale w losowaniu ze zwracaniem oba losowania są z jednego zbioru, więc \(|\Omega| = n^2\), a każda para ma swoje „lustrzane odbicie". Przy dwóch różnych zbiorach \(|\Omega| = |X| \cdot |Y|\), zbiory mogą mieć różne liczności i nie każda para ma odpowiednik z zamienioną kolejnością. Sposób liczenia par sprzyjających jest w obu wariantach identyczny.

### Czy w zadaniu otwartym trzeba wypisać wszystkie pary?

Nie, wystarczy rachunek, z którego wynika \(|\Omega|\) i \(|A|\): tabela, rozbicie na przypadki z iloczynami albo zdarzenie przeciwne. Przy małych zbiorach wypisanie par sprzyjających jest szybkie i czytelne dla egzaminatora, więc warto je dopisać jako kontrolę. Przy \(49\) parach, jak w maju 2018, wygodniej policzyć reszty z dzielenia.

### Ile punktów jest za takie zadanie na maturze?

W arkuszach formuły 2023 zadanie z dwoma zbiorami było zadaniem otwartym za 2 punkty: maj 2026 (zadanie 33), czerwiec 2025 (zadanie 33), sierpień 2024 i próbna matura CKE z grudnia 2024 (zadanie 33). W formule 2015 analogiczne zadanie z maja 2018 (zadanie 33) było warte 4 punkty i wymagało zapisu wyniku w postaci ułamka nieskracalnego.