---
route: /losowanie-bez-zwracania-prawdopodobienstwo-kombinacje-zadania
title: Losowanie bez zwracania - jak liczyć prawdopodobieństwo kombinacjami
description: Jak liczyć prawdopodobieństwo przy losowaniu kilku elementów naraz z kilku grup? Wzór z kombinacjami i rozwiązane zadania maturalne krok po kroku.
type: task_solution
category: Prawdopodobieństwo
tags: losowanie bez zwracania prawdopodobieństwo, prawdopodobieństwo dokładnie k, prawdopodobieństwo co najmniej jeden, kombinacje w prawdopodobieństwie zadania, symbol Newtona prawdopodobieństwo, losowanie kul bez zwracania wzór, prawdopodobieństwo losowanie jednoczesne, zadania maturalne prawdopodobieństwo kombinatoryka, wzór na losowanie z kilku grup, matura prawdopodobieństwo krok po kroku
published: 2026-08-10T11:02:37.032+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:29.342154+00:00
---
# Losowanie bez zwracania - jak liczyć prawdopodobieństwo kombinacjami
Gdy losujesz jednocześnie kilka elementów z grupy podzielonej na podgrupy (na przykład kule w dwóch kolorach albo losy w loterii) i pytanie brzmi "jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych elementów będzie dokładnie k sztuk danego rodzaju", liczysz to kombinacjami: w liczniku mnożysz liczbę sposobów wyboru z każdej podgrupy osobno, a w mianowniku masz liczbę sposobów wyboru ze wszystkich elementów naraz.

$$P = \frac{\binom{a}{k} \cdot \binom{b}{n-k}}{\binom{a+b}{n}}$$

gdzie \(a\) i \(b\) to liczności obu podgrup, \(n\) to liczba losowanych elementów, a \(k\) to liczba elementów pierwszego rodzaju, których szukasz. Ten schemat wraca na maturze regularnie, bo pasuje do wielu różnych treści - kul w urnie, losów w loterii, kart w talii, uczniów w klasie. W tym artykule rozwiążemy razem trzy zadania: klasyczne "dokładnie k", trudniejsze "co najmniej jeden" oraz wariant z trzema grupami naraz. Jeśli różnica między kombinacją a wariacją jest dla ciebie niejasna, zajrzyj najpierw do [kombinatoryki na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) - tu zakładam, że symbol Newtona już znasz.

## Wzór ogólny - losowanie z kilku grup naraz

Gdy w zbiorze \(N\) elementów wyróżnione są podgrupy o licznościach \(a_1, a_2, \ldots, a_j\) (ich suma daje \(N\)) i losujesz jednocześnie \(n\) elementów, prawdopodobieństwo, że dostaniesz dokładnie \(r_1\) elementów z pierwszej grupy, \(r_2\) z drugiej, i tak dalej (przy czym \(r_1+r_2+\ldots=n\)), liczysz wzorem:

$$P = \frac{\binom{a_1}{r_1} \cdot \binom{a_2}{r_2} \cdot \ldots \cdot \binom{a_j}{r_j}}{\binom{N}{n}}$$

Dla dwóch grup to dokładnie wzór z akapitu wyżej. Kluczowa zasada: mianownik zawsze liczysz jako liczbę sposobów wyboru \(n\) elementów ze **wszystkich** \(N\) elementów naraz, a licznik jako iloczyn oddzielnych wyborów z każdej podgrupy.

## Jak rozpoznać ten typ zadania

Szukaj w treści zwrotów: "losujemy jednocześnie", "wybieramy grupę", "losujemy bez zwracania" połączonych z pytaniem o dokładną liczbę elementów danego rodzaju. To sygnał, że kolejność losowania nie ma znaczenia, więc zarówno licznik, jak i mianownik liczysz kombinacjami (symbolem Newtona), a nie wariacjami. Gdyby w treści pojawiło się "kolejno" albo "ze zwracaniem", metoda byłaby inna - o tej różnicy więcej w sekcji pułapek.

## Przykład 1: dokładnie k elementów z jednej grupy

**Treść:** W pudełku jest 5 kul białych i 7 kul czarnych. Losujemy jednocześnie 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul są dokładnie 2 białe.

**Krok 1: Policz wszystkie możliwe wyniki losowania.**

W pudełku jest łącznie \(5+7=12\) kul, losujemy 4 naraz, kolejność nie ma znaczenia:

$$|\Omega| = \binom{12}{4} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{24} = 495$$

**Krok 2: Policz wyniki sprzyjające.**

Potrzebujesz dokładnie 2 kule białe (z 5 dostępnych) i pozostałe \(4-2=2\) kule muszą być czarne (z 7 dostępnych):

$$|A| = \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210$$

**Krok 3: Policz prawdopodobieństwo i skróć ułamek.**

$$P(A) = \frac{210}{495} = \frac{14}{33} \approx 0{,}424$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{14}{33}\).

## Przykład 2: co najmniej jeden

**Treść:** W loterii jest 20 losów, w tym 3 wygrywające. Kupujesz jednocześnie 4 losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich będzie co najmniej jeden wygrywający?

**Krok 1: Rozpoznaj, że łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne.**

"Co najmniej jeden" oznacza sumę kilku przypadków (dokładnie 1, dokładnie 2 lub dokładnie 3 wygrywające) - liczenie każdego osobno jest długie i łatwo o pomyłkę. Zamiast tego liczysz zdarzenie przeciwne: **żaden** z 4 losów nie jest wygrywający.

**Krok 2: Policz |Ω|.**

$$|\Omega| = \binom{20}{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{24} = 4845$$

**Krok 3: Policz zdarzenie przeciwne - wszystkie 4 losy z 17 przegrywających.**

$$|A'| = \binom{17}{4} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{24} = 2380$$

**Krok 4: Odejmij od jedynki.**

$$P(A') = \frac{2380}{4845} = \frac{28}{57}$$

$$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{28}{57} = \frac{29}{57} \approx 0{,}509$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{29}{57}\), czyli około 51%.

**A co z "co najwyżej"?** Gdyby pytanie brzmiało "co najwyżej jeden wygrywający", zdarzenie przeciwne do "co najwyżej 1" to "2 lub więcej wygrywających" - to zwykle więcej przypadków do zsumowania niż samo zdarzenie "co najwyżej 1" (czyli "0 wygrywających" lub "dokładnie 1 wygrywający"). W takiej sytuacji często szybciej jest policzyć wprost \(P(0) + P(1)\), zamiast szukać zdarzenia przeciwnego. Zasada jest prosta: licz to, co ma **mniej** składników do zsumowania, niezależnie czy to samo zdarzenie, czy jego dopełnienie.

## Przykład 3: trzy grupy naraz

**Treść:** W pudełku jest 4 kule czerwone, 3 niebieskie i 5 zielonych. Losujemy jednocześnie 3 kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz dokładnie po jednej kuli każdego koloru?

**Krok 1: Policz |Ω|.**

Wszystkich kul jest \(4+3+5=12\), losujesz 3:

$$|\Omega| = \binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{6} = 220$$

**Krok 2: Policz wyniki sprzyjające jako iloczyn trzech wyborów.**

Po jednej kuli z każdej grupy - to rozszerzenie wzoru z dwiema grupami na trzy czynniki w liczniku:

$$|A| = \binom{4}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{5}{1} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$$

**Krok 3: Policz prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11} \approx 0{,}273$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \dfrac{3}{11}\).

Ten przykład pokazuje, że wzór z dwiema grupami spokojnie rozszerza się na trzy i więcej - w liczniku po prostu dopisujesz kolejny symbol Newtona za każdą kolejną podgrupę, a w mianowniku zawsze zostaje jeden wyznacznik dla wszystkich elementów naraz.

## Losowanie ze zwracaniem a losowanie bez zwracania

To rozróżnienie decyduje o całej metodzie, więc warto je mieć jasne. Przy losowaniu **bez zwracania** i **jednoczesnym** (tak jak we wszystkich trzech przykładach wyżej) liczysz kombinacjami - kolejność nie ma znaczenia, a skład grupy zmniejsza się z każdym wylosowanym elementem. Przy losowaniu **ze zwracaniem** albo gdy w treści pojawia się "kolejno" z niezależnymi próbami, elementy są losowane niezależnie i stosujesz raczej [schemat Bernoulliego](/schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania) albo iloczyn prawdopodobieństw, a nie kombinacje z jednego wspólnego zbioru. Więcej o różnicy między losowaniem kolejnym a jednoczesnym, wraz z drzewkiem prawdopodobieństwa, znajdziesz w [poradniku o prawdopodobieństwie i drzewku](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania).

Zobacz różnicę na tych samych liczbach co w przykładzie 1. Tam losowaliśmy 4 kule **jednocześnie** z 5 białych i 7 czarnych, i wynik był \(P=\frac{14}{33}\approx0{,}424\). Gdyby zadanie brzmiało: "losujemy kulę, zapisujemy kolor, **wkładamy z powrotem** i losujemy ponownie - powtarzamy to 4 razy - jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 razy wylosujesz kulę białą", skład pudełka po każdym losowaniu byłby taki sam (5 białych, 7 czarnych, czyli \(p=\frac{5}{12}\) za każdym razem), więc liczyłbyś to schematem Bernoulliego:

$$P = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{5}{12}\right)^2 \cdot \left(\frac{7}{12}\right)^2 = 6 \cdot \frac{25}{144} \cdot \frac{49}{144} \approx 0{,}354$$

Wynik jest inny niż w przykładzie 1 (0,354 zamiast 0,424), mimo że pytanie brzmi niemal identycznie - "dokładnie 2 białe z 4". To dobry dowód na to, że jedno słowo w treści ("wkładamy z powrotem" kontra "jednocześnie") zmienia całą metodę rozwiązania.

## Typowe pułapki

**Pułapka 1: Użycie wariacji zamiast kombinacji.** Skoro losowanie jest jednoczesne, kolejność nie ma znaczenia - zarówno licznik, jak i mianownik muszą być liczone tą samą metodą (kombinacjami), inaczej ułamek nie ma sensu.

**Pułapka 2: Zapomnienie o dopełnieniu.** Przy "dokładnie k z grupy A" pozostałe \(n-k\) elementów trzeba wybrać z **pozostałej** grupy (grupy B), a nie z całego zbioru \(N\) - inaczej policzysz wyniki, które nie spełniają warunku zadania.

**Pułapka 3: Liczenie "co najmniej" wprost zamiast przez zdarzenie przeciwne.** Suma kilku osobnych przypadków jest dłuższa i bardziej podatna na pominięcie jednego z nich. Jeśli w zadaniu jest "co najmniej" albo "co najwyżej", sprawdź najpierw, czy zdarzenie przeciwne nie jest krótsze do policzenia.

**Pułapka 4: Zły mianownik.** W mianowniku zawsze jest liczba sposobów wyboru ze **wszystkich** elementów łącznie (\(\binom{N}{n}\)), nie liczba sposobów wyboru z jednej podgrupy.

**Pułapka 5: Nieskracanie wyniku.** CKE w kluczu odpowiedzi zwykle podaje ułamek nieskracalny - zawsze sprawdź na końcu, czy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik.

## Co musisz umieć - checklist

- Rozpoznać po treści zadania, że losowanie jest jednoczesne i bez zwracania (a nie kolejne, ze zwracaniem)
- Zapisać mianownik jako \(\binom{N}{n}\) - kombinacja ze wszystkich elementów
- Zapisać licznik jako iloczyn kombinacji z poszczególnych podgrup, zgodnie z warunkiem zadania
- Rozszerzyć wzór na trzy i więcej grup, gdy zadanie tego wymaga
- Rozpoznać, kiedy szybciej policzyć zdarzenie przeciwne ("co najmniej", "co najwyżej")
- Skrócić końcowy wynik do postaci nieskracalnej

Poćwicz ten schemat na [zadaniach z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo). Jeśli symbol Newtona nadal budzi wątpliwości, wróć do [wzoru na symbol Newtona](/symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie), a jeśli wolisz ogólne wprowadzenie do liczenia prawdopodobieństwa krok po kroku, zacznij od [jak obliczyć prawdopodobieństwo](/jak-obliczyc-prawdopodobienstwo-zadania). Podobne zadania z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz też w [arkuszu CKE 2025 PP](/task/cke-2025-pp-76) i w [zestawie zadań treningowych CKE](/task/cke-pp-treningowe-85).

## Najczęstsze pytania

### Jak rozpoznać, że zadanie wymaga kombinacji, a nie wariacji?
Jeśli losowanie jest jednoczesne (wybierasz grupę elementów naraz, a nie ustawiasz ich w kolejności), kolejność wyboru nie ma znaczenia i liczysz kombinacjami - symbolem Newtona \(\binom{n}{k}\). Gdyby kolejność miała znaczenie (na przykład ustawiasz osoby w rzędzie), użyłbyś wariacji.

### Czym różni się losowanie ze zwracaniem od losowania bez zwracania?
Bez zwracania każdy wylosowany element zmniejsza pulę pozostałych - stosujesz wtedy kombinacje z malejącego zbioru. Ze zwracaniem pula elementów zawsze jest taka sama, kolejne losowania są niezależne, a prawdopodobieństwa się mnożą (schemat Bernoulliego).

### Jak liczyć prawdopodobieństwo "co najmniej jeden" przy losowaniu bez zwracania?
Najszybciej przez zdarzenie przeciwne: policz prawdopodobieństwo, że warunek nie zachodzi wcale (na przykład żaden element danego rodzaju), a potem odejmij ten wynik od 1.

### Co zrobić, gdy w zadaniu są trzy albo więcej grup elementów?
Wzór rozszerza się naturalnie - w liczniku mnożysz kombinacje z każdej grupy osobno (tyle czynników, ile jest grup), a w mianowniku zostaje jedna kombinacja ze wszystkich elementów łącznie. Pokazuje to przykład 3 w tym artykule.

### Dlaczego w mianowniku zawsze jest liczba wszystkich elementów, a nie liczba elementów jednej grupy?
Bo mianownik to liczba wszystkich możliwych wyników losowania (przestrzeń zdarzeń elementarnych \(|\Omega|\)), a losujesz ze wszystkich dostępnych elementów naraz, niezależnie od tego, do jakiej grupy należą.

### Czy przy losowaniu "jednocześnie" kolejność ma znaczenie?
Nie. "Jednocześnie" oznacza, że interesuje cię tylko skład wylosowanego zestawu, nie kolejność wyciągania elementów - dlatego zarówno licznik, jak i mianownik liczysz kombinacjami.

### Jak sprawdzić, czy wynik prawdopodobieństwa jest poprawny?
Sprawdź, czy wynik mieści się w przedziale \([0,1]\), czy ułamek jest skrócony do postaci nieskracalnej, i czy suma prawdopodobieństw zdarzenia i zdarzenia przeciwnego daje dokładnie 1.

### Ile punktów CKE przyznaje za samo wypisanie wzoru bez obliczeń?
Zasady oceniania różnią się między zadaniami, ale zwykle poprawny zapis \(|\Omega|\) i \(|A|\) w postaci symboli Newtona to część punktów za metodę, nawet jeśli dalsze obliczenia zawierają błąd rachunkowy. Zawsze zapisuj oba wzory jawnie, zanim podstawisz liczby.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)