--- route: /logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania title: Logarytmy na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami krok po kroku description: Kompletny przewodnik po logarytmach na maturze: definicja, własności, zmiana podstawy logarytmu, równania logarytmiczne. Zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku. type: topic_guide category: Logarytmy tags: logarytmy, matura, wzory, własności logarytmów, zmiana podstawy, równania logarytmiczne published: 2026-03-24T10:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:47.952117+00:00 --- # Logarytmy na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami krok po kroku ## Logarytmy - straszne tylko z nazwy Logarytmy brzmią skomplikowanie, ale opierają się na jednej prostej idei: **logarytm odpowiada na pytanie "do jakiej potęgi muszę podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę?"** Na maturze podstawowej logarytmy pojawiają się w 1-2 zadaniach (zamkniętych za 1 pkt, czasem w otwartych). To nie jest temat, na którym stracisz egzamin - ale te 1-2 punkty mogą zrobić różnicę. ## Definicja logarytmu $$\log_a b = c \iff a^c = b$$ Czytamy: "logarytm z \(b\) przy podstawie \(a\) jest równy \(c\)" oznacza, że "\(a\) do potęgi \(c\) daje \(b\)". **Warunki istnienia logarytmu** (CKE to testuje!): - \(a > 0\) i \(a \neq 1\) (podstawa musi być dodatnia i różna od 1) - \(b > 0\) (logarytmujemy tylko liczby dodatnie) **Przykłady:** - \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\) - \(\log_3 81 = 4\), bo \(3^4 = 81\) - \(\log_{10} 1000 = 3\), bo \(10^3 = 1000\) - \(\log_5 1 = 0\), bo \(5^0 = 1\) **Zasada:** Logarytm z 1 przy dowolnej podstawie wynosi **0**, a logarytm z podstawy wynosi **1**. $$\log_a 1 = 0 \qquad \log_a a = 1$$ ## Własności logarytmów To jest serce tematu. Na maturze musisz znać 4 własności: ### 1. Logarytm iloczynu $$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$ Logarytm iloczynu = suma logarytmów. ### 2. Logarytm ilorazu $$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$ Logarytm ilorazu = różnica logarytmów. ### 3. Logarytm potęgi $$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$$ Wykładnik "schodzi" przed logarytm jako mnożnik. ### 4. Zmiana podstawy logarytmu $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$ Przydatne, gdy masz logarytmy o różnych podstawach i chcesz je sprowadzić do jednej. **Szczególny przypadek:** $$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$ ## Logarytm dziesiętny i naturalny - \(\log_{10} x\) zapisujemy jako \(\log x\) (logarytm dziesiętny) - \(\log_e x\) zapisujemy jako \(\ln x\) (logarytm naturalny, \(e \approx 2{,}718\)) Na maturze podstawowej prawie wyłącznie pojawiają się logarytmy o podstawach będących liczbami naturalnymi (2, 3, 5, 10). Logarytm naturalny to temat rozszerzenia. ## Jak obliczać logarytmy bez kalkulatora? **Metoda:** Zawsze sprowadzaj argument do potęgi podstawy. $$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$$ $$\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$$ $$\log_4 8 = \log_4 2^3 = \frac{\log_2 2^3}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$ W ostatnim przykładzie użyliśmy zmiany podstawy, bo 8 nie jest potęgą 4. ## Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE ### Przykład 1: Obliczanie wartości wyrażenia (zamknięte, 1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\log_2 16 + \log_2 \frac{1}{4}\) jest równa A. \(2\) B. \(3\) C. \(4\) D. \(6\) **Rozwiązanie:** $$\log_2 16 + \log_2 \frac{1}{4} = \log_2 (16 \cdot \frac{1}{4}) = \log_2 4 = 2$$ Alternatywnie: \(\log_2 16 = 4\), \(\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2\), suma \(= 4 + (-2) = 2\). **Odpowiedź: A** ### Przykład 2: Upraszczanie wyrażenia (zamknięte, 1 pkt) **Treść:** Jeśli \(\log_3 5 = a\), to \(\log_3 45\) jest równy A. \(2 + a\) B. \(9a\) C. \(2a\) D. \(a + 9\) **Rozwiązanie:** Rozkładamy 45: $$\log_3 45 = \log_3 (9 \cdot 5) = \log_3 9 + \log_3 5 = 2 + a$$ bo \(\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\). **Odpowiedź: A** ### Przykład 3: Zmiana podstawy (zamknięte, 1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\log_4 8\) jest równa A. \(2\) B. \(\frac{3}{2}\) C. \(\frac{2}{3}\) D. \(\frac{1}{2}\) **Rozwiązanie:** Sprowadzamy do podstawy 2: $$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$ **Odpowiedź: B** ### Przykład 4: Równanie logarytmiczne (zamknięte, 1 pkt) **Treść:** Rozwiązaniem równania \(\log_2(x - 1) = 3\) jest A. \(4\) B. \(7\) C. \(8\) D. \(9\) **Rozwiązanie:** Z definicji logarytmu: $$\log_2(x - 1) = 3 \iff x - 1 = 2^3 = 8$$ $$x = 9$$ Sprawdzamy warunek istnienia: \(x - 1 = 8 > 0\). Spełniony. **Odpowiedź: D** ### Przykład 5: Potęga w argumencie (zamknięte, 1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3\) jest równa A. \(-1\) B. \(0\) C. \(1\) D. \(3\) **Rozwiązanie:** $$2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3 = \log_3 5^2 - \log_3 75 + 1$$ $$= \log_3 25 - \log_3 75 + 1 = \log_3 \frac{25}{75} + 1 = \log_3 \frac{1}{3} + 1$$ $$= -1 + 1 = 0$$ **Odpowiedź: B** ## Najczęstsze błędy **Błąd 1: \(\log(a + b) \neq \log a + \log b\).** Własności dotyczą iloczynu i ilorazu, **nie** sumy i różnicy! \(\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3\), ale \(\log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4\). To nie to samo. **Błąd 2: Zapominanie o warunkach istnienia.** Argument logarytmu musi być **dodatni**. W równaniu \(\log_2(x - 3) = 5\) musisz sprawdzić, że \(x - 3 > 0\), czyli \(x > 3\). **Błąd 3: Mylenie podstawy z argumentem.** W \(\log_2 8\) podstawa to 2 (mała, na dole), a argument to 8. Pytamy: "2 do jakiej potęgi daje 8?" ## Strategia rozwiązywania 1. **Czy możesz sprowadzić argument do potęgi podstawy?** Jeśli tak, obliczasz od razu. 2. **Czy masz iloczyn/iloraz w argumencie?** Rozbij na sumę/różnicę logarytmów. 3. **Czy masz potęgę w argumencie?** Wyciągnij wykładnik przed logarytm. 4. **Czy masz różne podstawy?** Użyj wzoru na zmianę podstawy. Na Sprawnej Maturze przećwiczysz zadania z logarytmami z prawdziwych arkuszy CKE - rozwiąż je wszystkie i logarytmy przestaną Cię straszyć. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)