--- route: /logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania title: Logarytmy na maturze z matematyki - wzory, właściwości i zadania z rozwiązaniami description: Logarytmy na maturze krok po kroku. Definicja, wzory na działania logarytmiczne, równania i nierówności logarytmiczne. Typowe zadania maturalne z rozwiązaniami. type: topic_guide category: Logarytmy tags: logarytmy, matura, wzory, działania na logarytmach, równania logarytmiczne, matematyka author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-04-01T08:00:00+00:00 updated: 2026-10-02T07:54:29.063+00:00 --- # Logarytmy na maturze z matematyki - wzory, właściwości i zadania z rozwiązaniami ## Czym są logarytmy i dlaczego są ważne na maturze Logarytmy to jeden z tematów, który pojawia się na egzaminie maturalnym z matematyki praktycznie co roku. Zadania z logarytmami mogą być zarówno na poziomie podstawowym (zadania zamknięte), jak i na poziomie rozszerzonym (zadania otwarte wymagające pełnego rozwiązania). Warto je opanować solidnie, bo po zrozumieniu podstawowych wzorów stają się zaskakująco proste. Logarytm to odpowiedź na pytanie: **do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę?** Formalnie: \(\log_a b = c\) oznacza, że \(a^c = b\), gdzie \(a > 0\), \(a \neq 1\) oraz \(b > 0\). Przykład: \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\). Na maturze najczęściej spotykamy: - logarytm dziesiętny \(\log_{10} x\) (zapisywany skrótowo jako \(\log x\)) - logarytm naturalny \(\ln x\) (podstawa \(e \approx 2{,}718\)) --- ## Definicja i dziedzina funkcji logarytmicznej Funkcja logarytmiczna \(f(x) = \log_a x\) jest określona dla \(x > 0\). To ważne w zadaniach - zanim zaczniesz liczyć, sprawdź czy argument logarytmu jest dodatni. Na maturze często pojawia się pytanie o dziedzinę wyrażeń zawierających logarytmy. **Przykład:** Dla jakiej wartości \(x\) ma sens wyrażenie \(\log(x - 3)\)? Rozwiązanie: \(x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\). Dziedzina to \((3; +\infty)\). [Wykresy funkcji logarytmicznych](/funkcja-logarytmiczna-wykres-dziedzina-monotonicznosc-matura#dziedzina-funkcji-logarytmicznej): - gdy \(a > 1\) (np. \(\log_2 x\)) - funkcja rosnąca - gdy \(0 0\), spełniony. **Odpowiedź: D** **Zadanie 7:** Wartość wyrażenia \(2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3\) jest równa A. \(-1\) B. \(0\) C. \(1\) D. \(3\) **Rozwiązanie:** $$2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3 = \log_3 25 - \log_3 75 + 1 = \log_3 \frac{1}{3} + 1 = -1 + 1 = 0$$ **Odpowiedź: B** --- ## Równania logarytmiczne - metody i przykłady Na maturze pojawia się kilka typów równań logarytmicznych. Oto najczęstsze: ### Typ 1: Bezpośrednie zastosowanie definicji $$\log_3 x = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$$ ### Typ 2: Sprowadzenie do tej samej podstawy $$\log_2 x + \log_2 5 = \log_2 20$$ $$\log_2(5x) = \log_2 20$$ $$5x = 20 \Rightarrow x = 4$$ Sprawdzenie: \(x = 4 > 0\) - OK. ### Typ 3: Podstawienie \(t = \log_a x\) $$\log^2 x - 3\log x + 2 = 0$$ Podstawiamy \(t = \log x\): $$t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-2) = 0$$ $$t = 1 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = 10$$ $$t = 2 \Rightarrow \log x = 2 \Rightarrow x = 100$$ **UWAGA:** W równaniach logarytmicznych zawsze sprawdzaj dziedzinę na końcu. Jeśli pierwiastek spełnia warunek dziedziny (argument dodatni, podstawa dodatnia i różna od 1), to jest poprawnym rozwiązaniem. --- ## Nierówności logarytmiczne Nierówności logarytmiczne wymagają szczególnej uwagi przy kierunku nierówności - zmienia się on, gdy podstawa jest mniejsza od 1. **Reguła:** - Jeśli \(a > 1\): \(\log_a x > \log_a y \Leftrightarrow x > y\) - Jeśli \(0 \log_a y \Leftrightarrow x \log_3 5\). **Rozwiązanie:** Podstawa \(a = 3 > 1\), więc kierunek zachowany: $$2x - 1 > 5 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3$$ Warunek dziedziny: \(2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}\) Odpowiedź: \(x > 3\), bo \((3; +\infty)\) zawiera się w \((\frac{1}{2}; +\infty)\). **Przykład z podstawą mniejszą od 1:** Rozwiąż \(\log_{0{,}5} x 0{,}5^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$$ Odpowiedź: \(x > 8\), czyli \(x \in (8; +\infty)\). --- ## Typowe błędy na maturze przy logarytmach 1. **Brak sprawdzenia dziedziny** - to kosztuje punkty. Zawsze sprawdź, czy argument logarytmu jest dodatni. 2. **Mylenie wzorów** - \(\log(a + b) \neq \log a + \log b\). Wzór na sumę logarytmów dotyczy ILOCZYNU argumentów. 3. **Zły kierunek nierówności** - przy podstawie mniejszej od 1 kierunek się odwraca. 4. **Zapominanie o podstawieniu** - w równaniach kwadratowych względem logarytmu warto zawsze zastosować podstawienie \(t = \log_a x\). 5. **Mylenie podstawy z argumentem** - w \(\log_2 8\) podstawa to 2 (mała liczba na dole), a argument to 8. Pytasz: „2 do jakiej potęgi daje 8?”. --- ## Strategia na zadanie z logarytmami 1. **Czy argument jest potęgą podstawy?** Jeśli tak, wynik odczytujesz od razu. 2. **Czy w argumencie jest iloczyn albo iloraz?** Rozbij go na sumę albo różnicę logarytmów. 3. **Czy w argumencie jest potęga?** Wyciągnij wykładnik przed logarytm. 4. **Czy podstawy są różne?** Sprowadź je do jednej wzorem na zmianę podstawy. --- ## Jak ćwiczyć logarytmy przed maturą Najlepszym sposobem jest rozwiązywanie zadań z prawdziwych arkuszy maturalnych. Skup się szczególnie na: - zadaniach zamkniętych z obliczaniem wartości logarytmów (1-2 punkty) - zadaniach otwartych z równaniami logarytmicznymi (4-5 punktów) Na [SprawnaMatura.pl](/topics/logarytmy) znajdziesz setki zadań z logarytmami posortowanych według trudności, z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Warto też przejrzeć [arkusze maturalne z poprzednich lat](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), gdzie pojawiają się zadania z tego działu. Więcej o przygotowaniach do matury przeczytasz w artykule [Jak zdać maturę z matematyki w 2027 roku](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). --- ## Podsumowanie Logarytmy na maturze z matematyki to temat, który możesz opanować w stosunkowo krótkim czasie. Kluczowe kroki: 1. Naucz się na pamięć 6 podstawowych wzorów logarytmicznych 2. Ćwicz upraszczanie wyrażeń - to buduje intuicję 3. Rozwiązuj równania metodycznie, zawsze sprawdzając dziedzinę 4. Przy nierównościach zwracaj uwagę na podstawę Matura to egzamin ze schematu - zadania mają powtarzalną strukturę. Po przejściu kilkunastu zadań z logarytmami zaczniesz je rozpoznawać automatycznie. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)