---
route: /kula-wpisana-i-opisana-promien-szescian-ostroslup-matura
title: Kula wpisana i opisana - jak obliczyć promień (sześcian, ostrosłup, stożek)
description: Kula wpisana i opisana w sześcianie, ostrosłupie i stożku: wzory na promień, metoda przekroju osiowego i pięć zadań maturalnych krok po kroku.
type: task_solution
category: Stereometria
tags: kula wpisana, kula opisana, promień kuli opisanej na sześcianie, kula wpisana w sześcian, kula opisana na ostrosłupie, kula wpisana w stożek, bryły wpisane i opisane, stereometria matura, zadania maturalne stereometria, przekrój osiowy stożka, matura z matematyki 2027
published: 2026-08-03T07:13:14.67+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:24.703193+00:00
---
# Kula wpisana i opisana - jak obliczyć promień (sześcian, ostrosłup, stożek)
Promień kuli opisanej na sześcianie o krawędzi \(a\) wynosi \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), czyli tyle, ile połowa przekątnej sześcianu. Promień kuli wpisanej w ten sam sześcian to \(r = \frac{a}{2}\), czyli połowa krawędzi. W każdej innej bryle schemat jest ten sam: robisz przekrój przez oś symetrii, sprowadzasz zadanie przestrzenne do okręgu wpisanego albo opisanego na figurze płaskiej i liczysz promień z twierdzenia Pitagorasa lub ze wzoru na promień okręgu wpisanego \(\rho = \frac{P}{p}\), gdzie \(P\) to pole tej figury, a \(p\) połowa jej obwodu.

Kula wpisana i kula opisana to temat, na którym sypią się nawet uczniowie, którzy dobrze liczą objętości. Powód jest prosty: tu nie wystarczy podstawić do wzoru z karty wzorów, bo takiego wzoru tam nie ma. Musisz sam ustalić, gdzie leży środek kuli, a to wymaga jednego dobrego rysunku przekroju. W naszej bazie [zadań ze stereometrii](/topics/stereometria) ten dział to 204 zadania CKE, a konfiguracje z kulą pojawiają się głównie w zadaniach otwartych, czyli tam, gdzie idą pełne punkty za metodę.

## Co znaczy, że kula jest wpisana, a co, że opisana

Kula wpisana w bryłę jest styczna do wszystkich jej ścian i leży w całości wewnątrz. Kula opisana na bryle przechodzi przez wszystkie jej wierzchołki. Stąd biorą się dwie zasady, które rozwiązują większość zadań: środek kuli opisanej jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków bryły, a środek kuli wpisanej jest jednakowo oddalony od wszystkich jej ścian.

Z tego wynika trzecia rzecz, najważniejsza praktycznie: w bryle obrotowej i w ostrosłupie prawidłowym środek kuli zawsze leży na osi symetrii bryły. Nie musisz go szukać w przestrzeni, wystarczy, że wyznaczysz jego wysokość na tej osi. Jedna niewiadoma zamiast trzech.

Uwaga na nazewnictwo: w zadaniach CKE spotkasz też słowo "sfera". Sfera to sama powierzchnia (skorupka), kula to sfera razem z wnętrzem. Do liczenia promienia nie ma to znaczenia, ale gdy zadanie pyta o pole sfery, chodzi o \(4\pi R^2\), a gdy o objętość kuli, o \(\frac{4}{3}\pi R^3\). Szczegółowo rozbieramy te wzory we wpisie o tym, [jak liczyć pole powierzchni i objętość kuli](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-kuli-wzory-zadania-matura).

## Kula opisana na sześcianie i prostopadłościanie

Promień kuli opisanej na sześcianie o krawędzi \(a\) to połowa przekątnej sześcianu, czyli \(R = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Dla prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) jest analogicznie: \(R = \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\). Środek leży w punkcie przecięcia przekątnych bryły, czyli dokładnie w jej środku.

Dlaczego tak jest? Wszystkie wierzchołki mają leżeć na sferze, więc środek musi być jednakowo oddalony od każdego z nich. W prostopadłościanie taki punkt jest tylko jeden: środek symetrii bryły. Odcinek od tego punktu do wierzchołka to połowa przekątnej, a przekątną liczysz z podwójnego Pitagorasa:

$$d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}, \qquad R = \frac{d}{2}$$

Dla sześcianu wszystkie krawędzie są równe, więc \(d = a\sqrt{3}\). Jeśli mylą ci się \(\sqrt{2}\) i \(\sqrt{3}\), zapamiętaj: przekątna ściany to \(a\sqrt{2}\), przekątna całej bryły to \(a\sqrt{3}\). Rozpisujemy to dokładniej w poradniku o tym, [jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania).

## Kula wpisana w sześcian

Promień kuli wpisanej w sześcian o krawędzi \(a\) to \(r = \frac{a}{2}\). Kula dotyka wtedy każdej z sześciu ścian w jej środku, a jej średnica jest dokładnie równa krawędzi. To najprostszy przypadek w całym temacie i dlatego pojawia się najczęściej na poziomie podstawowym.

Ważne ograniczenie: w prostopadłościan, który nie jest sześcianem, kuli wpisać się nie da. Kula musiałaby jednocześnie dotykać obu par przeciwległych ścian, więc jej średnica musiałaby być równa \(a\), \(b\) i \(c\) naraz. To możliwe tylko wtedy, gdy \(a = b = c\).

Z kuli wpisanej w sześcian bierze się klasyczne pytanie o stosunek objętości:

$$\frac{V_{kuli}}{V_{szescianu}} = \frac{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^3}{a^3} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{a^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236$$

Czyli kula wpisana wypełnia około 52,4 procent sześcianu, niezależnie od jego wielkości. Taki wynik bez zmiennej to dobry sygnał, że liczyłeś dobrze.

## Kula opisana na ostrosłupie prawidłowym

Środek kuli opisanej na ostrosłupie prawidłowym leży na jego wysokości, a jego położenie liczysz z jednego równania. Oznacz przez \(H\) wysokość ostrosłupa, a przez \(d\) promień okręgu opisanego na podstawie. Wtedy promień kuli opisanej wynosi:

$$R = \frac{H^2 + d^2}{2H}$$

Wyprowadzenie zajmuje trzy linijki i warto je znać, bo na maturze łatwiej odtworzyć rozumowanie niż zapamiętać wzór. Niech środek kuli leży na wysokości \(x\) nad środkiem podstawy. Odległość do wierzchołka górnego to \(H - x\), a odległość do wierzchołka podstawy to \(\sqrt{d^2 + x^2}\). Oba mają być równe \(R\), więc:

$$(H-x)^2 = d^2 + x^2 \implies H^2 - 2Hx = d^2 \implies x = \frac{H^2-d^2}{2H}$$

Po podstawieniu \(R = H - x\) dostajesz wzór wyżej. Wartość \(d\) zależy tylko od podstawy: dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy \(a\) jest to \(d = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) (połowa przekątnej kwadratu), a dla trójkątnego \(d = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Promienie okręgów w podstawie liczy się dokładnie tak, jak w płaskiej geometrii, co rozbieramy we wpisie o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).

Zwróć uwagę na znak \(x\). Jeśli \(d > H\), czyli ostrosłup jest niski i szeroki, to \(x  H\), wartość \(x\) jest ujemna i środek wypada poniżej podstawy, czyli poza bryłą.

### Jak policzyć promień kuli wpisanej w stożek?
Najszybciej ze wzoru \(r = \frac{r_p H}{r_p + l}\), gdzie \(r_p\) to promień podstawy, \(H\) wysokość, a \(l\) tworząca. Alternatywnie policz \(r = \frac{3V}{S_c}\), czyli potrójną objętość podzieloną przez pole powierzchni całkowitej.

### Czy wzór \(r = \frac{3V}{S_c}\) działa dla każdej bryły?
Działa dla każdej bryły, w którą w ogóle da się wpisać kulę styczną do wszystkich ścian: dla sześcianu, ostrosłupów prawidłowych, czworościanu foremnego i stożka. Nie stosuj go do brył bez kuli wpisanej, na przykład do prostopadłościanu o różnych krawędziach.

### Czy kula wpisana i opisana są na maturze podstawowej?
Na poziomie podstawowym najczęściej pojawia się kula związana z sześcianem, bo sprowadza się do przekątnej albo połowy krawędzi. Trudniejsze konfiguracje z ostrosłupem i stożkiem to typowe zadania otwarte z poziomu rozszerzonego, choć sama metoda przekroju jest identyczna.

### Od czego zacząć rozwiązywanie takiego zadania?
Od rysunku przekroju przez oś symetrii i zaznaczenia na nim środka kuli. Dopiero potem zapisz warunek: równe odległości do wierzchołków (kula opisana) albo równe odległości do ścian (kula wpisana). Rachunki są zwykle łatwiejsze niż ustawienie tego warunku.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)