--- route: /ktorym-wyrazem-ciagu-jest-liczba-ile-wyrazow-ujemnych-matura title: Którym wyrazem ciągu jest liczba i ile wyrazów ciągu jest ujemnych - zadania maturalne description: Jak sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu, i policzyć wyrazy ujemne lub dodatnie. Równanie, nierówność z n i 6 zadań maturalnych krok po kroku. type: task_solution category: Ciągi tags: czy liczba jest wyrazem ciągu, którym wyrazem ciągu jest liczba, ile wyrazów ujemnych ma ciąg, ile wyrazów dodatnich ma ciąg, numer wyrazu ciągu, liczba wyrazów ciągu mniejszych od, ile wyrazów ma ciąg arytmetyczny, wzór ogólny ciągu zadania, ciągi matura zadania zamknięte, nierówność z n ciąg published: 2026-09-15T07:18:26.422+00:00 updated: 2026-09-15T07:20:04.761603+00:00 --- # Którym wyrazem ciągu jest liczba i ile wyrazów ciągu jest ujemnych - zadania maturalne Liczba \(x\) jest wyrazem ciągu \((a_n)\), jeśli równanie \(a_n = x\) ma rozwiązanie wśród liczb naturalnych \(n \ge 1\), a to rozwiązanie jest numerem szukanego wyrazu. Żeby policzyć, ile wyrazów ciągu jest ujemnych, dodatnich albo mniejszych od danej liczby, rozwiązujesz nierówność (na przykład \(a_n 0\)), mniejsze od danej liczby \(M\) (\(a_n M\) i weź najmniejszą liczbę naturalną, która ją spełnia. - **"Ile wyrazów ma skończony ciąg?"** Przyrównaj wzór ogólny do ostatniego wyrazu i wyznacz \(n\). Wynik dla ciągu arytmetycznego sprawdzisz w kalkulatorze: podaj pierwszy wyraz, różnicę i numer wyrazu, który wyszedł ci w rachunku. Dla ciągu z przykładu 1 wpisz \(a_1 = -4\), \(r = 3\) i \(n = 36\), a dostaniesz \(101\). Interaktywny kalkulator: ciag-arytmetyczny (dostępny na stronie wpisu) ## Przykład 1: Czy liczba jest wyrazem ciągu arytmetycznego **Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 3n - 7\) dla \(n \ge 1\). Sprawdź, czy liczby \(101\) i \(150\) są wyrazami tego ciągu. **Krok 1: Równanie dla liczby 101.** $$3n - 7 = 101 \quad \Rightarrow \quad 3n = 108 \quad \Rightarrow \quad n = 36$$ Liczba \(36\) jest naturalna, więc \(101\) jest trzydziestym szóstym wyrazem ciągu. Kontrola: \(a_{36} = 3 \cdot 36 - 7 = 101\). **Krok 2: Równanie dla liczby 150.** $$3n - 7 = 150 \quad \Rightarrow \quad 3n = 157 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{157}{3}$$ Liczba \(\frac{157}{3}\) nie jest naturalna, bo \(157\) nie dzieli się przez \(3\). Sąsiednie wyrazy to \(a_{52} = 149\) i \(a_{53} = 152\), a \(150\) leży między nimi. **Odpowiedź:** \(101 = a_{36}\) jest wyrazem ciągu, a \(150\) nie jest wyrazem tego ciągu. ## Przykład 2: Którym wyrazem jest liczba w ciągu kwadratowym **Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = n^2 - 5n\) dla \(n \ge 1\). Którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(24\)? Czy liczba \(10\) jest wyrazem tego ciągu? **Krok 1: Równanie kwadratowe dla liczby 24.** $$n^2 - 5n = 24 \quad \Rightarrow \quad n^2 - 5n - 24 = 0$$ **Krok 2: Delta i pierwiastki.** $$\Delta = 25 + 96 = 121, \quad \sqrt{\Delta} = 11$$ $$n_1 = \frac{5 - 11}{2} = -3, \quad n_2 = \frac{5 + 11}{2} = 8$$ **Krok 3: Odrzucenie pierwiastka ujemnego.** Numer wyrazu nie może być ujemny, więc zostaje \(n = 8\). Kontrola: \(a_8 = 64 - 40 = 24\). **Krok 4: Równanie dla liczby 10.** $$n^2 - 5n - 10 = 0, \quad \Delta = 25 + 40 = 65$$ Liczba \(65\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, więc oba pierwiastki \(\frac{5 \pm \sqrt{65}}{2}\) są niewymierne i żaden nie jest numerem wyrazu. **Odpowiedź:** \(24\) jest ósmym wyrazem ciągu, a \(10\) nie jest wyrazem tego ciągu. ## Przykład 3: Liczba wyrazów mniejszych od 10 (matura czerwiec 2023, zadanie 20) **Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = \frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa - A) \(28\) - B) \(31\) - C) \(32\) - D) \(27\) **Krok 1: Nierówność z warunku.** $$\frac{n-2}{3} 0\) przez \(-1\), więc zmieniasz jej znak. $$n^2 - 8n - 9 0\), a \(a_9 = -81 + 72 + 9 = 0\). Zero nie jest liczbą dodatnią, więc dziewiąty wyraz odpada. **Odpowiedź:** Ciąg ma \(8\) wyrazów dodatnich. ## Przykład 5: Najmniejszy numer wyrazu większego od 100 **Treść:** W ciągu geometrycznym \((a_n)\) wyraz \(a_4\) jest osiem razy większy od wyrazu \(a_1\), a drugi wyraz jest równy \(6\). Znajdź najmniejszą liczbę naturalną \(k\), dla której \(a_k > 100\). **Krok 1: Iloraz ciągu.** Z wzoru ogólnego \(a_4 = a_1 q^3\), więc warunek \(a_4 = 8a_1\) daje $$q^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad q = 2$$ **Krok 2: Pierwszy wyraz i wzór ogólny.** Skoro \(a_2 = a_1 \cdot 2 = 6\), to \(a_1 = 3\) i $$a_k = 3 \cdot 2^{k-1}$$ **Krok 3: Nierówność.** $$3 \cdot 2^{k-1} > 100 \quad \Rightarrow \quad 2^{k-1} > \frac{100}{3}$$ Liczba \(\frac{100}{3}\) leży między \(2^5 = 32\) a \(2^6 = 64\), więc najmniejszy wykładnik spełniający nierówność to \(k - 1 = 6\), czyli \(k = 7\). **Krok 4: Kontrola.** \(a_6 = 3 \cdot 32 = 96\), czyli nie więcej niż \(100\), a \(a_7 = 3 \cdot 64 = 192 > 100\). **Odpowiedź:** \(k = 7\). ## Przykład 6: Ile wyrazów ciągu jest liczbami całkowitymi **Treść:** Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = \frac{2n + 12}{n}\) dla \(n \ge 1\). Oblicz, ile wyrazów tego ciągu jest liczbami całkowitymi. **Krok 1: Rozbicie ułamka.** Dzielisz każdy składnik licznika przez \(n\). $$a_n = \frac{2n}{n} + \frac{12}{n} = 2 + \frac{12}{n}$$ **Krok 2: Warunek całkowitości.** Wyraz jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy \(\frac{12}{n}\) jest liczbą całkowitą, czyli gdy \(n\) jest dzielnikiem liczby \(12\). O dzielnikach i [podzielności liczb](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania) przeczytasz osobno. **Krok 3: Dzielniki naturalne.** Dzielniki \(12\) to \(1, 2, 3, 4, 6, 12\). Odpowiadające im wyrazy: \(a_1 = 14\), \(a_2 = 8\), \(a_3 = 6\), \(a_4 = 5\), \(a_6 = 4\), \(a_{12} = 3\). **Odpowiedź:** Liczbami całkowitymi jest \(6\) wyrazów tego ciągu. ## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy Dwa zadania z matur: jedno zamknięte o wyrazach ujemnych i jedno otwarte, w którym numer wyrazu jest drugą częścią dłuższego rachunku. Zanim otworzysz rozwiązanie, zapisz nierówność albo równanie z \(n\) i sprawdź wyrazy na granicy. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2011-16 Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2019-32 ## Typowe pułapki **Pułapka:** Numer wyrazu to liczba naturalna co najmniej \(1\). Pierwiastek ujemny, zero, ułamek i liczba niewymierna odpadają. Najczęstszy błąd w ciągu kwadratowym to podanie obu pierwiastków równania jako dwóch numerów wyrazów. **Pułapka 2:** Liczba wyrazów to nie długość przedziału. Przedział \((-3, 6)\) ma długość \(9\), ale zawiera tylko pięć liczb naturalnych dodatnich: \(1, 2, 3, 4, 5\). Wypisz je, zamiast odejmować końce przedziału. **Pułapka 3:** Wyraz równy zero nie jest ani dodatni, ani ujemny. Jeśli miejsce zerowe wzoru jest liczbą naturalną, ten wyraz wypada zarówno z liczenia wyrazów dodatnich, jak i ujemnych. Tak było w przykładzie 4 z \(a_9 = 0\). **Uwaga:** Przy wzorze z czynnikiem \((-1)^n\) znak wyrazu zależy od parzystości numeru. W arkuszu z maja 2024 ciąg \(a_n = (-1)^n (n - 5)\) ma \(a_1 = 4\), ale \(a_2 = -3\), więc nie wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Rozważ osobno \(n\) parzyste i nieparzyste. **Wskazówka:** Po każdym rachunku podstaw do wzoru ostatnią liczbę, która spełnia warunek, i pierwszą, która go nie spełnia. Dwa podstawienia wyłapują pomyłkę o jeden wyraz, która w zadaniu zamkniętym prowadzi prosto do błędnej odpowiedzi. ## Co musisz umieć - Sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu, rozwiązując równanie z niewiadomą n. - Odrzucić rozwiązanie, które nie jest liczbą naturalną co najmniej 1. - Policzyć wyrazy ujemne albo dodatnie przez nierówność i wypisanie liczb naturalnych z przedziału. - Rozwiązać nierówność kwadratową, gdy wzór ciągu zawiera n do kwadratu. - Wyznaczyć najmniejsze n, od którego wyrazy przekraczają daną liczbę. - Sprawdzić wynik, podstawiając do wzoru wyrazy na granicy przedziału. ## Poćwicz na zadaniach z bazy Zadania z arkuszy o numerach wyrazów i liczbie wyrazów spełniających warunek. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Szersze omówienie wzorów, sumy i monotoniczności znajdziesz we wpisie o [ciągach na maturze](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte), a wszystkie zadania z działu w [bazie zadań CKE z ciągów](/zadania-cke-ciagi-z-rozwiazaniami) i na stronie [działu Ciągi](/topics/ciagi). Następny krok: Losuj kolejne zadanie z ciągów (/losuj) ## Najczęstsze pytania o wyrazy ciągu ### Jak sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu? Przyrównaj wzór ogólny ciągu do tej liczby i rozwiąż równanie z niewiadomą \(n\). Jeśli wśród rozwiązań jest liczba naturalna \(n \ge 1\), liczba jest wyrazem ciągu o numerze \(n\). Jeśli wychodzi ułamek, liczba niewymierna, zero albo liczba ujemna, nie jest. ### Czy wyraz ciągu może mieć numer zero? Nie, gdy ciąg jest określony dla \(n \ge 1\), a tak są sformułowane zadania maturalne CKE. Pierwszy wyraz ma wtedy numer \(1\), więc rozwiązanie \(n = 0\) odrzucasz tak samo jak rozwiązanie ujemne. ### Jak obliczyć, ile wyrazów ma skończony ciąg arytmetyczny? Przyrównaj wzór ogólny do ostatniego wyrazu i wyznacz \(n\). Ciąg \(7, 11, 15, \ldots, 203\) ma \(a_1 = 7\) i \(r = 4\), więc \(7 + (n - 1) \cdot 4 = 203\), skąd \(n - 1 = 49\) i \(n = 50\). Ciąg ma \(50\) wyrazów. ### Czy wyraz równy zero jest dodatni? Nie. Zero nie jest ani liczbą dodatnią, ani ujemną, więc wyraz równy zero nie wchodzi do żadnej z tych grup. Jeśli zadanie pyta o wyrazy nieujemne albo niedodatnie, zero liczysz. ### Jak znaleźć pierwszy wyraz ciągu większy od danej liczby? Rozwiąż nierówność \(a_n > M\) i weź najmniejszą liczbę naturalną, która ją spełnia. W rosnącym ciągu geometrycznym o dodatnich wyrazach dzielisz nierówność przez pierwszy wyraz i szukasz pierwszej potęgi ilorazu, która przekracza otrzymaną liczbę, tak jak w przykładzie 5. Na koniec podstaw znaleziony numer i numer o jeden mniejszy. ### Czy takie zadanie da się rozwiązać, podstawiając kolejne liczby? W zadaniu zamkniętym z małymi liczbami tak, bo wystarczy znaleźć wynik. W zadaniu otwartym egzaminator oczekuje rachunku: równania albo nierówności z niewiadomą \(n\) i uzasadnienia, dlaczego odrzucasz pozostałe rozwiązania. Samo wypisanie kilku wyrazów nie pokazuje, że dalszych wyrazów spełniających warunek już nie ma.