--- route: /jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura title: Jedynka trygonometryczna - wzór, dowód i zadania matura krok po kroku description: Jedynka trygonometryczna sin²α + cos²α = 1: dowód z Pitagorasa, jak obliczyć cos z sin, znaki w ćwiartkach i 5 rozwiązanych zadań maturalnych. type: task_solution category: Trygonometria tags: jedynka trygonometryczna, sin2 cos2 1, tożsamości trygonometryczne, jak obliczyć cos z sin, trygonometria matura, wzory trygonometryczne, matura matematyka, dowód jedynki trygonometrycznej, znaki sin cos w ćwiartkach, tangens wzór author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-05-30T11:09:37.046+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00 --- # Jedynka trygonometryczna - wzór, dowód i zadania matura krok po kroku Jedynka trygonometryczna to wzór, który musisz znać na pamięć na maturze: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Brzmi prosto, ale zaskakująco często decyduje o tym, czy zadanie z trygonometrii skończy się na 0 czy na 2 punktach. W tym poradniku pokażę ci, skąd ten wzór się bierze, jak go przekształcać i kiedy go używać. Nauczysz się obliczać \(\cos\alpha\), gdy znasz \(\sin\alpha\) (i odwrotnie), liczyć tangens bez kalkulatora i upraszczać wyrażenia, które na pierwszy rzut oka wyglądają jak hieroglify. Zrobimy 5 rozwiązanych zadań w stylu maturalnym, dokładnie takich, jakie pojawiają się na arkuszach CKE. ## Czym jest jedynka trygonometryczna? Jedynka trygonometryczna to podstawowa tożsamość, która łączy sinus i cosinus tego samego kąta: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ Nazwa bierze się stąd, że prawa strona równania to po prostu \(1\). Wzór jest prawdziwy dla każdego kąta \(\alpha\), niezależnie od tego, w której ćwiartce się znajduje, czy jest dodatni, ujemny, większy od \(360°\) czy mniejszy od \(0°\). To dlatego nazywamy go tożsamością, a nie równaniem. Uwaga na zapis: \(\sin^2\alpha\) to skrót od \((\sin\alpha)^2\). To NIE jest \(\sin(\alpha^2)\). Jeśli ktoś podstawi do tego wzoru kąt \(\alpha = 30°\), to liczy \((\sin 30°)^2 = (1/2)^2 = 1/4\), a nie sinus z dziewięciuset stopni. Ten błąd zdarza się zaskakująco często. Jedynka trygonometryczna znajduje się w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), więc na egzaminie masz ją pod ręką. Ale jeśli musisz ją sprawdzać w karcie, tracisz czas. Naucz się jej na pamięć, razem z trzema głównymi przekształceniami, które pokażę poniżej. ## Dowód jedynki trygonometrycznej Najprostszy dowód korzysta z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) w trójkącie prostokątnym. ### Dowód w trójkącie prostokątnym Weź dowolny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(a\) i \(b\) oraz przeciwprostokątnej \(c\). Niech \(\alpha\) będzie jednym z kątów ostrych. Wtedy z [definicji funkcji trygonometrycznych](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci): $$\sin\alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \frac{b}{c}$$ Podstawmy do lewej strony jedynki: $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}$$ Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że \(a^2 + b^2 = c^2\). Czyli: $$\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$$ I to wszystko. Wzór wynika wprost z Pitagorasa. Jeśli widzisz na maturze pytanie "udowodnij jedynkę trygonometryczną", wystarczą te trzy linijki. ### Dowód w kole jednostkowym (dla kątów dowolnych) Powyższy dowód działa tylko dla kątów ostrych. Żeby pokazać, że jedynka działa dla każdego kąta, używamy koła jednostkowego, czyli okręgu o promieniu \(1\) i środku w początku układu współrzędnych. Każdy punkt na tym okręgu ma współrzędne \((\cos\alpha, \sin\alpha)\), gdzie \(\alpha\) to kąt mierzony od dodatniej półosi \(OX\). Skoro punkt leży na okręgu o promieniu \(1\), to z [równania okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania) \(x^2 + y^2 = 1\) dostajemy: $$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$$ I tu działa dla każdego \(\alpha\), bo każdy kąt odpowiada jakiemuś punktowi na okręgu jednostkowym. ## Trzy najważniejsze przekształcenia jedynki To te trzy formuły musisz mieć w głowie. 90% zadań z jedynki trygonometrycznej korzysta z jednej z nich. ### 1. Wyznaczanie sinusa z cosinusa $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$$ A stąd: $$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$$ Znak \(+\) lub \(-\) zależy od tego, w której ćwiartce leży \(\alpha\). Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce, ujemny w III i IV. ### 2. Wyznaczanie cosinusa z sinusa $$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$$ A stąd: $$\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$$ Cosinus jest dodatni w I i IV ćwiartce, ujemny w II i III. ### 3. Wyznaczanie tangensa Z definicji tangensa: $$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0$$ Jeśli masz \(\sin\alpha\), policz \(\cos\alpha\) z jedynki, a potem podziel. To najczęstsza ścieżka rozwiązania. ## Znaki funkcji w ćwiartkach - jak nie pomylić Po przekształceniu jedynki dostajesz pierwiastek, a pierwiastek jest zawsze dodatni. Znak musisz dopisać sam, na podstawie tego, w której ćwiartce leży kąt. Oto reguła "sklepy": | Ćwiartka | Zakres kątów | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\operatorname{tg}\) | |----------|--------------|----------|----------|----------------------| | I | \((0°, 90°)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | | II | \((90°, 180°)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | | III | \((180°, 270°)\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | | IV | \((270°, 360°)\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | Polskie mnemoniki: w I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II tylko sinus, w III tylko tangens (i cotangens), w IV tylko cosinus. Na maturze podstawowej najczęściej operujemy na kątach ostrych (I ćwiartka), więc znaki są dodatnie. Ale od czasu do czasu pojawia się [kąt rozwarty](/funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura#znaki-funkcji-trygonometrycznych-dla-katow-od-0-do-180) (II ćwiartka) i wtedy trzeba uważać. Cała teoria znaków jest dokładniej rozpisana w [poradniku o tabeli wartości sin, cos, tg](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). ## Inne podstawowe tożsamości trygonometryczne Jedynka to nie jedyna tożsamość, którą trzeba znać. Oto cały zestaw "must have" na maturę podstawową: $$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cos\alpha \neq 0$$ $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ Z tych dwóch da się wyprowadzić praktycznie wszystko, co potrzeba na egzaminie podstawowym. Na maturze rozszerzonej dochodzi jeszcze: $$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$ Skąd to się bierze? Podziel jedynkę trygonometryczną przez \(\cos^2\alpha\): $$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$ $$\operatorname{tg}^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$ Pełna tabela tożsamości i wzorów redukcyjnych jest w [zestawie wzorów trygonometrycznych](/wzory-trojkatow-matura-sinus-cosinus-tangens). ## Przykład 1 - klasyk "policz cos, gdy znasz sin" Zadanie: Wiadomo, że \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym. Oblicz \(\cos\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\). Rozwiązanie krok po kroku. Krok 1: użyj jedynki trygonometrycznej. $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ $$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25}$$ Krok 2: wyciągnij pierwiastek. $$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$$ Krok 3: wybierz znak. Skoro \(\alpha\) jest kątem ostrym (czyli z I ćwiartki), to \(\cos\alpha > 0\). Bierzemy znak plus: $$\cos\alpha = \frac{4}{5}$$ Krok 4: policz tangens. $$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$$ Odpowiedź: \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\), \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}\). Komentarz: zauważ, że dostaliśmy tu znajomą trójkę pitagorejską \(3, 4, 5\). To nie przypadek. Jedynka trygonometryczna to po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane inaczej, więc trójki pitagorejskie często pojawiają się w zadaniach. ## Przykład 2 - kąt rozwarty (II ćwiartka) Zadanie: Niech \(\cos\alpha = -\frac{12}{13}\) i \(\alpha \in (90°, 180°)\). Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\). Krok 1: jedynka trygonometryczna. $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}$$ Krok 2: pierwiastek. $$\sin\alpha = \pm\frac{5}{13}$$ Krok 3: znak. Kąt \(\alpha\) leży w II ćwiartce, gdzie sinus jest dodatni: $$\sin\alpha = \frac{5}{13}$$ Krok 4: tangens. $$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}$$ Tangens wyszedł ujemny - i powinien, bo w II ćwiartce tangens jest ujemny. Zawsze warto sprawdzić znak z tabelą ćwiartek, żeby wyłapać błędy rachunkowe. Odpowiedź: \(\sin\alpha = \frac{5}{13}\), \(\operatorname{tg}\alpha = -\frac{5}{12}\). ## Przykład 3 - upraszczanie wyrażenia Zadanie: Uprość wyrażenie: $$W(\alpha) = \sin^2\alpha + \sin^2\alpha \cdot \operatorname{tg}^2\alpha$$ Krok 1: wyciągnij \(\sin^2\alpha\) przed nawias. $$W(\alpha) = \sin^2\alpha \cdot (1 + \operatorname{tg}^2\alpha)$$ Krok 2: zauważ \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\). $$W(\alpha) = \sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha$$ Odpowiedź: \(W(\alpha) = \operatorname{tg}^2\alpha\). Komentarz: zadania typu "uprość wyrażenie trygonometryczne" pojawiają się na maturze często jako zadanie zamknięte. Sztuka polega na rozpoznaniu wzoru. Zwykle warto najpierw rozdzielić \(\sin^2 + \cos^2 = 1\), albo wyciągnąć wspólny czynnik. Jeśli widzisz \(\sin^2\alpha\) razem z \(\cos^2\alpha\) w tym samym wyrażeniu, niemal na pewno trzeba użyć jedynki. ## Przykład 4 - tangens jako punkt wyjścia Zadanie: Wiadomo, że \(\operatorname{tg}\alpha = 2\) i \(\alpha\) jest kątem ostrym. Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\). To zadanie podchwytliwe, bo tangens nie daje nam wprost ani sinusa, ani cosinusa. Trzeba zaprząc do tego jedynkę. Metoda 1: przez układ równań. Z definicji tangensa: $$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2 \quad \Rightarrow \quad \sin\alpha = 2\cos\alpha$$ Podstaw do jedynki: $$(2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1$$ $$4\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$ $$5\cos^2\alpha = 1$$ $$\cos^2\alpha = \frac{1}{5}$$ $$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ (Wybraliśmy plus, bo kąt jest ostry. Pamiętaj o [racjonalizacji mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).) A wtedy: $$\sin\alpha = 2\cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ Metoda 2: przez wzór \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\). $$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \quad \Rightarrow \quad \cos^2\alpha = \frac{1}{5}$$ Reszta jak wyżej. Druga metoda jest szybsza, ale wymaga znajomości wzoru pochodnego. ## Przykład 5 - dowód tożsamości Zadanie: Wykaż, że dla każdego \(\alpha\), dla którego \(\sin\alpha \neq 0\), zachodzi równość: $$\frac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha$$ Krok 1: zauważ jedynkę po lewej stronie. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha\). Wstawiamy: $$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$$ Krok 2: skróć. $$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha$$ Co należało udowodnić. Zadania typu "wykaż, że" pojawiają się na maturze rozszerzonej regularnie i są warte 2 punkty. Trick jest prosty: rozpoznaj \(1 - \cos^2\alpha\) lub \(1 - \sin^2\alpha\) i zastąp je odpowiednim wyrażeniem z jedynki. Więcej technik dowodzenia w [poradniku o dowodach matematycznych na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac). ## Jedynka w zadaniach z planimetrii i stereometrii Jedynka trygonometryczna to nie tylko narzędzie trygonometryczne. W rzeczywistości używasz jej w każdym zadaniu, gdzie pojawia się trójkąt prostokątny i kąt nachylenia. Kilka typowych sytuacji: - W [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) liczysz \(\cos\) [kąta między krawędzią a podstawą ostrosłupa](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa), znając \(\sin\) tego kąta z proporcji boków. - W [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) używasz jedynki razem z [twierdzeniem sinusów lub cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac) do liczenia brakujących boków. - W [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania) jedynka pomaga, gdy szukasz [równania prostej przez dwa punkty](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty) i potrzebujesz kąta nachylenia. W praktyce, jeśli znasz jedną funkcję trygonometryczną kąta, jedynka daje ci dostęp do wszystkich pozostałych. To dlatego jest tak fundamentalna. ## Typowe pułapki Po latach poprawiania prac maturalnych wiadomo, gdzie uczniowie tracą punkty. Trzy najczęstsze pułapki z jedynki trygonometrycznej: Pułapka 1: zapomnienie o znaku po pierwiastku. Kiedy wyciągasz pierwiastek z \(\cos^2\alpha\), zawsze pamiętaj o "\(\pm\)". Pierwiastek arytmetyczny jest dodatni, ale funkcja trygonometryczna może być ujemna. Bez tego znaku w II, III lub IV ćwiartce dostaniesz złą odpowiedź. Sprawdzaj ćwiartkę zanim wybierzesz znak. Pułapka 2: mylenie \(\sin^2\alpha\) z \(\sin(\alpha^2)\). Zapis \(\sin^2\alpha\) oznacza \((\sin\alpha)^2\), czyli najpierw liczysz sinus, potem podnosisz do kwadratu. To NIE jest sinus z kwadratu kąta. Dla \(\alpha = 30°\) wartość \(\sin^2 30° = (1/2)^2 = 1/4\), a nie \(\sin 900°\). Pułapka 3: dzielenie przez zero w tangensie. Jeśli zadanie sprowadza się do \(\operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha\) i okaże się, że \(\cos\alpha = 0\) (np. dla \(\alpha = 90°\)), to tangens jest nieokreślony. Sprawdzaj zawsze dziedzinę. Więcej o tym w artykule o [równaniach trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura). Pułapka 4: błąd algebry przy podnoszeniu do kwadratu. \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\), a nie \(\frac{6}{10}\). Pamiętaj, że kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika. ## Jak rozpoznać, że trzeba użyć jedynki Sygnały w treści zadania, które mówią "tu działa jedynka trygonometryczna": - Masz podaną jedną funkcję trygonometryczną, a pytanie pyta o drugą. - W wyrażeniu pojawia się jednocześnie \(\sin^2\alpha\) i \(\cos^2\alpha\). - Widzisz wyrażenie \(1 - \sin^2\alpha\) lub \(1 - \cos^2\alpha\). - Masz podany tangens i musisz znaleźć sinus albo cosinus. - Trzeba udowodnić tożsamość trygonometryczną. - Pojawia się ostrosłup lub trójkąt z jednym znanym kątem i potrzebujesz wszystkich trzech funkcji tego kąta. Jeśli zobaczysz cokolwiek z tej listy w zadaniu, automatycznie wpisz w głowie "jedynka trygonometryczna" i nie marnuj czasu na inne metody. ## Checklista - co musisz umieć z jedynki trygonometrycznej Przed maturą sprawdź, czy umiesz wszystko z poniższej listy. Jeśli nie, wróć do odpowiedniej sekcji. - Wzór z pamięci: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). - Dowód jedynki z twierdzenia Pitagorasa w trzy linijki. - Wyciąganie \(\cos\alpha\), gdy znasz \(\sin\alpha\), z poprawnym znakiem. - Wyciąganie \(\sin\alpha\), gdy znasz \(\cos\alpha\), z poprawnym znakiem. - Wyciąganie \(\operatorname{tg}\alpha\), gdy znasz jedną z funkcji. - Tabela znaków funkcji w czterech ćwiartkach. - Wzór \(\operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha / \cos\alpha\) i zastrzeżenie \(\cos\alpha \neq 0\). - Wzór \(1 + \operatorname{tg}^2\alpha = 1/\cos^2\alpha\) (rozszerzona). - Upraszczanie wyrażeń typu \(\sin^2 \cdot \text{coś} + \cos^2 \cdot \text{coś}\). - Dowody krótkich tożsamości z użyciem jedynki. - Rozpoznawanie, kiedy zadanie wymaga jedynki (lista z poprzedniej sekcji). ## Przykład 6 - zastosowanie jedynki w trójkącie prostokątnym Zadanie: W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\). Wiadomo, że \(\sin\alpha = \frac{7}{25}\), gdzie \(\alpha\) to kąt przy wierzchołku \(A\). Oblicz długość przyprostokątnej \(b = AC\), jeśli druga przyprostokątna \(a = BC = 7\). Krok 1: w trójkącie prostokątnym \(\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}\). Naprzeciw kąta \(\alpha\) leży przyprostokątna \(a = 7\), a przeciwprostokątna \(c = AB\) jest niewiadoma. Z definicji: $$\sin\alpha = \frac{a}{c} = \frac{7}{c} = \frac{7}{25} \quad \Rightarrow \quad c = 25$$ Krok 2: znajdź \(\cos\alpha\) z jedynki trygonometrycznej. $$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$$ $$\cos\alpha = \frac{24}{25}$$ (Plus, bo kąt ostry.) Krok 3: skoro \(\cos\alpha = \frac{b}{c}\), to: $$b = c \cdot \cos\alpha = 25 \cdot \frac{24}{25} = 24$$ Odpowiedź: \(b = 24\). Sprawdzenie z Pitagorasa: \(a^2 + b^2 = 49 + 576 = 625 = c^2\). Trójka pitagorejska \(7, 24, 25\) - znajoma. ## Przykład 7 - sin 2α z jedynki (rozszerzona) Zadanie: Wiadomo, że \(\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{2}\). Oblicz \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\). Krok 1: podnieś obie strony równania do kwadratu. $$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$$ $$\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4}$$ Krok 2: zauważ jedynkę. $$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$$ Krok 3: wylicz iloczyn. $$2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$ $$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}$$ Odpowiedź: \(\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{3}{8}\). Komentarz: ten typ zadania, gdzie podnosisz sumę do kwadratu i korzystasz z jedynki, jest bardzo częsty na maturze rozszerzonej. Trick polega na rozpoznaniu wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - więcej o tym w artykule o [wzorach skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania). ## Najczęstsze pytania o jedynkę trygonometryczną (FAQ) ### Czy jedynka trygonometryczna działa dla wszystkich kątów? Tak. Wzór \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) jest prawdziwy dla każdego kąta rzeczywistego \(\alpha\): dodatniego, ujemnego, ostrego, rozwartego, wielokrotnie obróconego. To dlatego nazywa się go tożsamością, a nie równaniem - nie ma wartości \(\alpha\), dla której by nie działał. ### Czy jedynka trygonometryczna jest w karcie wzorów CKE? Tak. Znajduje się w [karcie wzorów na maturze 2027](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje) razem z definicją tangensa. Ale w praktyce powinieneś znać ją na pamięć - tracenie czasu na przeglądanie karty kosztuje cenne minuty na egzaminie. ### Czym różni się \(\sin^2\alpha\) od \((\sin\alpha)^2\) i \(\sin\alpha^2\)? \(\sin^2\alpha\) i \((\sin\alpha)^2\) to dokładnie to samo - oba oznaczają sinus kąta podniesiony do kwadratu. Natomiast \(\sin\alpha^2\) lub \(\sin(\alpha^2)\) oznaczałoby sinus z kwadratu kąta, czyli zupełnie co innego. Na maturze prawie zawsze chodzi o pierwszą wersję. ### Jak zapamiętać znaki funkcji w ćwiartkach? Polskie zdanie pomocnicze: "W pierwszej wszystkie, w drugiej sinus, w trzeciej tangens, w czwartej cosinus". Litera "W" jako pierwsza (Wszystkie) i potem S, T, C w kolejności ćwiartek. Alternatywnie pamiętaj, że sinus to "wysokość" (oś OY) - dodatnia w I i II, ujemna w III i IV. Cosinus to "szerokość" (oś OX) - dodatni w I i IV, ujemny w II i III. ### Co zrobić, jeśli zadanie nie podaje ćwiartki? Czasami zadanie nie precyzuje ćwiartki, a tylko np. mówi "\(\alpha\) jest kątem trójkąta". Wtedy z definicji kąt trójkąta jest z przedziału \((0°, 180°)\), więc sinus zawsze dodatni (bo I i II ćwiartka). Cosinus i tangens mogą być dodatnie lub ujemne - zależy od tego, czy kąt jest ostry czy rozwarty. Czasem trzeba rozważyć obie opcje i podać oba rozwiązania. ### Czy jedynka pomaga w zadaniach optymalizacyjnych? Tak, i to często. Jeśli funkcja celu zawiera jednocześnie \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\), zamiana \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\) pozwala sprowadzić problem do jednej zmiennej (np. \(t = \sin\alpha\)) i potem zastosować standardowe metody z funkcji kwadratowej. Więcej w artykule o [zadaniach optymalizacyjnych](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka). ## Co dalej? Jeśli czujesz, że jedynka trygonometryczna już ci nie straszna, sprawdź inne fundamenty trygonometrii: [tabela wartości sin, cos, tg dla kątów 30, 45, 60, 90 stopni](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela), [twierdzenie sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac), [równania trygonometryczne krok po kroku](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura). Pełny przegląd działu znajdziesz w [przewodniku po trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), a zadania do trenowania w sekcji [zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria). Jedynka to wzór, który zarobisz przez najbliższy tydzień, a będzie ci się zwracał punktami przez całą maturę. Warto. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)