---
route: /jak-wyznaczyc-wzor-funkcji-kwadratowej-z-wykresu
title: Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne
description: Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu: z wierzchołka, miejsc zerowych, osi symetrii lub trzech punktów. 7 zadań CKE krok po kroku i pułapki.
type: task_solution
category: Funkcja kwadratowa
tags: wzór funkcji kwadratowej z wykresu, jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej, postać kanoniczna funkcji kwadratowej, postać iloczynowa funkcji kwadratowej, wierzchołek paraboli, współczynnik a funkcji kwadratowej, odczytywanie wzoru z wykresu paraboli, znak współczynnika b, funkcja kwadratowa matura, zadania maturalne funkcja kwadratowa
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-23T08:02:50.982+00:00
updated: 2026-10-05T12:48:17.546+00:00
---
# Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne
Wzór funkcji kwadratowej z wykresu wyznaczasz w trzech ruchach: odczytujesz z rysunku punkty charakterystyczne (wierzchołek \(W=(p,q)\), miejsca zerowe \(x_1, x_2\) albo punkt przecięcia z osią \(Oy\)), wybierasz postać wzoru dopasowaną do tych danych (kanoniczną \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdy znasz wierzchołek, iloczynową \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\), gdy znasz miejsca zerowe), a potem podstawiasz współrzędne jeszcze jednego punktu z wykresu i obliczasz współczynnik \(a\). Jeśli zadanie wymaga postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\), na końcu wymnażasz nawiasy.

Ten typ zadania wraca na maturze podstawowej regularnie. W naszej bazie 38 ze 128 zadań CKE z działu [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) łączy w treści wykres ze wzorem albo współczynnikami: od jednopunktowych zamkniętych (maj 2020, sierpień 2021) po otwarte za 3-5 punktów (maj 2022, sierpień 2024, czerwiec 2025). Poniżej dostajesz cztery metody, siedem rozwiązanych przykładów z prawdziwych arkuszy i listę pułapek, na których uczniowie tracą punkty.

## Trzy postacie funkcji kwadratowej - którą wybrać do odczytu z wykresu

Postać wzoru dobierasz do tego, co widzisz na rysunku. Wierzchołek prowadzi do postaci kanonicznej, miejsca zerowe do iloczynowej, a punkt przecięcia z osią \(Oy\) daje od razu współczynnik \(c\) w postaci ogólnej. W każdej z tych postaci współczynnik \(a\) jest ten sam, więc obliczony raz działa wszędzie.

| Postać | Wzór | Co odczytujesz z wykresu | Kiedy jej używać |
|---|---|---|---|
| ogólna | \(f(x)=ax^2+bx+c\) | punkt \((0,c)\) na osi \(Oy\), kierunek ramion (znak \(a\)) | gdy masz trzy dowolne punkty albo zadanie każe podać \(a\), \(b\), \(c\) |
| kanoniczna | \(f(x)=a(x-p)^2+q\) | wierzchołek \(W=(p,q)\), oś symetrii \(x=p\) | gdy widzisz wierzchołek i jeszcze jeden punkt |
| iloczynowa | \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) | miejsca zerowe \(x_1\), \(x_2\) na osi \(Ox\) | gdy parabola przecina oś \(Ox\) i znasz jeszcze jeden punkt |

Między postaciami przechodzisz algebraicznie, co opisaliśmy osobno w poradniku o [przekształcaniu funkcji kwadratowej na postać kanoniczną i iloczynową](/jak-przeksztalcic-funkcje-kwadratowa-postac-kanoniczna-iloczynowa). Tutaj skupiamy się na odwrotnym kierunku: z rysunku do wzoru.

## Co odczytać z wykresu paraboli, zanim zaczniesz liczyć

Z rysunku wyciągasz maksymalnie sześć informacji i każda z nich przekłada się na konkretny fragment wzoru. Przejdź tę listę zawsze w tej samej kolejności, a nie przeoczysz danych, które CKE chowa w treści albo na rysunku.

1. **Kierunek ramion.** Ramiona w górę to \(a>0\), ramiona w dół to \(a0\)) albo najwyższy (dla \(a0\)), więc zbiór wartości to \(\langle -2, +\infty)\). Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek: \(x=1\). Sprawdzenie drugim miejscem zerowym: \(f(-1)=\frac{1}{2}\cdot 4-2=0\). Zgadza się.

W arkuszu ta część zadania była zamknięta: cztery wzory w postaci kanonicznej, wszystkie z \(a=\frac{1}{2}\), różniące się tylko znakami przy \(1\) w nawiasie i przy \(2\) na końcu (\(\frac{1}{2}(x-1)^2-2\), \(\frac{1}{2}(x+1)^2-2\), \(\frac{1}{2}(x-1)^2+2\), \(\frac{1}{2}(x+1)^2+2\)). CKE sprawdzało więc wyłącznie Krok 1, czyli znaki we wzorze z wierzchołkiem. Pełną treść znajdziesz w [arkuszu z sierpnia 2024](/exams/matura-sierpien-2024).

### Przykład 2: wierzchołek podany, postać iloczynowa w treści (Matura maj 2020, zadanie 7)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Wierzchołkiem paraboli jest punkt \(W=(2,1)\). Oblicz \(a\).

**Krok 1: sprawdź, czy wierzchołek pasuje do miejsc zerowych**

Miejsca zerowe to \(1\) i \(3\), ich środek to \(\frac{1+3}{2}=2\). Pierwsza współrzędna wierzchołka się zgadza, więc dane są spójne.

**Krok 2: podstaw wierzchołek do wzoru**

$$1=a(2-1)(2-3)=a\cdot 1\cdot(-1)=-a \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Wierzchołek leży nad osią \(Ox\), a miejsca zerowe istnieją, więc ramiona muszą iść w dół. Ujemne \(a\) potwierdza rysunek. Zadanie za 1 punkt, czas rozwiązania: pół minuty. Możesz je rozwiązać samodzielnie w aplikacji: [zadanie 7 z maja 2020](/task/matura-maj-2020-07).

## Metoda 2: z miejsc zerowych i jednego punktu (postać iloczynowa)

Gdy parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \(x_1\) i \(x_2\), zapisujesz \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) i podstawiasz jeszcze jeden punkt, żeby obliczyć \(a\). Najwygodniej użyć wierzchołka albo punktu przecięcia z osią \(Oy\), bo te dwa są na rysunku najłatwiejsze do odczytania.

### Przykład 3: miejsca zerowe i wierzchołek (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 11)

Na rysunku parabola przecina oś \(Ox\) w punktach \((2,0)\) i \((6,0)\), a jej wierzchołek to \(W=(4,-2)\). Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej i kanonicznej.

**Krok 1: zapisz postać iloczynową**

$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$

**Krok 2: podstaw wierzchołek i oblicz a**

$$-2=a(4-2)(4-6)=a\cdot 2\cdot(-2)=-4a \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$$

**Krok 3: zapisz postać iloczynową i przejdź do kanonicznej**

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)$$

Wierzchołek już znasz, więc postać kanoniczna to:

$$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$$

**Krok 4: sprawdź przez wymnożenie**

$$\frac{1}{2}(x-2)(x-6)=\frac{1}{2}(x^2-8x+12)=\frac{1}{2}x^2-4x+6$$
$$\frac{1}{2}(x-4)^2-2=\frac{1}{2}(x^2-8x+16)-2=\frac{1}{2}x^2-4x+6$$

Obie postacie dają tę samą postać ogólną, a wyraz wolny \(c=6\) oznacza, że parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,6)\). W arkuszu dokładnie tak było. To samo zadanie pytało jeszcze o zbiór wartości \(\langle -2,+\infty)\) i o przedział, w którym funkcja jest ujemna: \((2,6)\), czyli między miejscami zerowymi, bo ramiona idą w górę. Jak czytać zbiór wartości z wykresu, opisujemy w osobnym poradniku o [zbiorze wartości funkcji](/zbior-wartosci-funkcji-jak-wyznaczyc-matura). Cały arkusz: [próbna CKE grudzień 2023](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023).

## Metoda 3: z osi symetrii i jednego miejsca zerowego

Oś symetrii \(x=p\) i jedno miejsce zerowe \(x_1\) wystarczą, żeby znaleźć drugie miejsce zerowe: \(x_2=2p-x_1\), bo miejsca zerowe leżą w równej odległości od osi symetrii. Potem działasz jak w Metodzie 2. Ten wariant CKE lubi w zadaniach otwartych, gdzie rysunku nie ma wcale.

### Przykład 4: zadanie otwarte bez rysunku (Matura czerwiec 2025, zadanie 13)

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2,15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\). Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej.

**Krok 1: znajdź drugie miejsce zerowe**

Miejsce zerowe \(x_1=1\) leży \(2\) jednostki na prawo od osi \(x=-1\), więc drugie leży \(2\) jednostki na lewo:

$$x_2=2\cdot(-1)-1=-3$$

**Krok 2: zapisz postać iloczynową i oblicz a z punktu (2,15)**

$$f(x)=a(x-1)(x+3)$$
$$15=a(2-1)(2+3)=5a \quad\Rightarrow\quad a=3$$

**Krok 3: oblicz q, czyli wartość w wierzchołku**

Wierzchołek ma \(p=-1\), więc:

$$q=f(-1)=3\cdot(-1-1)\cdot(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot 2=-12$$

**Krok 4: zapisz postać kanoniczną**

$$f(x)=3(x+1)^2-12$$

Sprawdzenie: \(f(2)=3\cdot 9-12=15\). Zgadza się. Zadanie było za 3 punkty i wymagało dokładnie tej postaci; uczeń, który zatrzymał się na \(f(x)=3(x-1)(x+3)\), tracił ostatni punkt. Treść i schemat punktowania: [arkusz z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025).

## Metoda 4: z trzech punktów (układ równań) i wariant z ukrytym wierzchołkiem

Gdy na rysunku nie ma ani wierzchołka, ani miejsc zerowych, a masz trzy punkty o znanych współrzędnych, podstawiasz je do postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\) i rozwiązujesz układ trzech równań. Jeśli jeden z punktów leży na osi \(Oy\), dostajesz \(c\) za darmo i układ kurczy się do dwóch równań.

### Przykład 5: trzy punkty, żaden nie jest wierzchołkiem

Parabola przechodzi przez punkty \((0,1)\), \((1,0)\) i \((2,3)\). Wyznacz wzór funkcji w postaci ogólnej.

**Krok 1: podstaw punkt na osi Oy**

$$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad c=1$$

**Krok 2: podstaw pozostałe dwa punkty**

$$f(1)=0: \quad a+b+1=0$$
$$f(2)=3: \quad 4a+2b+1=3 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=1$$

**Krok 3: rozwiąż układ**

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: \((2a+b)-(a+b)=1-(-1)\), czyli \(a=2\). Stąd \(b=-1-a=-3\). Jeśli układy to twoja słaba strona, przećwicz [metodę podstawiania krok po kroku](/jak-rozwiazac-uklad-rownan-metoda-podstawiania).

**Krok 4: zapisz wzór i sprawdź**

$$f(x)=2x^2-3x+1$$

Kontrola trzecim punktem: \(f(2)=8-6+1=3\). Zgadza się. Bonus: \(\Delta=9-8=1\), więc miejsca zerowe to \(x=\frac{3\pm 1}{4}\), czyli \(1\) i \(\frac{1}{2}\). Pierwsze z nich to punkt \((1,0)\) z treści.

### Przykład 6: wierzchołek ukryty w warunku "dokładnie jeden punkt wspólny" (Matura maj 2022, zadanie 35)

Wykres funkcji \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu. Oblicz \(a\), \(b\), \(c\).

**Krok 1: przetłumacz warunki na dane o wykresie**

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\), więc \(x_1=-5\) i \(x_2=3\) to miejsca zerowe. Prosta pozioma \(y=6\) ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny tylko wtedy, gdy przechodzi przez wierzchołek. Stąd \(q=6\).

**Krok 2: oblicz p z symetrii miejsc zerowych**

$$p=\frac{-5+3}{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad W=(-1,6)$$

**Krok 3: postać iloczynowa i współczynnik a**

$$f(x)=a(x+5)(x-3)$$
$$6=a(-1+5)(-1-3)=a\cdot 4\cdot(-4)=-16a \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{8}$$

**Krok 4: wymnóż do postaci ogólnej**

$$f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x-15)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}$$

Zatem \(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\), \(c=\frac{45}{8}\). Ujemne \(a\) ma sens: wierzchołek leży nad osią \(Ox\) i jest maksimum. To zadanie za 5 punktów: najwięcej w całym [arkuszu z maja 2022](/exams/matura-maj-2022), a cała trudność siedzi w Kroku 1. Reszta to Metoda 2.

## Jak ustalić znaki współczynników a, b, c z samego wykresu

Znak \(a\) czytasz z kierunku ramion, znak \(c\) z punktu przecięcia z osią \(Oy\), a znak \(b\) z położenia wierzchołka względem osi \(Oy\). Wzór \(p=-\frac{b}{2a}\) po przekształceniu daje \(b=-2ap\), więc \(b\) ma znak przeciwny do iloczynu \(a\cdot p\). To wystarcza do rozwiązania zadań zamkniętych bez żadnych obliczeń.

| Co widzisz | Wniosek |
|---|---|
| ramiona w górę | \(a>0\) |
| ramiona w dół | \(a0\) |
| parabola przecina oś \(Oy\) pod osią \(Ox\) | \(c0\) i wierzchołek na prawo od osi \(Oy\) | \(b0\) i wierzchołek na lewo od osi \(Oy\) | \(b>0\) |
| \(a0\) |
| \(a0\), więc \(p=-\frac{6}{-2}=3>0\). Wierzchołek na prawo od osi \(Oy\), jak na rysunku. Odpowiedź: D. Dla pewności \(q=f(3)=-9+18-7=2\), czyli wierzchołek \((3,2)\) nad osią \(Ox\), więc miejsca zerowe istnieją.

Podobnie działa zadanie 10 z sierpnia 2017: dla \(f(x)=x^2+bx+c\) z wierzchołkiem na prawo od osi \(Oy\) i przecięciem osi \(Oy\) powyżej zera dostajesz od razu \(b0\). Więcej zadań tego typu zebraliśmy w [bazie zadań CKE z funkcji kwadratowej](/zadania-cke-funkcja-kwadratowa-z-rozwiazaniami).

## Typowe pułapki przy odczytywaniu wzoru z wykresu

Większość błędów w tym typie zadań to nie brak wiedzy, tylko znaki i pośpiech. Oto lista tego, co najczęściej kosztuje punkty.

- **Znak w postaci kanonicznej.** Wierzchołek \(W=(-1,2)\) daje \(f(x)=a(x+1)^2+2\), nie \(a(x-1)^2+2\). Nawias zawiera \(x-p\), więc ujemne \(p\) zmienia minus na plus.
- **Przyjmowanie \(a=1\) bez liczenia.** Parabola o wierzchołku \((1,-2)\) i miejscu zerowym \(3\) ma \(a=\frac{1}{2}\), nie \(1\). Szerokość ramion nie jest "standardowa", a \(a\) zawsze wynika z dodatkowego punktu.
- **Zgadywanie \(a\) z kształtu.** "Wąska" parabola nie oznacza \(a=2\). Kształt zależy też od skali osi na rysunku. Liczysz, nie oceniasz na oko.
- **Punkt odczytany nie z kratki.** Do obliczenia \(a\) wybieraj tylko punkty o całkowitych współrzędnych, wyraźnie zaznaczone albo opisane w treści.
- **Postać iloczynowa bez miejsc zerowych.** Jeśli parabola nie przecina osi \(Ox\) (\(\Delta0\), w dół \(a0\); gdy wierzchołek leży na osi \(Oy\), to \(b=0\).

### Co zrobić, gdy parabola nie przecina osi Ox?
Wtedy funkcja nie ma miejsc zerowych i postać iloczynowa nie istnieje, więc pracujesz na postaci kanonicznej z wierzchołkiem albo na postaci ogólnej z trzema punktami. Punkt przecięcia z osią \(Oy\) nadal daje ci \(c\), a wierzchołek daje \(p\) i \(q\).

### Ile punktów trzeba znać, żeby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej?
Trzy punkty o znanych współrzędnych zawsze wystarczą, bo dają układ trzech równań z niewiadomymi \(a\), \(b\), \(c\). Jeśli jednym z danych jest wierzchołek albo para miejsc zerowych, wystarczą dwie informacje: ten punkt charakterystyczny i jeden dodatkowy punkt wykresu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)