---
route: /jak-rozwiazac-nierownosc-logarytmiczna-metody-matura
title: Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną - metody, przykłady i zadania maturalne
description: Nierówności logarytmiczne: monotoniczność, dziedzina, 6 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku. Pułapka z podstawą logarytmu < 1.
type: task_solution
category: Logarytmy
tags: nierówność logarytmiczna, jak rozwiązać nierówność logarytmiczną, nierówność logarytmiczna matura, logarytm nierówność, dziedzina logarytmu, monotoniczność logarytmu, matura logarytmy rozszerzenie, log nierówność metoda, nierówności logarytmiczne zadania, matura matematyka nierówności
published: 2026-04-29T14:44:10.362+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:20.880965+00:00
---
# Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną - metody, przykłady i zadania maturalne
Nierówności logarytmiczne to temat, który na maturze rozszerzonej regularnie pojawia się za 3-5 punktów. Duża część uczniów traci tu punkty nie dlatego, że nie umie rozwiązywać logarytmów, tylko dlatego, że zapomina o **dziedzinie** albo o **odwróceniu znaku nierówności** gdy podstawa jest mniejsza od 1.

Jeśli opanujesz 3 zasady z tego posta, zadanie za 3 punkty masz w kieszeni.

## Podstawowa zasada - monotoniczność logarytmu

To najważniejsza rzecz do zapamiętania:

**Gdy podstawa \(a > 1\)** (np. \(\log_2, \log_{10}, \ln\)): logarytm jest **rosnący**.
$$\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) > g(x)$$

**Gdy podstawa \(0  \log_a g(x) \iff f(x)  0$$

Zapisz warunki dziedziny na górze kartki. Bez tego zgubisz punkty nawet z dobrą arytmetyką.

Więcej o logarytmach w przewodniku [logarytmy na maturze](/topics/logarytmy) i w poście [jak obliczyć logarytm](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku).

## Metoda - schemat rozwiązywania

1. **Dziedzina** - wypisz warunki \(f(x) > 0\) dla każdego logarytmu.
2. **Sprowadź** obie strony do logarytmów o tej samej podstawie.
3. **Usuń logarytmy** używając monotoniczności (sprawdź czy podstawa \(>1\) czy \( 1

Rozwiąż \(\log_2(x - 1)  0\), czyli \(x > 1\).

Zapisz \(3 = \log_2 8\):

$$\log_2(x - 1)  1\), więc znak zostaje: \(x - 1  -2\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x + 3 > 0\), czyli \(x > -3\).

\(-2 = \log_{1/2} 4\) (bo \((1/2)^{-2} = 4\)):

$$\log_{1/2}(x + 3) > \log_{1/2} 4$$

Podstawa \(1/2  \log_3(2x - 1)\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x + 5 > 0\) i \(2x - 1 > 0\), czyli \(x > -5\) i \(x > 0{,}5\). Wspólnie: \(x > 0{,}5\).

Podstawa \(3 > 1\), znak zostaje:

$$x + 5 > 2x - 1$$
$$6 > x$$

Czyli \(x  0\).

Podstaw \(t = \log_2 x\):

$$t^2 - 3t + 2 \leq 0$$

\(\Delta = 9 - 8 = 1\), \(t_1 = 1\), \(t_2 = 2\).

Parabola w górę, więc \(t \in [1, 2]\), czyli \(1 \leq \log_2 x \leq 2\).

\(\log_2 x \geq 1 \iff x \geq 2\)

\(\log_2 x \leq 2 \iff x \leq 4\)

**Odpowiedź:** \(x \in [2, 4]\).

## Zadanie 5 - zamiana na wspólną podstawę

Rozwiąż \(\log_2 x + \log_4 x > 3\).

**Rozwiązanie:**

Dziedzina: \(x > 0\).

Zamień \(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}\):

$$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} > 3$$
$$\frac{3}{2}\log_2 x > 3$$
$$\log_2 x > 2$$
$$x > 4$$

**Odpowiedź:** \(x \in (4, \infty)\).

## Zadanie 6 - z kwadratową w argumencie

Rozwiąż \(\log_{1/3}(x^2 - 4)  0\), czyli \(x  2\).

\(-2 = \log_{1/3} 9\):

$$\log_{1/3}(x^2 - 4)  9\), czyli \(x^2 > 13\).

To daje \(x  \sqrt{13}\).

Przecięcie z dziedziną: \(x \in (-\infty, -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)\) (bo \(\sqrt{13} > 2\)).

**Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)\).

## Typowe pułapki

**1. Brak dziedziny.** Znajdujesz rozwiązanie algebraiczne i zapominasz sprawdzić, czy argumenty logarytmów są dodatnie.

**2. Zapomnienie o odwróceniu znaku.** Podstawa \(1/2\) i piszesz rozwiązanie jak dla \(a > 1\). Klasyka.

**3. Zapis \(-2\) bez zamiany na logarytm.** Trudniej porównywać, jeśli jedna strona to liczba, druga logarytm. Zamień liczbę na \(\log_a a^n\).

**4. Brak jednakowej podstawy.** Nie porównasz \(\log_2\) z \(\log_3\) bezpośrednio. Zamień na jedną.

**5. Dziedzina po rozwiązaniu.** Łatwo zapomnieć, że dziedzina **zawęża** zbiór rozwiązań.

## Podsumowanie

- Zawsze zacznij od dziedziny: każdy argument logarytmu \(> 0\).
- Podstawa \(>1\): znak nierówności zostaje.
- Podstawa \(\in (0,1)\): znak odwracasz.
- Sprowadź do jednej podstawy przez \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\).
- Przetnij rozwiązanie z dziedziną na końcu.

Więcej o logarytmach: [równania logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne), [logarytmy wzory](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)