--- route: /jak-rozwiazac-nierownosc-kwadratowa-krok-po-kroku title: Jak rozwiązać nierówność kwadratową krok po kroku - metoda paraboli z przykładami description: Nierówności kwadratowe metodą paraboli. 7 rozwiązanych przykładów: delta dodatnia, zerowa i ujemna. Jak zapisać rozwiązanie w przedziałach, bez błędów z nawiasami. type: task_solution category: Równania i nierówności tags: nierówność kwadratowa, jak rozwiązać nierówność kwadratową, metoda paraboli, nierówność kwadratowa krok po kroku, nierówność z deltą ujemną, nierówność kwadratowa matura, rozwiązywanie nierówności, trójmian kwadratowy nierówność, nierówność zadania, nierówności w przedziałach, nierówność kwadratowa wzór published: 2026-04-29T09:18:14.277+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:29.753916+00:00 --- # Jak rozwiązać nierówność kwadratową krok po kroku - metoda paraboli z przykładami Nierówność kwadratowa to druga po równaniu kwadratowym najczęstsza "technika" z algebry na maturze. Zawsze jest w zadaniach zamkniętych, a często w zadaniach otwartych. Jeśli umiesz rozwiązać [równanie kwadratowe z deltą](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe), to do nierówności brakuje Ci tylko jednego kroku: interpretacji znaku trójmianu. I właśnie ten krok jest najbardziej zdradliwy - pomyłka z nawiasem albo ze znakiem kosztuje pełen punkt. ## Co to jest nierówność kwadratowa Nierówność kwadratowa to każda nierówność postaci: $$ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \geq 0, \quad ax^2 + bx + c 0\), w dół gdy \(a 0\), pod osią dla \( 0\) - parabola się uśmiecha (U), nad osią = "po krańcach". - \(a 0\) **Zadanie.** Rozwiąż nierówność \(x^2 - 5x + 6 > 0\). **Rozwiązanie.** Krok 1. Postać standardowa - już jest. Krok 2. \(\Delta = 25 - 24 = 1\), \(\sqrt{\Delta} = 1\). Krok 3. Miejsca zerowe: $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ Krok 4. Parabola "uśmiech" (\(a = 1 > 0\)), miejsca zerowe w 2 i 3. Krok 5. Szukamy \(> 0\) - to znaczy gdzie parabola jest NAD osią OX. Parabola "uśmiech" jest nad osią po krańcach, więc: $$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$ **Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\). Zwróć uwagę na **okrągłe nawiasy** - bo mamy ostrą nierówność (\(>\)), miejsca zerowe są wyłączone. ### Przykład 2: Delta dodatnia, \(a > 0\), nierówność "mniejsze niż" **Zadanie.** Rozwiąż \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\). **Rozwiązanie.** Delta i miejsca zerowe jak wcześniej (\(x_1 = 2, x_2 = 3\)). Parabola "uśmiech", szukamy \(\leq 0\) - czyli gdzie jest POD lub NA osi. Parabola jest pod osią między miejscami zerowymi. $$x \in \langle 2, 3 \rangle$$ **Odpowiedź:** \(x \in \langle 2, 3 \rangle\). Uwaga: **kwadratowe nawiasy**, bo nierówność jest "słaba" (\(\leq\)), więc miejsca zerowe są WŁĄCZONE do rozwiązania. ### Przykład 3: Delta dodatnia, \(a 0\). **Rozwiązanie.** Krok 1. \(a = -1 0\) - gdzie parabola nad osią. Parabola "smutek" jest nad osią MIĘDZY miejscami zerowymi: $$x \in (-1, 5)$$ **Odpowiedź:** \(x \in (-1, 5)\). ### Kluczowa zasada przy \(a 0\). W przykładzie 3: $$-x^2 + 4x + 5 > 0 \iff x^2 - 4x - 5 0\). **Rozwiązanie.** Krok 1. \(\Delta = 36 - 36 = 0\). Krok 2. Jedno miejsce zerowe: \(x_0 = \frac{6}{2} = 3\). Krok 3. Parabola "uśmiech" dotyka osi OX w punkcie \(x = 3\). W tym punkcie wartość wynosi 0, wszędzie indziej jest dodatnia. Krok 4. Szukamy \(> 0\), czyli ściśle dodatnie. Wykluczamy miejsce zerowe: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$$ **Odpowiedź:** \(x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}\) (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 3). ### Przykład 5: Delta zero, nierówność słaba **Zadanie.** Rozwiąż \(x^2 - 6x + 9 \geq 0\). **Rozwiązanie.** Parabola "uśmiech" ma jedno miejsce zerowe w 3, dotyka osi, nigdzie nie idzie pod oś. Szukamy \(\geq 0\) - czyli wszystkie \(x\), bo parabola jest wszędzie \(\geq 0\). $$x \in \mathbb{R}$$ **Odpowiedź:** \(x \in \mathbb{R}\). ### Przykład 6: Delta zero, \(\leq\) **Zadanie.** Rozwiąż \(x^2 - 6x + 9 \leq 0\). **Rozwiązanie.** Parabola "uśmiech", miejsce zerowe w 3. Parabola NIE schodzi pod oś, tylko dotyka osi w jednym punkcie. Szukamy \(\leq 0\) - to prawda tylko w samym miejscu zerowym. $$x = 3$$ (jedyne rozwiązanie) **Odpowiedź:** \(x = 3\). ### Przykład 7: Delta ujemna **Zadanie.** Rozwiąż \(x^2 + 2x + 5 > 0\). **Rozwiązanie.** Krok 1. \(\Delta = 4 - 20 = -16 0\)) bez miejsc zerowych - leży całkowicie NAD osią OX. Krok 3. Szukamy \(> 0\) - wszędzie prawda. $$x \in \mathbb{R}$$ **Odpowiedź:** \(x \in \mathbb{R}\). ### Podsumowanie przypadków dla \(a > 0\) | Znak | \(\Delta > 0\) | \(\Delta = 0\) | \(\Delta 0\) | \((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) | \(\mathbb{R} \setminus \{x_0\}\) | \(\mathbb{R}\) | | \(f(x) \geq 0\) | \((-\infty, x_1\rangle \cup \langle x_2, +\infty)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | | \(f(x) \)). **Nawias kwadratowy \(\langle\)** - miejsce zerowe WŁĄCZONE. Używasz przy nierówności słabej (\(\leq, \geq\)). **Nieskończoność zawsze ma nawias okrągły** - \((-\infty, ...)\) nie \(\langle-\infty, ...)\). To jest jedna z najczęstszych przyczyn straty 0.5 punktu na maturze. Sprawdzaj dwa razy. ## Zapis zbioru rozwiązań Są dwa popularne sposoby: - **W przedziałach:** \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\). - **Nierównościami:** \(x 3\). Oba są poprawne na maturze. Wybierz jeden i trzymaj się go - nie mieszaj. ## Typowe pułapki 1. **Złe nawiasy** - ostra nierówność = okrągłe, słaba = kwadratowe. Co roku się na tym łapie kilkadziesiąt tysięcy osób. 2. **Zapomnienie o \(a 0\) i \(f(x) > 0\) rozwiązaniem jest \(\mathbb{R}\)! 4. **Niezredukowanie do postaci standardowej** - jeśli nierówność jest \(3x^2 > 2x + 5\), najpierw przenieś wszystko na lewą stronę: \(3x^2 - 2x - 5 > 0\). 5. **Przypisanie miejsc zerowych w złej kolejności** - zawsze \(x_1 0\). - "Dla jakich \(m\) funkcja nie ma miejsc zerowych?" → \(\Delta , \geq, <, \leq\)). - [x] Odróżnić nawiasy okrągłe od kwadratowych. - [x] Obsłużyć przypadek \(\Delta = 0\) i \(\Delta < 0\). - [x] Zapisać odpowiedź w przedziałach lub nierównościach. ## Powiązane tematy - [Jak obliczyć deltę](/jak-obliczyc-delta-rownanie-kwadratowe) - fundament nierówności kwadratowej - [Nierówności kwadratowe - metoda graficzna](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania) - pełny przewodnik - [Jak rozwiązać równanie kwadratowe](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania) - to samo, tylko \(= 0\) - [Funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - szerokie tło teoretyczne - [Jak znaleźć wierzchołek paraboli](/jak-znalezc-wierzcholek-paraboli) - przydaje się do szkicu - [Nierówności - liniowe, kwadratowe, z wartością bezwzględną](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody) - szerszy widok - [Wzory Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania) - szybkie znajdowanie miejsc zerowych Ćwicz na zadaniach w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) - setki zadań CKE z pełnymi rozwiązaniami. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)