---
route: /jak-obliczyc-sinus-cosinus-znajac-tangens
title: Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne
description: Znasz tangens i musisz obliczyć sinus oraz cosinus? Poznaj dwie metody: jedynkę trygonometryczną i trójkąt prostokątny, plus 5 zadań maturalnych CKE.
type: task_solution
category: Trygonometria
tags: jak obliczyć sinus mając tangens, związki między funkcjami trygonometrycznymi, tangens sinus cosinus zależności, dany tangens oblicz sinus i cosinus, jedynka trygonometryczna zadania, sinus cosinus tangens wzory, trygonometria zadania maturalne, kąt ostry trygonometria matura, cosinus kąta rozwartego znak, tg alfa jak obliczyć sin i cos
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-21T07:15:06.182+00:00
updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00
---
# Jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens - zadania maturalne
Gdy znasz tangens kąta, sinus i cosinus obliczysz z dwóch związków zapisanych w tablicach CKE: jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) oraz definicji tangensa \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Podstawiając \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\) do jedynki, dostajesz gotowy wzór \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\). Dla kąta ostrego jeszcze szybszy jest trójkąt prostokątny: z tangensa odczytujesz proporcję przyprostokątnych, przeciwprostokątną liczysz z twierdzenia Pitagorasa i wszystkie funkcje spisujesz z definicji.

Zadanie typu "kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha = 2\), oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\)" to jeden z pewniaków [trygonometrii](/topics/trygonometria) na poziomie podstawowym. Ten motyw, czyli przechodzenie między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta, pojawia się w arkuszach niemal co sesję: m.in. maj 2020, próbna CKE grudzień 2023, sierpień 2024, sierpień 2025 i maj 2026. Poniżej masz dwie niezawodne metody i 5 rozwiązanych zadań, łącznie z wariantem dla kąta rozwartego, który obowiązuje w formule 2023.

## Trzy wzory, które załatwiają każde takie zadanie

Do przechodzenia między \(\sin\), \(\cos\) i \(\operatorname{tg}\) tego samego kąta wystarczą dwa związki: jedynka trygonometryczna \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) i definicja tangensa \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Trzeci wzór, \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\), wyprowadzasz z tych dwóch w dwie linijki i to on robi całą robotę, gdy dany jest tangens.

Oba bazowe związki znajdziesz w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), więc nie musisz ich pamiętać, ale musisz wiedzieć, kiedy ich użyć. Skąd bierze się jedynka i jak wygląda jej dowód, tłumaczymy w osobnym poradniku o [jedynce trygonometrycznej](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura).

Wyprowadzenie trzeciego wzoru:

**Krok 1: wyznacz sinus z definicji tangensa.** \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).

**Krok 2: podstaw do jedynki trygonometrycznej.** \(\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

**Krok 3: wyłącz \(\cos^2\alpha\) przed nawias.** \(\cos^2\alpha \left(\operatorname{tg}^2\alpha + 1\right) = 1\), stąd \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\).

## Metoda 1: trójkąt prostokątny (najszybsza dla kąta ostrego)

Jeśli \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}\) i kąt \(\alpha\) jest ostry, narysuj trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość \(a\), a przyprostokątna przy kącie \(b\). Przeciwprostokątną obliczasz z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania): \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\). Wtedy \(\sin\alpha = \frac{a}{c}\) oraz \(\cos\alpha = \frac{b}{c}\).

Dlaczego to działa? Tangens wyznacza tylko proporcję przyprostokątnych, a wartości funkcji trygonometrycznych zależą wyłącznie od kształtu trójkąta, nie od jego rozmiaru: trójkąty podobne mają te same kąty i te same wartości funkcji. Możesz więc przyjąć najwygodniejsze długości zgodne z proporcją. Definicje wszystkich trzech funkcji w trójkącie prostokątnym powtórzysz w poradniku o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

## Metoda 2: jedynka trygonometryczna i definicja tangensa

Ta metoda działa zawsze, także poza kątem ostrym. Liczysz \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\), pierwiastkujesz z odpowiednim znakiem, a sinus odzyskujesz z zależności \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).

**Krok 1: oblicz \(\cos^2\alpha\) ze wzoru.** Podstaw wartość tangensa do \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\).

**Krok 2: ustal znak cosinusa.** Dla kąta ostrego \(\cos\alpha > 0\), dla kąta rozwartego \(\cos\alpha < 0\).

**Krok 3: oblicz sinus.** \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\).

**Krok 4: sprawdź jedynką.** Suma \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\) musi dać dokładnie \(1\).

## Rozwiązane zadania maturalne

### Zadanie 1. \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{4}\), kąt ostry

Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

**Krok 1: narysuj trójkąt zgodny z proporcją.** Przyprostokątne: \(3\) (naprzeciw kąta) i \(4\) (przy kącie).

**Krok 2: oblicz przeciwprostokątną.** \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).

**Krok 3: spisz wyniki z definicji.** \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\).

**Krok 4: sprawdź jedynką.** \(\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1\). Zgadza się.

### Zadanie 2. \(\operatorname{tg}\alpha = 2\), kąt ostry

Oblicz \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

**Krok 1: użyj wzoru na \(\cos^2\alpha\).** \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5}\).

**Krok 2: spierwiastkuj z dodatnim znakiem (kąt ostry).** \(\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Tę postać uzyskasz przez [usunięcie niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).

**Krok 3: oblicz sinus.** \(\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\).

**Krok 4: sprawdź jedynką.** \(\frac{20}{25} + \frac{5}{25} = 1\). Zgadza się.

### Zadanie 3. Warunek z ułamkiem (styl: matura maj 2020)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 5\). Oblicz \(\operatorname{tg}\alpha\), a następnie \(\sin\alpha\) i \(\cos\alpha\).

**Krok 1: rozbij ułamek na dwa składniki.** \(\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2\operatorname{tg}\alpha + 3\).

**Krok 2: rozwiąż równanie.** \(2\operatorname{tg}\alpha + 3 = 5\), stąd \(\operatorname{tg}\alpha = 1\).

**Krok 3: rozpoznaj kąt.** Dla kąta ostrego \(\operatorname{tg}\alpha = 1\) oznacza \(\alpha = 45^\circ\), więc \(\sin\alpha = \cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

### Zadanie 4. W drugą stronę: dany sinus, szukany tangens (styl: próbna CKE grudzień 2023)

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Oblicz \(\cos\alpha\) i \(\operatorname{tg}\alpha\).

**Krok 1: cosinus z jedynki.** \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\), a że kąt jest ostry: \(\cos\alpha = \frac{2}{3}\).

**Krok 2: tangens z definicji.** \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}\).

### Zadanie 5. Wartość wyrażenia, gdy znasz tangens

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha = 2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}\).

**Krok 1: podziel licznik i mianownik przez \(\cos\alpha\).** To najważniejszy trik w tego typu zadaniach: \(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\operatorname{tg}\alpha + 1}{\operatorname{tg}\alpha - 1}\).

**Krok 2: podstaw tangens.** \(\frac{2 + 1}{2 - 1} = 3\).

Zauważ: nie musiałeś znać \(\sin\alpha\) ani \(\cos\alpha\) osobno. Dzielenie licznika i mianownika przez \(\cos\alpha\) zamienia całe wyrażenie na tangens i skraca rozwiązanie do dwóch linijek.

## Kąt rozwarty: uważaj na znaki

W formule 2023 trygonometria na poziomie podstawowym obejmuje kąty od \(0^\circ\) do \(180^\circ\). Dla [kąta rozwartego](/funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura#znaki-funkcji-trygonometrycznych-dla-katow-od-0-do-180) sinus pozostaje dodatni, a cosinus i tangens są ujemne. Wzory zostają te same, zmienia się tylko znak wybierany przy pierwiastkowaniu.

Przykład: kąt \(\alpha\) jest rozwarty i \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\). Z jedynki \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\), ale wybierasz znak ujemny: \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\). Stąd \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{5} : \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{4}\). Przy kątach rozwartych przydają się też [wzory redukcyjne](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania): \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) oraz \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\).

## Typowe pułapki

- **Gubisz znak przy pierwiastkowaniu.** Z \(\cos^2\alpha = \frac{16}{25}\) wynika \(\cos\alpha = \frac{4}{5}\) albo \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\). O wyborze decyduje informacja o kącie z treści zadania: ostry to plus, rozwarty to minus.
- **Odwracasz definicję tangensa.** \(\operatorname{tg}\alpha\) to \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), nie odwrotnie. Po zamianie kolejności wszystkie dalsze rachunki są błędne, a wynik często wygląda wiarygodnie.
- **Ignorujesz słowo "ostry" w treści.** To nie ozdobnik, tylko informacja o znakach. Bez niej zadanie miałoby dwa poprawne komplety odpowiedzi.
- **Zostawiasz pierwiastek w mianowniku.** \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) i \(\frac{\sqrt{5}}{5}\) to ta sama liczba, ale zapis bez niewymierności w mianowniku jest standardem w kluczach CKE i ułatwia porównanie wyniku z odpowiedziami.
- **Szukasz cotangensa w tablicach.** W formule 2023 na poziomie podstawowym cotangens nie występuje. Jeśli ćwiczysz na starych arkuszach (formuła 2015), tam \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Różnice między formułami zebraliśmy w porównaniu [formuła 2015 vs 2023](/formula-2015-vs-2023-matura-matematyka-roznice-zmiany).

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć sinus i cosinus, gdy znany jest tangens?
Skorzystaj ze wzoru \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\), który wynika z jedynki trygonometrycznej i definicji tangensa. Po spierwiastkowaniu ze znakiem zgodnym z rodzajem kąta obliczasz sinus z zależności \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha\). Dla kąta ostrego równie szybki jest trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa.

### Jaki wzór łączy sinus, cosinus i tangens?
Definicja tangensa: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Razem z jedynką trygonometryczną \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) tworzy komplet: z jednej znanej wartości funkcji trygonometrycznej wyznaczysz dwie pozostałe, z dokładnością do znaku, o którym rozstrzyga rodzaj kąta.

### Czy tangens kąta może być większy od 1?
Tak. Tangens kąta ostrego przyjmuje wszystkie wartości dodatnie: dla kątów mniejszych od \(45^\circ\) jest mniejszy od \(1\), dla \(45^\circ\) równy \(1\), a dla kątów większych od \(45^\circ\) może być dowolnie duży. Ograniczenie wartości do przedziału od \(-1\) do \(1\) dotyczy sinusa i cosinusa, nie tangensa.

### Jak obliczyć tangens, gdy znam sinus kąta?
Najpierw oblicz cosinus z jedynki trygonometrycznej: \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\), wybierając znak zgodny z rodzajem kąta. Potem podziel sinus przez cosinus: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Dokładnie tak rozwiązane jest zadanie 4 w tym artykule.

### Jaki znak ma cosinus kąta rozwartego?
Ujemny. Dla kątów od \(90^\circ\) do \(180^\circ\) cosinus i tangens są ujemne, a sinus pozostaje dodatni. Dlatego przy pierwiastkowaniu \(\cos^2\alpha\) dla kąta rozwartego wybierasz wartość ujemną, tak jak w przykładzie z tego artykułu.

### Czy wzory na związki między funkcjami trygonometrycznymi są w tablicach CKE?
Tak. Jedynka trygonometryczna i definicja tangensa są w karcie wzorów CKE, z której korzystasz na egzaminie. Wzoru \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\) w tablicach nie ma, ale wyprowadzisz go z tamtych dwóch w dwóch linijkach.

## Związki między funkcjami trygonometrycznymi - checklista

- Znasz jedynkę trygonometryczną i definicję tangensa oraz wiesz, gdzie znaleźć je w tablicach CKE.
- Umiesz wyprowadzić i zastosować wzór \(\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}\).
- Dla kąta ostrego umiesz użyć trójkąta prostokątnego i twierdzenia Pitagorasa.
- Pamiętasz o znakach: kąt ostry to cosinus dodatni, kąt rozwarty to cosinus i tangens ujemne.
- Umiesz podzielić licznik i mianownik wyrażenia przez \(\cos\alpha\), żeby zamienić je na tangens.
- Każdy wynik sprawdzasz jedynką trygonometryczną.

Ten typ zadania przećwiczysz na prawdziwych arkuszach w zbiorze [zadań CKE z trygonometrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-trygonometria-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)