--- route: /jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory title: Jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje - wzory i zadania maturalne krok po kroku description: Silnia, kombinacje, permutacje, wariacje z powtórzeniami i bez. Wzory, kiedy stosować, 6 rozwiązanych zadań maturalnych CKE krok po kroku. type: task_solution category: Kombinatoryka tags: silnia, jak obliczyć silnię, kombinacje, permutacje, wariacje z powtórzeniami, wariacje bez powtórzeń, symbol Newtona, reguła mnożenia, kombinatoryka matura, zasada mnożenia zadania published: 2026-04-27T08:11:53.752+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:10.58038+00:00 --- # Jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje - wzory i zadania maturalne krok po kroku Kombinatoryka na maturze z matematyki zawsze wygląda strasznie, a potem okazuje się, że to podstawianie do jednego z pięciu wzorów. Cały trick polega na **rozpoznaniu**, co zadanie pyta: czy kolejność jest ważna, czy nie? Czy elementy się powtarzają? Czy wybieramy wszystkie czy tylko część? W tym przewodniku pokażę Ci wszystkie wzory kombinatoryczne wymagane na maturze, kiedy je stosować i sześć przykładów z rozwiązaniami. Na koniec dostaniesz prostą regułę decyzyjną, która odpowie Ci na pytanie "który wzór wybrać". ## Silnia - najprostszy wzór w kombinatoryce **Silnia liczby \(n\)** (oznaczana \(n!\)) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do \(n\): $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$ Przykłady: - \(0! = 1\) (z definicji - zapamiętaj!) - \(1! = 1\) - \(2! = 2\) - \(3! = 6\) - \(4! = 24\) - \(5! = 120\) - \(6! = 720\) - \(7! = 5040\) Warto mieć te wartości w pamięci aż do \(7!\) - na maturze przydają się non-stop. \(8!\) to już 40320, 9! = 362880 - dalej nie musisz. **Własność kluczowa:** \(n! = n \cdot (n-1)!\). To pozwala na skracanie ułamków z silniami: $$\frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$ **Nie licz \(10!\) w całości** - to strata czasu i źródło błędów. Skracaj silnie zanim cokolwiek pomnożysz. ## Permutacje - ile można ustawić n przedmiotów **Permutacja** to uporządkowanie wszystkich \(n\) elementów zbioru w ciąg. Liczba permutacji wynosi: $$P_n = n!$$ **Kiedy stosować:** kiedy **ustawiasz wszystkie** elementy i **kolejność ma znaczenie**. **Przykład:** na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce? $$P_5 = 5! = 120$$ **Przykład z pułapką:** na ile sposobów może się ustawić w kolejce 4 dziewczyny i 3 chłopaków, jeśli dziewczyny mają stać obok siebie? Potraktuj blok "4 dziewczyny" jako jeden element. Masz wtedy 4 elementy (blok + 3 chłopcy) - \(4! = 24\) sposoby. Wewnątrz bloku dziewczyny można ustawiać na \(4! = 24\) sposobów. Wynik: \(24 \cdot 24 = 576\). ## Wariacje bez powtórzeń - wybierasz k z n i ustawiasz **Wariacja bez powtórzeń** \(V_n^k\) - liczba sposobów wybrania \(k\) elementów z \(n\) i ustawienia ich w kolejności: $$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$$ **Kiedy stosować:** wybierasz \(k\) z \(n\), **kolejność ma znaczenie**, elementy się **nie powtarzają**. **Przykład:** ile różnych dwuwyrazowych ciągów można utworzyć z 10 elementów? $$V_{10}^2 = 10 \cdot 9 = 90$$ **Przykład z matury:** ile jest różnych trzycyfrowych liczb utworzonych z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6 bez powtórzeń? $$V_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$$ ## Wariacje z powtórzeniami - wybierasz k z n i ustawiasz, elementy mogą się powtarzać **Wariacja z powtórzeniami** \(W_n^k\): $$W_n^k = n^k$$ **Kiedy stosować:** wybierasz \(k\) z \(n\), **kolejność ma znaczenie**, elementy **mogą się powtarzać**. **Przykład klasyczny:** ile jest 4-cyfrowych kodów PIN? Każda cyfra niezależnie: \(W_{10}^4 = 10^4 = 10000\). **Przykład rozszerzony:** ile jest 3-literowych ciągów utworzonych z liter A, B, C, D, E z powtórzeniami? \(W_5^3 = 5^3 = 125\). **Pułapka:** zadanie typu "ile jest liczb pięciocyfrowych z cyfr 0-9" - pierwsza cyfra nie może być zerem, reszta dowolne. Wynik: \(9 \cdot 10^4 = 90000\), bo pierwsza cyfra to wybór z 9, pozostałe z 10. ## Kombinacje - wybierasz k z n bez względu na kolejność **Kombinacja** \(C_n^k\) (inaczej **symbol Newtona**) - liczba sposobów wybrania \(k\) elementów z \(n\), **gdy kolejność nie ma znaczenia**: $$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$ **Kiedy stosować:** wybierasz \(k\) z \(n\), **kolejność NIE ma znaczenia**. **Przykład:** na ile sposobów można wybrać 3-osobową delegację spośród 10 uczniów? $$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120$$ **Własność symetrii:** \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Na przykład \(\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = 120\). Zawsze wybieraj mniejszą wartość \(k\), żeby szybciej liczyć. **Kilka wartości do zapamiętania:** - \(\binom{n}{0} = 1\), - \(\binom{n}{1} = n\), - \(\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\), - \(\binom{n}{n} = 1\). Dla \(n \le 6\) warto znać trójkąt Pascala na pamięć - przyspiesza obliczenia. [Szczegóły w naszym artykule o symbolu Newtona](/symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie). ## Reguła mnożenia - fundament wszystkich wzorów **Zasada mnożenia:** jeśli czynność można wykonać w \(k\) etapach, a każdy etap można wykonać odpowiednio w \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) sposobów, to całość można wykonać w: $$N = n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$$ **Przykład:** szafka ma 3 zamki, każdy ma 4-cyfrowy kod. Ile jest możliwych kombinacji? $$N = 10^4 \cdot 10^4 \cdot 10^4 = 10^{12}$$ Zasada mnożenia działa **zawsze** - wszystkie wzory wariacji i permutacji są z niej wyprowadzone. Jeśli utkniesz, wracaj do zasady mnożenia i buduj wzór od zera. ## Reguła decyzyjna - który wzór wybrać Na maturze zadaj sobie po kolei dwa pytania: **1. Czy wybieram wszystkie \(n\), czy tylko \(k\) z \(n\)?** - Wszystkie → idziemy w stronę permutacji (\(n!\)). - Tylko \(k\) → wariacja lub kombinacja. **2. Czy kolejność ma znaczenie?** - Tak + bez powtórzeń → **wariacja bez powtórzeń** \(V_n^k\). - Tak + z powtórzeniami → **wariacja z powtórzeniami** \(W_n^k = n^k\). - Nie → **kombinacja** \(\binom{n}{k}\). I to wszystko. Przepisz na kartkę, powieś nad biurkiem, czytaj przed maturą. ## Zadanie 1 - klasyczna matura (poziom podstawowy) Ile jest różnych czterocyfrowych liczb, w których wszystkie cyfry są różne? Pierwsza cyfra - z zakresu 1-9, więc 9 możliwości. Pozostałe trzy - bez powtórzeń z 9 pozostałych cyfr (łącznie z zerem, bez tej, którą już wybrałeś): \(9 \cdot 8 \cdot 7\). Wynik: \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\). ## Zadanie 2 - losowanie bez zwracania Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Ile jest możliwych układów? **Kolejność nie ma znaczenia** (po rozdaniu masz po prostu 5 kart w ręku). Wybieramy 5 z 52 bez powtórzeń: $$\binom{52}{5} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5!} = \frac{311875200}{120} = 2598960$$ ## Zadanie 3 - permutacja z blokiem Na ile sposobów można posadzić 6 osób przy okrągłym stole tak, żeby dwie konkretne osoby siedziały obok siebie? Okrągły stół: jedną pozycję ustalamy (żeby nie liczyć tego samego układu wiele razy). Potem ustawiamy 5 pozostałych: \(5! = 120\). Dwóch konkretnych zliczymy jako blok, co daje \(4! = 24\) ustawień na okręgu, a w bloku \(2! = 2\) sposoby ułożenia - razem \(24 \cdot 2 = 48\). Zadanie okrągłe to osobny typ - jeśli nie wystąpi, nie musisz się martwić. ## Zadanie 4 - wariacja z powtórzeniami Z liter słowa MATURA tworzymy 3-literowe ciągi, gdzie litery mogą się powtarzać. Ile jest możliwych? Słowo MATURA ma **5 różnych** liter (M, A, T, U, R - litera A powtarza się, ale to jedna litera w zbiorze). \(W_5^3 = 5^3 = 125\). **Pułapka:** słowo MATURA ma 6 liter, ale w zbiorze unikalnych liter jest 5. Kombinatoryka operuje na **zbiorach**, więc A jest jedno. ## Zadanie 5 - zadanie z treścią (kombinacje + reguła mnożenia) W klasie jest 15 dziewcząt i 12 chłopaków. Ile jest sposobów wyboru 3-osobowej delegacji, w której jest dokładnie 1 chłopak? Wybieramy 1 chłopaka z 12: \(\binom{12}{1} = 12\). Wybieramy 2 dziewczyny z 15: \(\binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105\). Obie czynności niezależne → zasada mnożenia: \(12 \cdot 105 = 1260\). ## Zadanie 6 - kolorowanie (klasyka) Chorągiewka ma 3 pasy w różnych kolorach. Mamy do dyspozycji 6 kolorów. Ile jest różnych chorągiewek (każdy pas inny kolor, pasy rozróżnialne)? Kolejność pasów ma znaczenie (bo pasy rozróżniamy), powtórzeń nie ma. Wariacja bez powtórzeń: $$V_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$$ Gdyby pasy mogły mieć ten sam kolor: \(W_6^3 = 6^3 = 216\). Gdyby pasy były nierozróżnialne (bo np. trójkątna flaga z trzech kolorów, ale nie wiesz który jest który) - kombinacje: \(\binom{6}{3} = 20\). ## Typowe pułapki maturalne **1. "Kolejność ma znaczenie" bywa ukryte.** W zadaniach typu "losujemy numery z 40" (jak w lotto) kolejność nie ma znaczenia - liczby są zrównoważone przez loterię. Gdy wybieramy prezydenta, wiceprezydenta i sekretarza - kolejność ma znaczenie, bo to różne stanowiska. **2. "Bez powtórzeń" bywa dorozumiane.** Gdy wyciągasz kulki z urny bez zwracania - bez powtórzeń. Gdy rzucasz kostką kilka razy - z powtórzeniami. **3. Silnia \(0! = 1\).** To często błąd typu "nie pamiętam, więc nie liczę". \(0!\) wynosi 1 i tyle. **4. Mieszanie wzorów.** Zapisz sobie po lewej pytanie "kolejność?", po prawej "z/bez powtórzeń?" i wybieraj mechanicznie. **5. Dwukrotne liczenie.** Jeśli zadanie dzielisz na etapy (zasada mnożenia), upewnij się, że etapy są **niezależne**. Jeśli zależne - musisz inaczej podejść. ## Checklista - co musisz umieć - Obliczyć silnię do \(10!\), skracać silnie w ułamkach. - Odróżnić kombinację od wariacji (kolejność). - Odróżnić wariację z powtórzeniami od bez. - Zastosować zasadę mnożenia w zadaniach etapowych. - Rozpoznać typowe scenariusze: delegacja, kody, ustawianie w kolejce, kolorowanie. - Obliczyć \(\binom{n}{k}\) szybko, używając symetrii. - Zapamiętać wartości \(\binom{n}{k}\) dla \(n \le 6\). Gdy chcesz więcej przykładów, przejdź do [pełnego przewodnika po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) albo poćwicz [zadania z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka). Sprawdź też [jak obliczyć prawdopodobieństwo](/jak-obliczyc-prawdopodobienstwo-zadania) - kombinatoryka jest tam fundamentem. Powodzenia! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)