--- route: /jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni title: Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka - wzory i zadania maturalne krok po kroku description: Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka? Wzory, wyprowadzenie, 5 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku i typowe pułapki na egzaminie. type: task_solution category: Stereometria tags: objętość stożka, pole powierzchni stożka, stożek wzory, jak obliczyć objętość stożka, stożek matura, stereometria matura, pole powierzchni bocznej stożka, tworząca stożka, stożek ścięty, bryły obrotowe matura published: 2026-04-21T06:06:30.612+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:18.968105+00:00 --- # Jak obliczyć objętość i pole powierzchni stożka - wzory i zadania maturalne krok po kroku Stożek to jedna z brył, które pojawiają się na maturze regularnie. CKE pytała o objętość stożka, pole powierzchni bocznej, a nawet o stożek ścięty. To brzmi skomplikowanie, ale wzory są proste - wystarczy je zrozumieć i przećwiczyć na kilku zadaniach. ## Podstawowe elementy stożka Zanim przejdziemy do wzorów, ustalmy nazewnictwo: - **r** - promień podstawy - **H** - wysokość stożka (odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy) - **l** - tworząca stożka (odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy) Te trzy wielkości tworzą trójkąt prostokątny, więc łączy je [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania): $$l^2 = r^2 + H^2$$ To jest kluczowa zależność. Na maturze często podają dwie z trzech wielkości i trzeba obliczyć trzecią. ## Objętość stożka $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 H$$ Zapamiętaj: objętość stożka to **jedna trzecia** objętości walca o tym samym promieniu i wysokości. Trzy stożki = jeden walec. ### Przykład 1: Prosta objętość Oblicz objętość stożka o promieniu podstawy 6 cm i wysokości 8 cm. **Rozwiązanie:** $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = \frac{288\pi}{3} = 96\pi \text{ cm}^3$$ **Odpowiedź:** \(V = 96\pi \approx 301{,}6\) cm³. ### Przykład 2: Objętość z tworzącej Tworząca stożka ma długość 10 cm, a promień podstawy wynosi 6 cm. Oblicz objętość. **Rozwiązanie:** Najpierw obliczamy wysokość z twierdzenia Pitagorasa: $$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$ Teraz objętość: $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi \text{ cm}^3$$ **Odpowiedź:** \(V = 96\pi\) cm³. ## Pole powierzchni stożka Pole powierzchni całkowitej składa się z dwóch części: $$P_c = P_p + P_b$$ **Pole podstawy** (koło): $$P_p = \pi r^2$$ **Pole powierzchni bocznej** (rozwinięcie w wycinek koła): $$P_b = \pi r l$$ **Pole całkowite:** $$P_c = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$$ ### Przykład 3: Pole powierzchni Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o promieniu 5 cm i tworzącej 13 cm. **Rozwiązanie:** $$P_c = \pi \cdot 5 \cdot (5 + 13) = \pi \cdot 5 \cdot 18 = 90\pi \text{ cm}^2$$ **Odpowiedź:** \(P_c = 90\pi \approx 282{,}7\) cm². ### Przykład 4: Zadanie maturalne - stożek z przekrojem Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 12 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego stożka. **Rozwiązanie:** Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny (dwie tworzące i średnica podstawy). Skoro jest równoboczny, to: - bok trójkąta = średnica = 2r = 12, więc \(r = 6\) cm - bok trójkąta = tworząca, więc \(l = 12\) cm Wysokość (z [trójkąta 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura) lub Pitagorasa): $$H = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ cm}$$ Objętość: $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\pi\sqrt{3} \text{ cm}^3$$ Pole boczne: $$P_b = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi \text{ cm}^2$$ **Odpowiedź:** \(V = 72\pi\sqrt{3} \approx 391{,}8\) cm³, \(P_b = 72\pi \approx 226{,}2\) cm². ### Przykład 5: Stożek obrotowy - kąt przy wierzchołku Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm obraca się wokół krótszej przyprostokątnej. Oblicz objętość powstałego stożka. **Rozwiązanie:** Obrót wokół przyprostokątnej o długości 3 cm: - Wysokość stożka \(H = 3\) cm (oś obrotu) - Promień podstawy \(r = 4\) cm (druga przyprostokątna zakreśla okrąg) $$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \text{ cm}^3$$ **Odpowiedź:** \(V = 16\pi \approx 50{,}3\) cm³. Uwaga: gdyby obrót był wokół dłuższej przyprostokątnej (4 cm), dostalibyśmy inny stożek: \(H = 4\), \(r = 3\), \(V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi\). To popularna pułapka na maturze - czytaj uważnie wokół której osi jest obrót. ## Stożek ścięty - bonus Na maturze rozszerzonej może pojawić się stożek ścięty. Jego objętość to: $$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$$ gdzie \(R\) i \(r\) to promienie większej i mniejszej podstawy, a \(H\) to wysokość. Pole boczne stożka ściętego: $$P_b = \pi(R + r) \cdot l$$ gdzie \(l\) to tworząca, \(l = \sqrt{H^2 + (R - r)^2}\). ## Powiązania z innymi bryłami Na maturze stożek często pojawia się w zestawieniu z innymi bryłami: - **Stożek wpisany w walec** - ten sam promień i wysokość, objętość stożka = 1/3 walca - **Stożek wpisany w kulę** - przekrój przez oś daje [trójkąt wpisany w okrąg](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia) - **Stożek z kątem przy wierzchołku** - kąt między tworzącą a osią wyznacza proporcje Więcej o bryłach znajdziesz w naszym [przewodniku po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) i [zestawieniu wzorów na objętość i pole brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory). ## Typowe błędy **Błąd 1: Zapominanie o 1/3.** Objętość stożka to \(\frac{1}{3}\pi r^2 H\), nie \(\pi r^2 H\) (to walec!). Najczęstszy błąd na maturze. **Błąd 2: Mylenie H z l.** Wysokość \(H\) to odcinek prostopadły do podstawy. Tworząca \(l\) to odcinek od wierzchołka do brzegu. W objętości wstawiamy \(H\), w polu bocznym - \(l\). **Błąd 3: Średnica zamiast promienia.** Jeśli w zadaniu podano średnicę \(d = 10\), to \(r = 5\). Nie podstawiaj 10 do wzoru! **Błąd 4: Obrót wokół złej osi.** W zadaniach o bryłach obrotowych uważnie sprawdź, wokół której prostej odbywa się obrót. To determinuje, co jest promieniem, a co wysokością. ## Co musisz umieć - checklista - Obliczać objętość stożka ze wzoru \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 H\) - Obliczać pole powierzchni bocznej \(P_b = \pi r l\) i całkowitej - Stosować twierdzenie Pitagorasa do wyznaczania \(r\), \(H\) lub \(l\) - Rozwiązywać zadania z przekrojem osiowym stożka - Rozpoznawać bryłę obrotową powstałą z obrotu trójkąta Przećwicz na [zadaniach ze stereometrii](/topics/stereometria) w naszej bazie. Sprawdź też [wzory na maturę](/wzory-na-mature-z-matematyki-2026-kompletna-lista), gdzie znajdziesz wszystkie wzory na bryły w jednym miejscu. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)