---
route: /jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania
title: Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego - wzór, różnica, zadania matura
description: Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a_n=a_1+(n-1)r. Wyznaczanie różnicy, warunek trzech wyrazów, 6 zadań CKE krok po kroku - sierpień 2025, 2024, 2014.
type: task_solution
category: Ciągi
tags: wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, ciąg arytmetyczny wzór, jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, różnica ciągu arytmetycznego, ciąg arytmetyczny matura, warunek trzech kolejnych wyrazów, zadania ciąg arytmetyczny CKE, ciągi matura 2026, matematyka matura ciągi
published: 2026-06-05T11:11:45.302+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:22.436528+00:00
---
# Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego - wzór, różnica, zadania matura
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to absolutny pewniak maturalny. CKE wsadza go w arkusz praktycznie zawsze: sierpień 2025, sierpień 2024, sierpień 2021, sierpień 2020, sierpień 2017, sierpień 2014, próbna styczeń 2014 i tak dalej. Zadanie jest zwykle zamknięte za 1 punkt, ale otwarte za 2-3 punkty też się trafia, na przykład "oblicz \(x\), wiedząc że \(2m-5\), \(4\), \(9\) jest ciągiem arytmetycznym". Wzór do zapamiętania jest jeden, a do rozwiązywania zadań potrzebujesz jeszcze trzech krótkich wniosków. W tym poradniku dostajesz teorię, gotowe podstawienia oraz 6 prawdziwych zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.

Jeśli szukasz szerszego ujęcia, sprawdź nasz przegląd [ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze - wzory i zadania](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). Tutaj zajmujemy się wyłącznie n-tym wyrazem ciągu arytmetycznego.

## Czym jest ciąg arytmetyczny

Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny, jeżeli każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby \(r\) - nazywamy ją różnicą ciągu. Formalnie warunek wygląda tak:

$$a_{n+1} - a_n = r \quad \text{dla każdego } n \ge 1$$

Co to znaczy w praktyce? Wystarczy podać pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\), a cały ciąg jest zdeterminowany. Kilka prostych przykładów:

- \(a_1 = 3\), \(r = 2\): ciąg \(3, 5, 7, 9, 11, \ldots\)
- \(a_1 = 10\), \(r = -3\): ciąg \(10, 7, 4, 1, -2, \ldots\) (maleje)
- \(a_1 = 5\), \(r = 0\): ciąg stały \(5, 5, 5, 5, \ldots\) (też arytmetyczny)
- \(a_1 = \frac{1}{2}\), \(r = \frac{1}{2}\): ciąg \(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, \ldots\)

Monotonia ciągu arytmetycznego zależy tylko od znaku \(r\). Jeśli \(r > 0\), ciąg rośnie. Jeśli \(r < 0\), maleje. Jeśli \(r = 0\), jest stały. Nigdy nie jest naprzemienny ani "zygzakowaty".

## Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Główny wzór, który musisz mieć w głowie z palca w pamięć mięśniową:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

To wszystko. Jeden wzór, dwie zmienne (\(a_1\) i \(r\)) oraz numer wyrazu \(n\). Wzór znajdziesz w karcie wzorów CKE, ale każdy maturzysta powinien go odtwarzać z głowy w sekundę.

Skąd się bierze? Wracamy do definicji ciągu arytmetycznego. Każdy kolejny wyraz to poprzedni plus \(r\):

$$a_2 = a_1 + r$$
$$a_3 = a_2 + r = a_1 + 2r$$
$$a_4 = a_3 + r = a_1 + 3r$$
$$\vdots$$
$$a_n = a_1 + (n - 1) r$$

Mnożnik przy \(r\) to dokładnie liczba "kroków" jakie zrobiliśmy od pierwszego wyrazu do \(n\)-tego. Z \(a_1\) do \(a_n\) jest \(n - 1\) kroków, nie \(n\).

Klasyczny błąd: zapisywanie wzoru jako \(a_n = a_1 + n r\). To daje wynik przesunięty o jedno miejsce - dostajesz \(a_{n+1}\) zamiast \(a_n\). Pamiętaj: minus jeden zawsze, bez wyjątku. Sprawdzian: dla \(n = 1\) musi wyjść \(a_1\), więc czynnik przy \(r\) musi się wyzerować. Z \((1-1) = 0\) zerowanie działa. Z \(n = 1\) i mnożnikiem \(n\) bez minus jeden zostawałoby \(a_1 + r\), co byłoby drugim wyrazem.

## Wyznaczanie różnicy r ze znanych wyrazów

W większości zadań CKE \(r\) nie jest podane wprost - trzeba je wyliczyć z dwóch wyrazów. Najprostszy przypadek: znamy \(a_1\) i \(a_2\). Wtedy:

$$r = a_2 - a_1$$

Ogólniej: jeśli znasz dowolne dwa wyrazy \(a_n\) i \(a_m\) (\(n \ne m\)), to:

$$r = \frac{a_n - a_m}{n - m}$$

To bardzo wygodny wzór, bo działa dla dowolnej pary wyrazów. Wyprowadzenie zajmuje 20 sekund. Z głównego wzoru:

$$a_n = a_1 + (n - 1) r$$
$$a_m = a_1 + (m - 1) r$$

Odejmując stronami: \(a_n - a_m = (n - m) r\), skąd \(r = \frac{a_n - a_m}{n - m}\).

Mając \(r\) wracasz do głównego wzoru i wyliczasz \(a_1\) z dowolnego znanego wyrazu, na przykład:

$$a_1 = a_n - (n - 1) r$$

I masz pełne dane do dalszych obliczeń. Ta technika jest podstawą zadań typu "\(a_5 = 22\), \(a_{10} = 47\). Oblicz \(a_1\)" (matura sierpień 2014).

## Warunek trzech kolejnych wyrazów

Drugi warunek, który CKE testuje w prawie każdym arkuszu (sierpień 2024, sierpień 2023, sierpień 2022, sierpień 2013, sierpień 2011 itd.): jeśli trzy liczby \((x, y, z)\) tworzą ciąg arytmetyczny w podanej kolejności, to środkowa jest średnią arytmetyczną skrajnych:

$$y = \frac{x + z}{2} \quad \text{czyli} \quad 2y = x + z$$

Wzór pochodzi prosto z definicji: \(y - x = z - y\), bo obie strony to różnica \(r\). Stąd \(2y = x + z\).

W praktyce stosujesz to tak: jeśli treść mówi "trzywyrazowy ciąg \((2m - 5, 4, 9)\) jest arytmetyczny, oblicz \(m\)", piszesz:

$$2 \cdot 4 = (2m - 5) + 9$$

$$8 = 2m + 4$$

$$m = 2$$

Czterowyrazowy warunek wygląda analogicznie: każdy środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiednich. W praktyce wystarczy zastosować warunek z trzech wyrazów dwa razy.

## Wszystkie wzory w jednej tabeli

Cały arsenał dla ciągu arytmetycznego, który wystarczy do zadań z n-tym wyrazem:

| Wzór | Co daje |
|---|---|
| \(a_n = a_1 + (n-1) r\) | n-ty wyraz |
| \(a_1 = a_n - (n-1) r\) | pierwszy wyraz z dowolnego znanego |
| \(r = a_{n+1} - a_n\) | różnica z dwóch sąsiednich |
| \(r = \dfrac{a_n - a_m}{n - m}\) | różnica z dowolnych dwóch |
| \(2 a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\) | warunek trzech kolejnych wyrazów |
| \(n = \dfrac{a_n - a_1}{r} + 1\) | numer wyrazu o znanej wartości |

Ostatni wzór warto zapamiętać. Dostajesz w treści wartość wyrazu (na przykład \(79\) z zadania sierpień 2017) i pytanie "dla jakiego \(n\)". Wystarczy wyliczyć \(n\) z głównego wzoru, ale gotowa formuła to oszczędność jednej linijki.

## Zadanie 1 - dla jakiego n wyraz wynosi 79 (matura sierpień 2017)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o którym wiemy, że \(a_1 = 2\) i \(a_2 = 9\). Wtedy \(a_n = 79\) dla:
A) \(n = 11\)  B) \(n = 12\)  C) \(n = 13\)  D) \(n = 14\)

**Rozwiązanie.** Różnica: \(r = a_2 - a_1 = 9 - 2 = 7\). Wzór na n-ty wyraz:

$$a_n = 2 + (n - 1) \cdot 7 = 7n - 5$$

Z warunku \(a_n = 79\):

$$7n - 5 = 79$$

$$7n = 84$$

$$n = 12$$

Odpowiedź: B.

Standardowa praca: różnica z dwóch pierwszych wyrazów, podstawienie do wzoru, rozwiązanie równania liniowego. Cała robota w pół minuty.

## Zadanie 2 - n-ty wyraz przy różnicy -4 (matura sierpień 2025)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa \(-4\) oraz \(a_3 = 11\). Oblicz \(a_1\) i \(a_{20}\).

**Rozwiązanie.** Z głównego wzoru: \(a_3 = a_1 + 2r\). Podstawiamy:

$$11 = a_1 + 2 \cdot (-4)$$

$$11 = a_1 - 8$$

$$a_1 = 19$$

Teraz \(a_{20}\):

$$a_{20} = a_1 + 19 \cdot r = 19 + 19 \cdot (-4) = 19 - 76 = -57$$

Odpowiedź: \(a_1 = 19\), \(a_{20} = -57\).

Uwaga na znak: ujemna różnica oznacza, że ciąg maleje. Po dwudziestu krokach od \(a_1 = 19\) z różnicą \(-4\) jest zupełnie naturalne, że wyraz jest mocno ujemny. Jeśli wyjdzie ci wynik dodatni i bardzo duży, prawdopodobnie pomyliłeś znak \(r\).

Pełny arkusz tego egzaminu omawiamy w poście [matura sierpień 2025 - rozwiązania](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz).

## Zadanie 3 - którego wyrazu nie ma w ciągu (matura sierpień 2021)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Różnica tego ciągu jest równa \(2\), a \(a_1 = 3\). Wtedy \(a_5\) jest równe...

**Rozwiązanie.** Główny wzór dla \(n = 5\):

$$a_5 = a_1 + 4r = 3 + 4 \cdot 2 = 11$$

Odpowiedź: \(11\).

Zauważ klasyczny sposób sprawdzenia. Wypisujemy kilka pierwszych wyrazów: \(3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots\). Piąty to faktycznie \(11\). Zawsze warto wypisać dwa-trzy pierwsze wyrazy, jeśli nie jesteś pewny mnożnika \(n - 1\).

## Zadanie 4 - z dwóch dowolnych wyrazów (matura sierpień 2014)

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla \(n \ge 1\), w którym \(a_5 = 22\) oraz \(a_{10} = 47\). Oblicz pierwszy wyraz \(a_1\).

**Rozwiązanie.** Najpierw różnica. Korzystamy ze wzoru \(r = \frac{a_{10} - a_5}{10 - 5}\):

$$r = \frac{47 - 22}{5} = \frac{25}{5} = 5$$

Teraz \(a_1\) z głównego wzoru, podstawiając \(a_5 = 22\) i \(n = 5\):

$$22 = a_1 + 4 \cdot 5$$

$$22 = a_1 + 20$$

$$a_1 = 2$$

Odpowiedź: \(a_1 = 2\).

Sprawdzenie: ciąg to \(2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, \ldots\). Piąty wyraz \(22\), dziesiąty \(47\). Zgadza się.

## Zadanie 5 - trzywyrazowy ciąg z parametrem (matura sierpień 2024)

Trzywyrazowy ciąg \((2m - 5, 4, 9)\) jest arytmetyczny. Wyznacz wartość \(m\) oraz różnicę tego ciągu.

**Rozwiązanie.** Warunek trzech kolejnych wyrazów: \(2 \cdot 4 = (2m - 5) + 9\). Stąd:

$$8 = 2m + 4$$

$$2m = 4$$

$$m = 2$$

Sprawdźmy, jakie to wyrazy: \(2m - 5 = 2 \cdot 2 - 5 = -1\). Czyli ciąg to \((-1, 4, 9)\). Różnica:

$$r = 4 - (-1) = 5$$

Sprawdzenie: \(9 - 4 = 5\). Faktycznie różnica jest stała. Odpowiedź: \(m = 2\), \(r = 5\).

## Zadanie 6 - klasyk "liczby 7, a, 49" (matura sierpień 2013)

Liczby \(7, a, 49\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy \(a\) jest równe...

**Rozwiązanie.** Warunek trzech kolejnych wyrazów daje:

$$a = \frac{7 + 49}{2} = \frac{56}{2} = 28$$

Odpowiedź: \(28\).

Pułapka: ten sam zestaw liczb tworzy ciąg geometryczny dla \(a = \sqrt{7 \cdot 49} = 7\sqrt{7}\), bo dla ciągu geometrycznego środkowy wyraz to średnia geometryczna skrajnych. CKE czasem wstawia oba w tym samym arkuszu i sprawdza, czy umiesz odróżnić. Średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego, średnia geometryczna dla ciągu geometrycznego. Łatwo zapamiętać po nazwie.

## Najczęstsze pułapki

Pierwsza pułapka i absolutny lider statystyk: pisanie wzoru \(a_n = a_1 + n \cdot r\) zamiast \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r\). To znaczy, że twój wynik jest przesunięty o jedno miejsce w prawo. Zawsze podstaw \(n = 1\) na kontrolę: musi wyjść \(a_1\), więc czynnik przy \(r\) powinien być zerem. Z \((1 - 1) = 0\) dostajesz \(0\). Z \(1 \cdot r = r\) dostajesz \(a_1 + r = a_2\). Jeśli twój wzór daje \(a_2\) dla \(n = 1\), poprawiaj minus jeden.

Druga pułapka: mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym. Ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę między sąsiadami. Ciąg geometryczny ma stały iloraz. W zadaniu o trzech kolejnych liczbach średnia arytmetyczna sprawdza arytmetyczność, średnia geometryczna sprawdza geometryczność. Jeśli treść mówi "ciąg arytmetyczny", używasz \(2y = x + z\). Po więcej wglądu w obie struktury zobacz nasz post [ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność, zadania otwarte](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte).

Trzecia pułapka: zapominanie o znaku \(r\). Ciąg malejący ma ujemną różnicę. W zadaniach typu "oblicz \(a_{20}\) w ciągu malejącym" odpowiedź często jest bardzo ujemna. Sprawdzaj kontekst: jeśli pierwszy wyraz jest dodatni i odpowiedzi są typu \(-57\) (jak w zadaniu 2 powyżej), wszystko gra z malejącym ciągiem.

Czwarta pułapka: mylenie wzoru na \(a_n\) ze wzorem na sumę \(S_n\). \(a_n\) to wartość konkretnego wyrazu. \(S_n\) to suma \(n\) początkowych wyrazów. Dwa zupełnie różne wzory, choć oba mają w środku \(n\) i \(r\). Po szczegóły zerknij do osobnego poradnika [jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego).

Piąta pułapka: rozwiązywanie układu dwóch równań "na siłę", kiedy wystarczy jeden szybki wzór. Jeśli masz \(a_n\) i \(a_m\), używaj gotowego wzoru \(r = \frac{a_n - a_m}{n - m}\). Nie buduj układu z dwoma niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) - to o jedno równanie więcej niż trzeba.

## Sprytne skróty

Kilka tricków, które przyspieszają rozwiązywanie:

- Jeśli treść mówi "ciąg \(a_n = pn + q\)", to to jest automatycznie ciąg arytmetyczny o różnicy \(r = p\) i pierwszym wyrazie \(a_1 = p + q\). Wzór \(a_n = pn + q\) to po prostu liniowa funkcja \(n\), a różnica między kolejnymi wyrazami to współczynnik kierunkowy \(p\).
- W ciągu arytmetycznym suma symetrycznie położonych wyrazów względem środka jest stała: \(a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \ldots\). Z tego wynika klasyczny wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów.
- Średnia arytmetyczna \(n\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego to po prostu środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby wyrazów) albo średnia dwóch środkowych (dla parzystej liczby). Bardzo przydatne w zadaniach "oblicz średnią pierwszych dziesięciu wyrazów".
- Jeśli w warunku zadania pojawia się wyraz typu \(a_n + a_{n+1} + a_{n+2}\), zauważ że to \(3 a_{n+1}\) - środkowy wyraz mnożony przez liczbę składników. Klasyczna technika w zadaniach typu "\(a_3 + a_4 + a_5 = 15\), znajdź \(a_4\)" (matura sierpień 2018), gdzie odpowiedź to po prostu \(a_4 = 5\).

## Trening na koniec - zestaw zadań

Pełny trening na ciągach arytmetycznych ze znalezionym \(r\) i \(a_n\):

- Zadanie 7 - [warunek \(a_3 + a_4 + a_5 = 15\) i wyznaczenie \(a_4\)](/task/matura-sierpie-2018-13)
- Zadanie 8 - [\(a_{30} = 4\), \(a_{35} = 7\), znajdź \(a_1\)](/task/matura-pr-bna-stycze-2014-09)
- Zadanie 9 - [pierwsze dwa wyrazy \(2\) i \(5\), wniosek o n-tym wyrazie](/task/matura-sierpie-2020-18)
- Zadanie 10 - [równość \(a_{21} + a_{24} + a_{27} + a_{30} = 100\) i znalezienie wyrazu \(a_{25}\)](/task/matura-sierpie-2017-31)
- Zadanie 11 - [dwucyfrowe liczby podzielne przez 7 jako ciąg arytmetyczny](/task/matura-sierpie-2015-14)
- Zadanie 12 - [parametr w trójkę \((2x+1, 6, 16x+2)\)](/task/matura-sierpie-2011-27)

Wszystkie zadania z ciągów masz na stronie [tematu Ciągi](/topics/ciagi). Dla pełniejszej powtórki polecam [najtrudniejsze zadania maturalne z matematyki - ranking](/najtrudniejsze-zadania-maturalne-matematyka-ranking), gdzie omawiamy też zadania kombinujące ciąg arytmetyczny z geometrycznym.

## Checklist - co musisz umieć przed maturą

Ciąg arytmetyczny opanowany, jeśli potrafisz bez wahania:

- zapisać wzór \(a_n = a_1 + (n - 1) r\) z palca i bez zaglądania do tablic,
- wyprowadzić ten wzór z definicji \(a_{n+1} - a_n = r\),
- wyliczyć różnicę \(r\) z dwóch sąsiednich wyrazów (\(r = a_{n+1} - a_n\)) i z dwóch dowolnych (\(r = \frac{a_n - a_m}{n - m}\)),
- zastosować warunek trzech kolejnych wyrazów \(2 y = x + z\) w zadaniach z parametrem,
- znaleźć numer wyrazu, dla którego ciąg osiąga zadaną wartość (równanie liniowe ze zmienną \(n\)),
- rozróżnić ciąg arytmetyczny od geometrycznego po treści zadania (różnica vs iloraz, średnia arytmetyczna vs geometryczna),
- sprawdzić wynik przez wypisanie pierwszych kilku wyrazów ciągu,
- nie pomylić \(a_n\) z \(S_n\) (n-ty wyraz to nie suma).

Wzór jeden, technik kilka, a punktów z każdego arkusza CKE - przynajmniej jeden, czasem trzy. Tu nie ma drogi okrężnej. Naucz się tego raz, a wracaj do tego tylko po to, żeby przed maturą sprawdzić, czy nadal pamiętasz minus jeden przy \(r\).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)