--- route: /jak-obliczyc-dlugosc-boku-trojkata-wzory-metody title: Jak obliczyć długość boku trójkąta - 7 metod i zadania maturalne krok po kroku description: Jak obliczyć długość boku trójkąta: Pitagoras, cosinusy, sinusy, podobieństwo, współrzędne. 7 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku z rysunkami. type: task_solution category: Planimetria tags: długość boku trójkąta, jak obliczyć bok trójkąta, twierdzenie pitagorasa bok, twierdzenie cosinusów, twierdzenie sinusów, podobieństwo trójkątów bok, trójkąt prostokątny bok, planimetria matura, trójkąt ze współrzędnych, przeciwprostokątna wzór published: 2026-04-27T08:11:53.752+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:19.693104+00:00 --- # Jak obliczyć długość boku trójkąta - 7 metod i zadania maturalne krok po kroku "Jak obliczyć długość boku trójkąta" to jedno z najczęstszych pytań uczniów przed maturą. Odpowiedź zależy od tego, co masz dane: dwa boki i kąt, jeden bok i dwa kąty, współrzędne wierzchołków czy tylko informację o podobieństwie. W tym przewodniku pokażę Ci **siedem metod** wraz z przykładami, żebyś zawsze wiedział, po który wzór sięgnąć. Każda metoda ma swoje "kiedy stosować" - naucz się rozpoznawać schemat w zadaniu, a liczenie będzie mechaniczne. ## Metoda 1 - twierdzenie Pitagorasa (tylko trójkąt prostokątny) **Kiedy używać:** kiedy widzisz trójkąt prostokątny i masz dwa z trzech boków. Wzór: $$c^2 = a^2 + b^2$$ gdzie \(c\) to **przeciwprostokątna** (bok naprzeciw kąta prostego), a \(a, b\) - przyprostokątne. **Przykład:** w trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 i 12. Oblicz przeciwprostokątną. $$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ To klasyczna trójka pitagorejska (5, 12, 13). Znajomość trójek (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) daje Ci przewagę na egzaminie - rozpoznajesz wynik bez liczenia. **Jeśli szukasz przyprostokątnej,** przekształcasz wzór: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Pamiętaj, że pod pierwiastkiem musi być liczba dodatnia (w przeciwnym razie taki trójkąt nie istnieje - to sprawdzian sensowności). Więcej o Pitagorasie znajdziesz w [pełnym artykule o twierdzeniu Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania). ## Metoda 2 - twierdzenie cosinusów (dowolny trójkąt) **Kiedy używać:** kiedy masz **dwa boki i kąt między nimi** (zasada SAS) albo kiedy masz wszystkie trzy boki i szukasz kąta. Wzór: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$ gdzie \(\gamma\) to kąt między bokami \(a\) i \(b\), a \(c\) to bok naprzeciw tego kąta. **Przykład:** w trójkącie \(ABC\) mamy \(a = 7\), \(b = 8\), kąt \(\gamma = 60°\). Oblicz bok \(c\). $$c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60°$$ $$c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2}$$ $$c^2 = 113 - 56 = 57$$ $$c = \sqrt{57}$$ Jeśli kąt \(\gamma = 90°\), \(\cos 90° = 0\) i wzór upraszcza się do \(c^2 = a^2 + b^2\) - czyli Pitagorasa. **Twierdzenie cosinusów to uogólniona wersja Pitagorasa.** ## Metoda 3 - twierdzenie sinusów (dowolny trójkąt) **Kiedy używać:** kiedy masz **bok i dwa kąty** (zasada ASA) albo **dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich** (zasada SSA). Wzór: $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$ gdzie \(\alpha, \beta, \gamma\) to kąty naprzeciw boków \(a, b, c\), a \(R\) to promień okręgu opisanego. **Przykład:** w trójkącie \(\alpha = 30°\), \(\beta = 45°\), \(a = 10\). Oblicz \(b\). $$\frac{10}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$$ $$\frac{10}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$20 = \frac{2b}{\sqrt{2}}$$ $$b = 10\sqrt{2}$$ Twierdzenie sinusów i cosinusów omawiam szerzej w [osobnym artykule](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac). ## Metoda 4 - podobieństwo trójkątów (skala) **Kiedy używać:** kiedy w zadaniu są dwa podobne trójkąty i szukasz boku jednego z nich. Kluczowa własność: w trójkątach podobnych stosunki odpowiadających sobie boków są równe: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k$$ gdzie \(k\) to **skala podobieństwa**. **Przykład:** trójkąt \(ABC\) ma boki 3, 4, 5. Trójkąt \(A'B'C'\) jest do niego podobny i jego najkrótszy bok ma długość 9. Oblicz pozostałe boki. Skala \(k = 9 / 3 = 3\). Pozostałe boki to \(4 \cdot 3 = 12\) oraz \(5 \cdot 3 = 15\). Sprawdzenie: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) - trójkąt prostokątny, wszystko się zgadza. Podobieństwo trójkątów jest szczególnie wygodne w [zadaniach z trójkątami prostokątnymi](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania), gdzie wysokość dzieli trójkąt na dwa podobne. ## Metoda 5 - trójkąty szczególne (30-60-90 i 45-45-90) **Kiedy używać:** kiedy znasz jeden bok i wiesz, że trójkąt ma kąty 30-60-90 albo 45-45-90. **Trójkąt 45-45-90** (równoramienny prostokątny): - przyprostokątne: \(a\), - przeciwprostokątna: \(a\sqrt{2}\). **Trójkąt 30-60-90:** - krótsza przyprostokątna (naprzeciw 30°): \(a\), - dłuższa przyprostokątna (naprzeciw 60°): \(a\sqrt{3}\), - przeciwprostokątna (naprzeciw 90°): \(2a\). **Przykład:** w trójkącie 30-60-90 przeciwprostokątna ma długość 10. Oblicz pozostałe boki. Krótsza przyprostokątna: \(10 / 2 = 5\). Dłuższa: \(5\sqrt{3}\). Te trójkąty wracają na maturze co roku. [Zapisz sobie te zależności w głowie](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura), żebyś mógł je wyciągnąć jak tabliczkę mnożenia. ## Metoda 6 - ze współrzędnych wierzchołków **Kiedy używać:** kiedy masz punkty \(A, B, C\) w układzie współrzędnych i szukasz długości boków. Wzór na odległość między dwoma punktami \(P_1(x_1, y_1)\) i \(P_2(x_2, y_2)\): $$|P_1 P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ **Przykład:** \(A(1, 2)\), \(B(4, 6)\), \(C(7, 2)\). Oblicz długości boków trójkąta \(ABC\). $$|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|BC| = \sqrt{(7-4)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|AC| = \sqrt{(7-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{36} = 6$$ Trójkąt równoramienny (\(|AB| = |BC|\)). Gdy piszesz wzory, [wzór na odległość](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania) pojawia się niemal wszędzie w geometrii analitycznej. ## Metoda 7 - ze wzoru na pole **Kiedy używać:** kiedy masz pole trójkąta i dwa boki albo dwa kąty, a szukasz trzeciego elementu. Najczęstszy wzór (pole przez dwa boki i kąt): $$P = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$$ Stąd: $$a = \frac{2P}{b \sin \gamma}$$ **Przykład:** pole trójkąta wynosi 12, jeden bok ma długość 6, a kąt między bokami 30°. Oblicz drugi bok. $$12 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot b \cdot \frac{1}{2} = \frac{3b}{2}$$ $$b = 8$$ Masz też **wzór Herona** dla pola trójkąta po obwodzie - przydaje się, gdy znasz wszystkie trzy boki. Kompletną listę wzorów masz w [przewodniku po polu trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura). ## Zadanie 1 - kombinacja metod W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt prosty jest przy \(C\). Wysokość \(h\) opuszczona na przeciwprostokątną z wierzchołka \(C\) dzieli ją na odcinki 4 i 9. Oblicz długości przyprostokątnych. **Krok 1.** Przeciwprostokątna: \(c = 4 + 9 = 13\). **Krok 2.** Z [podobieństwa trójkątów](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania) powstałych po narysowaniu wysokości: $$h^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies h = 6$$ **Krok 3.** Pitagoras w małym trójkącie (z przyprostokątną 4 i wysokością 6): $$a = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$ I w drugim: $$b = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$$ **Sprawdzenie:** \(a^2 + b^2 = 52 + 117 = 169 = 13^2\). Zgadza się. ## Zadanie 2 - trójkąt w sześcianie Sześcian ma krawędź 4. Oblicz długość odcinka łączącego dwa nieprzeciwległe wierzchołki (przekątna ściany i przekątna przestrzenna). **Przekątna ściany** (kwadratu o boku 4): \(4\sqrt{2}\). **Przekątna przestrzenna** (sześcianu o krawędzi 4): \(4\sqrt{3}\). Oba wychodzą z Pitagorasa zastosowanego raz (ściana) i dwukrotnie (przestrzeń): \(\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = 4\sqrt{3}\). ## Zadanie 3 - twierdzenie cosinusów z matury W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 5\), \(b = 8\), kąt \(\gamma = 120°\). Oblicz bok \(c\). $$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120°$$ $$c^2 = 89 - 80 \cdot (-\frac{1}{2}) = 89 + 40 = 129$$ $$c = \sqrt{129}$$ Pamiętaj: \(\cos 120° = -\frac{1}{2}\). Minus zmienia plus, więc \(c\) wychodzi dłuższy niż pierwiastek z \(a^2 + b^2\). Sprawdzenie zdrowego rozsądku: przy kącie rozwartym bok naprzeciw jest najdłuższy - tu \(\sqrt{129} \approx 11{,}36\), więc naprawdę najdłuższy. ## Zadanie 4 - twierdzenie sinusów z matury W trójkącie \(ABC\) mamy \(\alpha = 60°\), \(\beta = 75°\), \(c = 10\). Oblicz \(a\). Najpierw kąt \(\gamma\): \(\gamma = 180° - 60° - 75° = 45°\). $$\frac{a}{\sin 60°} = \frac{10}{\sin 45°}$$ $$a = \frac{10 \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6}$$ ## Zadanie 5 - współrzędne Oblicz długość wszystkich boków trójkąta \(ABC\) o wierzchołkach \(A(-1, 2)\), \(B(3, 5)\), \(C(6, 1)\). $$|AB| = \sqrt{16 + 9} = 5$$ $$|BC| = \sqrt{9 + 16} = 5$$ $$|AC| = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ Trójkąt jest równoramienny (\(|AB| = |BC|\)) i dodatkowo \(|AB|^2 + |BC|^2 = 25 + 25 = 50 = |AC|^2\) - kąt przy \(B\) jest prosty. Mamy trójkąt 45-45-90. ## Zadanie 6 - zadanie z treścią Drabina długości 5 m jest oparta o ścianę tak, że jej dolny koniec znajduje się 3 m od ściany. Na jakiej wysokości drabina opiera się o ścianę? Trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna 5, jedna przyprostokątna 3. Druga: $$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$$ To klasyczna trójka (3, 4, 5). ## Zadanie 7 - zadanie wymagające kombinacji W trójkącie równoramiennym \(ABC\) \(|AB| = |AC| = 10\), kąt przy wierzchołku \(A\) wynosi 120°. Oblicz długość podstawy \(BC\). Twierdzenie cosinusów dla boku \(BC\): $$|BC|^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 120°$$ $$|BC|^2 = 200 - 200 \cdot (-\frac{1}{2}) = 200 + 100 = 300$$ $$|BC| = 10\sqrt{3}$$ Alternatywa: w trójkącie równoramiennym wysokość z \(A\) dzieli go na dwa trójkąty 30-60-90 (bo kąty przy podstawie to 30°). Krótsza przyprostokątna (połowa podstawy) to \(10 \sin 60° = 5\sqrt{3}\), więc podstawa \(10\sqrt{3}\). Ten sam wynik, krótszą drogą. ## Decyzyjna tabelka - którą metodę wybrać | Co masz dane | Metoda | |---|---| | 2 przyprostokątne w trójkącie prostokątnym | Pitagoras | | 2 boki + kąt między nimi | Twierdzenie cosinusów | | Bok + 2 kąty | Twierdzenie sinusów | | Dwa trójkąty podobne | Skala podobieństwa | | Kąty 30-60-90 lub 45-45-90 | Gotowe zależności | | Współrzędne wierzchołków | Wzór na odległość punktów | | Pole + 2 boki | Wzór P = ½ab sin γ | Tabelkę warto przepisać na osobną kartkę i mieć przed sobą przy rozwiązywaniu zadań. ## Checklista - co musisz umieć - Zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (w obie strony). - Zastosować twierdzenie cosinusów dla dowolnego trójkąta. - Zastosować twierdzenie sinusów gdy masz bok i dwa kąty. - Użyć skali podobieństwa do obliczania boków. - Pamiętać zależności w trójkątach 30-60-90 i 45-45-90. - Obliczyć długość boku ze współrzędnych wierzchołków. - Rozpoznać trójki pitagorejskie: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25). Jeśli chcesz jeszcze więcej ćwiczeń, sprawdź [zadania z planimetrii](/topics/planimetria) i [przewodnik po trójkątach](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne). Powodzenia na maturze. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)