---
route: /ile-rozwiazan-ma-rownanie-z-parametrem-matura-rozszerzona
title: Ile rozwiązań ma równanie z parametrem - równanie iloczynowe i parametr przy x kwadrat (matura rozszerzona)
description: Kiedy równanie z parametrem ma dokładnie dwa lub trzy rozwiązania: a(m) = 0, znak delty i pokrywanie się pierwiastków. 6 zadań z matury rozszerzonej.
type: task_solution
category: Równania z parametrem
tags: równanie z parametrem liczba rozwiązań, równanie z parametrem dokładnie dwa rozwiązania, równanie iloczynowe z parametrem, równanie iloczynowe z parametrem dokładnie trzy rozwiązania, parametr przy x kwadrat, delta z parametrem nierówność, równanie liniowe z parametrem, równanie kwadratowe z parametrem, zadania z parametrem matura rozszerzona, matura rozszerzona równania z parametrem
published: 2026-09-20T07:15:00+00:00
updated: 2026-09-20T10:28:38.963261+00:00
---
# Ile rozwiązań ma równanie z parametrem - równanie iloczynowe i parametr przy x kwadrat (matura rozszerzona)
Liczba rozwiązań równania z parametrem zależy od trzech rzeczy, sprawdzanych w tej kolejności: czy współczynnik przy \(x^2\) zeruje się dla jakiegoś \(m\) (równanie przestaje być kwadratowe), jaki znak ma wyróżnik \(\Delta(m)\) i, w równaniu iloczynowym, czy pierwiastki poszczególnych czynników się pokrywają. Równanie \(a(m)x^2 + b(m)x + c(m) = 0\) ma dokładnie dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy \(a(m) \neq 0\) i \(\Delta(m) > 0\). Równanie \((x - p)(ax^2 + bx + c) = 0\) ma dokładnie trzy rozwiązania, gdy czynnik kwadratowy ma dwa różne pierwiastki i żaden z nich nie jest równy \(p\), a dokładnie dwa, gdy jeden z tych pierwiastków pokrywa się z \(p\) albo gdy czynnik kwadratowy ma pierwiastek podwójny różny od \(p\).

Na maturze rozszerzonej to zwykle zadanie otwarte za 4 do 6 punktów, czasem krótkie zadanie zamknięte, i w każdym arkuszu wygląda trochę inaczej. W [czerwcu 2021](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2021) (zadanie 12, 5 pkt) CKE pytało o dokładnie dwa rozwiązania równania \((x-3)(x^2+(m-1)x-6m^2+2m)=0\), w czerwcu 2022 (zadanie 13, 6 pkt) o trzy różne rozwiązania równania z czynnikiem \((x-4)\), w czerwcu 2023 (zadanie 10 w arkuszu formuły 2023, 5 pkt) parametr stał przy \(x^2\) w równaniu \(mx^2-(m+1)x-2m+3=0\), a w arkuszu pokazowym z marca 2022 (zadanie 4, 5 pkt) parametr przy \(x^2\) siedział w środku iloczynu. Zanim dojdziesz do warunku dodatkowego, musisz ustalić, dla jakich \(m\) równanie w ogóle ma tyle rozwiązań, ile żąda polecenie. Ten wpis jest o tym etapie: o drzewie decyzyjnym dla równania kwadratowego z parametrem, o równaniu liniowym, które zostaje po wyzerowaniu \(a(m)\), i o równaniu iloczynowym, w którym pierwiastki potrafią się pokrywać. Warunki na pierwiastki (znaki, suma kwadratów, odległość) to dalszy ciąg, opisany we wpisach o [dyskusji funkcji kwadratowej z parametrem](/funkcja-kwadratowa-z-parametrem-dyskusja-zadania-matura) i o [wzorach Viete'a](/wzory-viete-matura-zastosowanie-zadania); tutaj pojawiają się tylko tam, gdzie wymaga ich konkretne zadanie z arkusza.

## Kiedy równanie kwadratowe z parametrem ma 0, 1 albo 2 rozwiązania

Równanie \(a(m)x^2 + b(m)x + c(m) = 0\) sprawdzasz w dwóch gałęziach. Jeśli \(a(m) = 0\), zostaje równanie liniowe \(b(m)x + c(m) = 0\) i liczysz jego rozwiązania osobno. Jeśli \(a(m) \neq 0\), o liczbie rozwiązań decyduje znak wyróżnika: \(\Delta  0\) dwa różne.

Całe drzewo decyzyjne w jednej tabeli:

| Przypadek | Równanie | Liczba rozwiązań |
|---|---|---|
| \(a(m) = 0\), \(b(m) \neq 0\) | liniowe | 1 |
| \(a(m) = 0\), \(b(m) = 0\), \(c(m) \neq 0\) | sprzeczne | 0 |
| \(a(m) = 0\), \(b(m) = 0\), \(c(m) = 0\) | tożsamość | każda liczba rzeczywista |
| \(a(m) \neq 0\), \(\Delta(m)  0\) | kwadratowe | 2 różne |

Polecenie „dokładnie dwa różne rozwiązania" wybiera z tej tabeli tylko ostatni wiersz. Warunek ma więc dwa człony i oba są obowiązkowe: \(a(m) \neq 0\) oraz \(\Delta(m) > 0\). Kto liczy samą deltę, dla równania \(mx^2 - (m+1)x - 2m + 3 = 0\) dostaje \(\Delta = (9m-1)(m-1)\) i pisze \(m  1\). W tym zbiorze siedzi jednak \(m = 0\), dla którego równanie to \(-x + 3 = 0\) z jednym rozwiązaniem. Poprawny zbiór po tym kroku to \(m \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)\).

Jeżeli współczynnik przy \(x^2\) jest liczbą (jak w równaniu \(x^2 - 3mx + 2m^2 + 1 = 0\) z czerwca 2017 albo \(x^2 + mx + m = 0\) z czerwca 2026), gałąź \(a(m) = 0\) odpada i od razu liczysz deltę. Zapisz to mimo wszystko jednym zdaniem: „współczynnik przy \(x^2\) jest równy 1, więc równanie jest kwadratowe dla każdego \(m\)". Egzaminator widzi wtedy, że przypadek rozpatrzyłeś, a nie przeoczyłeś. Sam wzór na deltę i jego typowe błędy rachunkowe masz osobno we wpisie o [delcie równania kwadratowego](/delta-rownanie-kwadratowe-wzor-obliczanie-matura).

## Ile rozwiązań ma równanie liniowe z parametrem

Równanie \(Ax = B\), w którym \(A\) i \(B\) zależą od \(m\), ma jedno rozwiązanie \(x = \frac{B}{A}\), gdy \(A \neq 0\); nie ma rozwiązań, gdy \(A = 0\) i \(B \neq 0\); każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem, gdy \(A = 0\) i \(B = 0\). Najpierw sprawdzasz, kiedy zeruje się \(A\), i dopiero dla tych wartości patrzysz na \(B\).

Ten schemat wraca w dwóch miejscach: jako samodzielne zadanie zamknięte (czerwiec 2019, zadanie 1) i jako gałąź \(a(m) = 0\) w równaniu kwadratowym. W drugim przypadku najczęstszy wynik to jedno rozwiązanie, więc dla polecenia „dokładnie dwa" ta gałąź zwykle odpada, ale musisz to napisać, nie założyć. Szersze omówienie równań i funkcji liniowych z \(m\) masz we wpisie o [funkcji liniowej z parametrem](/funkcja-liniowa-z-parametrem-zadania-matura), a to samo liczenie rozwiązań dla dwóch równań naraz we wpisie o [układzie równań z parametrem](/uklad-rownan-z-parametrem-liczba-rozwiazan).

## Równanie iloczynowe z parametrem: dokładnie dwa albo dokładnie trzy rozwiązania

Zbiór rozwiązań równania \((x - p)(ax^2 + bx + c) = 0\) to suma zbiorów rozwiązań obu czynników, więc \(p\) jest rozwiązaniem zawsze, a pozostałe rozwiązania pochodzą z czynnika kwadratowego. Liczysz jego pierwiastki, a potem sprawdzasz, czy któryś z nich jest równy \(p\): podstawiasz \(x = p\) do czynnika kwadratowego i rozwiązujesz otrzymane równanie względem \(m\).

Wszystkie możliwości dla \(a \neq 0\):

- **Dokładnie trzy rozwiązania:** \(\Delta > 0\) i \(ap^2 + bp + c \neq 0\).
- **Dokładnie dwa rozwiązania:** \(\Delta > 0\) i \(ap^2 + bp + c = 0\) (jeden pierwiastek czynnika pokrywa się z \(p\)) albo \(\Delta = 0\) i pierwiastek podwójny \(x_0 = -\frac{b}{2a}\) jest różny od \(p\).
- **Dokładnie jedno rozwiązanie:** \(\Delta  0\) to zwykła [nierówność kwadratowa](/jak-rozwiazac-nierownosc-kwadratowa-krok-po-kroku): liczysz miejsca zerowe, szkicujesz parabolę i odczytujesz przedział. Odpowiedź końcowa to część wspólna wszystkich warunków, zapisana jako zbiór, z wyrzuconymi pojedynczymi punktami.

Trzy nawyki, które porządkują ten etap:

1. Każdy warunek rozwiązuj osobno i zapisuj jego zbiór, na przykład \(W_1: m \neq 0\) oraz \(W_2: m \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)\).
2. Gdy \(\Delta(m)\) jest kwadratem, jak \((5m-1)^2\) w zadaniu z czerwca 2021, nierówność \(\Delta > 0\) oznacza po prostu \(m \neq \frac{1}{5}\); nie szkicuj paraboli na siłę.
3. Część wspólną rysuj na osi \(m\): przedziały jeden pod drugim, punkty wyłączone jako puste kółka. Zbiór \((-4-2\sqrt{6}, 0) \cup (0, \frac{1}{9})\) zapisany jako \((-4-2\sqrt{6}, \frac{1}{9})\) jest błędny, bo zawiera \(m = 0\).

## Wzory

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Pierwiastki równania kwadratowego:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad a \neq 0$$

Pierwiastek podwójny:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} \quad \text{dla} \quad \Delta = 0$$

Warunek dokładnie dwóch różnych rozwiązań:

$$a(m) \neq 0 \quad \text{i} \quad \Delta(m) > 0$$

Sprawdzenie znanego pierwiastka w czynniku:

$$a p^2 + b p + c = 0$$

Rozwiązanie równania liniowego:

$$Ax = B \quad \Rightarrow \quad x = \frac{B}{A} \quad \text{dla} \quad A \neq 0$$

Wzory Viete'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Sześć zadań poniżej idzie od najprostszego do najbogatszego: równanie liniowe, parametr przy \(x^2\), dwa równania iloczynowe, parametr przy \(x^2\) w środku iloczynu i czynnik trzeciego stopnia. Treści wszystkich zadań są dostępne za darmo na ich stronach w bazie, a rozwiązania zadań z poziomu rozszerzonego odblokowuje [pakiet Premium+](/payment/checkout).

## Przykład 1: Równanie liniowe, w którym każda liczba jest rozwiązaniem (matura rozszerzona czerwiec 2019, zadanie 1)

**Treść:** Parametr \(m\) dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania \((4 - m^2) \cdot x = m^2 - 3m + 2\) z niewiadomą \(x\). Wynika stąd, że

- A) \(m = -2\)
- B) \(m = 1\)
- C) \(m = 2\)
- D) \(m = 4\)

**Krok 1: Warunek na tożsamość.** Równanie \(Ax = B\) spełnia każda liczba rzeczywista tylko wtedy, gdy \(A = 0\) i \(B = 0\), bo dopiero \(0 \cdot x = 0\) jest prawdą dla dowolnego \(x\). Tu \(A = 4 - m^2\) i \(B = m^2 - 3m + 2\).

**Krok 2: Zerowanie współczynnika przy niewiadomej.**

$$4 - m^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 2 \ \text{lub} \ m = -2$$

**Krok 3: Zerowanie prawej strony.**

$$m^2 - 3m + 2 = (m - 1)(m - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 1 \ \text{lub} \ m = 2$$

**Krok 4: Część wspólna.** Oba warunki naraz spełnia tylko \(m = 2\). Kontrola pozostałych opcji: dla \(m = -2\) równanie ma postać \(0 \cdot x = 12\) i jest sprzeczne, dla \(m = 1\) postać \(3x = 0\) z jednym rozwiązaniem \(x = 0\), dla \(m = 4\) postać \(-12x = 6\), też z jednym rozwiązaniem.

**Odpowiedź: C.** Zadanie za 1 punkt, ale dokładnie ten sam schemat wraca jako gałąź \(a(m) = 0\) w zadaniach otwartych, jak w przykładach 2 i 5.

## Przykład 2: Parametr przy x kwadrat i dokładnie dwa różne rozwiązania (matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 10)

**Treść:** Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(mx^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0\) ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0\), \(x_2 \neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}  0\) dla \(m \in (-\infty, \frac{1}{9}) \cup (1, \infty)\).

**Krok 3: Pierwiastki różne od zera.** Z wzorów Viete'a \(x_1 x_2 = \frac{3 - 2m}{m}\). Iloczyn jest różny od zera, gdy \(m \neq \frac{3}{2}\).

**Krok 4: Warunek na odwrotności kwadratów.** Sprowadzasz sumę do sumy i iloczynu pierwiastków:

$$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1 x_2)^2}$$

Podstawiasz \(x_1 + x_2 = \frac{m+1}{m}\) i \(x_1 x_2 = \frac{3-2m}{m}\); mianowniki \(m^2\) się skracają:

$$\frac{(m+1)^2 - 2m(3-2m)}{(3-2m)^2} = \frac{5m^2 - 4m + 1}{(3-2m)^2}  0\), więc czynnik ma dwa pierwiastki, z których jeden to 3, a drugi jest inny. Kontrola: dla \(m = \frac{3}{2}\) pierwiastki \(q\) to \(3\) i \(-\frac{7}{2}\), dla \(m = -\frac{2}{3}\) to \(3\) i \(-\frac{4}{3}\).

**Odpowiedź:** \(m \in \left\{-\frac{2}{3}, \frac{1}{5}, \frac{3}{2}\right\}\), czyli zbiór trzech liczb, nie przedział. Skrót do kontroli: skoro \(\sqrt{\Delta} = |5m - 1|\), pierwiastki \(q\) to \(2m\) i \(1 - 3m\), a „dokładnie dwa rozwiązania" oznacza \(2m = 1 - 3m\), \(2m = 3\) albo \(1 - 3m = 3\), czyli te same trzy wartości.

## Przykład 4: Równanie iloczynowe i trzy różne rozwiązania (matura rozszerzona czerwiec 2022, zadanie 13)

**Treść:** Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \((x-4)\left[x^2+(m-3)x+m^2-m-6\right]=0\) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) oraz \(x_3\), spełniające warunek \(x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 > x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 5m - 51\). Zadanie za 6 punktów.

**Krok 1: Warunek na trzy różne rozwiązania.** Jedno rozwiązanie to \(x = 4\). Czynnik \(q(x) = x^2 + (m-3)x + m^2 - m - 6\) musi mieć dwa różne pierwiastki (\(\Delta > 0\)) i żaden z nich nie może być równy 4 (\(q(4) \neq 0\)).

**Krok 2: Delta większa od zera.**

$$\Delta = (m-3)^2 - 4(m^2 - m - 6) = -3m^2 - 2m + 33$$

Nierówność \(-3m^2 - 2m + 33 > 0\) to po pomnożeniu przez \(-1\) nierówność \(3m^2 + 2m - 33  -m^2 - 4m + 21 + 16 - 5m - 51 \quad \Rightarrow \quad 5m^2 + 5m - 10 > 0$$

Po podzieleniu przez 5: \((m + 2)(m - 1) > 0\), czyli \(m \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)\).

**Krok 5: Część wspólna.** Przecięcie \((-\frac{11}{3}, 3)\) z \((-\infty, -2) \cup (1, \infty)\) to \((-\frac{11}{3}, -2) \cup (1, 3)\). Punkt \(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \approx -3{,}56\) leży w pierwszym przedziale i musi z niego wypaść; punkt \(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0{,}56\) nie należy do żadnego z nich.

**Odpowiedź:** \(m \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{-3-\sqrt{17}}{2}\right) \cup \left(\frac{-3-\sqrt{17}}{2}, -2\right) \cup (1, 3)\).

## Przykład 5: Parametr przy x kwadrat w środku iloczynu (matura rozszerzona pokazowa marzec 2022, zadanie 4)

**Treść:** Dane jest równanie \((x - 6) \cdot [(m - 2)x^2 - 4(m + 3)x + m + 1] = 0\) z niewiadomą \(x\) i parametrem \(m \in \mathbb{R}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku. Zadanie za 5 punktów.

**Krok 1: Przypadek m równe dwa.** Czynnik w nawiasie kwadratowym staje się liniowy: \(-20x + 3 = 0\), czyli \(x = \frac{3}{20}\). Równanie ma wtedy dwa rozwiązania (\(6\) i \(\frac{3}{20}\)), a nie trzy, więc \(m \neq 2\).

**Krok 2: Delta czynnika kwadratowego.**

$$\Delta = 16(m+3)^2 - 4(m-2)(m+1) = 12m^2 + 100m + 152 = 4(3m^2 + 25m + 38)$$

Trójmian \(3m^2 + 25m + 38\) ma pierwiastki \(m = \frac{-25 \pm 13}{6}\), czyli \(m = -\frac{19}{3}\) i \(m = -2\). Stąd \(\Delta > 0\) dla \(m \in (-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (-2, \infty)\).

**Krok 3: Ten sam znak.** Rozwiązanie \(x = 6\) jest dodatnie, więc oba pierwiastki czynnika kwadratowego też muszą być dodatnie: iloczyn i suma większe od zera. Z wzorów Viete'a:

$$x_1 x_2 = \frac{m+1}{m-2} > 0 \quad \Rightarrow \quad m \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$$

$$x_1 + x_2 = \frac{4(m+3)}{m-2} > 0 \quad \Rightarrow \quad m \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$$

Oba warunki naraz: \(m \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)\).

**Krok 4: Liczba 6 nie jest pierwiastkiem czynnika.**

$$q(6) = 36(m-2) - 24(m+3) + m + 1 = 13m - 143 = 13(m - 11)$$

Dla \(m = 11\) czynnik ma pierwiastek 6, który pokryłby się z rozwiązaniem pierwszego czynnika, więc \(m \neq 11\).

**Krok 5: Część wspólna.** Przecięcie warunku na deltę z warunkiem na znaki to \((-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (2, \infty)\). Po usunięciu \(m = 11\) zostaje odpowiedź z trzema przedziałami.

**Odpowiedź:** \(m \in \left(-\infty, -\frac{19}{3}\right) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)\).

## Przykład 6: Czynnik trzeciego stopnia i całkowite wartości parametru (matura rozszerzona maj 2014, zadanie 10)

**Treść:** Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru \(m\), dla których równanie \(\left(x^3 + 2x^2 + 2x + 1\right)\left[x^2 - (2m+1)x + m^2 + m\right] = 0\) ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. Zadanie za 5 punktów.

**Krok 1: Pierwiastki czynnika trzeciego stopnia.** Grupujesz: \(x^3 + 1 + 2x^2 + 2x = (x+1)(x^2 - x + 1) + 2x(x+1) = (x+1)(x^2 + x + 1)\). Trójmian \(x^2 + x + 1\) ma \(\Delta = -3  0\). To jedna z dwóch części. Druga to \(a(m) \neq 0\), a przy równaniu iloczynowym dochodzi trzecia: pierwiastki czynników nie mogą się pokrywać.

**Pułapka 3:** W równaniu iloczynowym „dokładnie dwa rozwiązania" ma dwie gałęzie: pierwiastek podwójny różny od \(p\) albo dwa pierwiastki, z których jeden jest równy \(p\). W zadaniu z czerwca 2021 pominięcie gałęzi \(\Delta = 0\) gubi \(m = \frac{1}{5}\), a pominięcie sprawdzenia \(q(3) = 0\) gubi \(m = \frac{3}{2}\) i \(m = -\frac{2}{3}\).

**Pułapka 4:** „Dwa rozwiązania" i „dwa różne rozwiązania" to nie to samo. Pierwiastek podwójny jest jednym rozwiązaniem równania, więc \(\Delta = 0\) nigdy nie daje dwóch różnych rozwiązań. Jeżeli polecenie mówi o dwóch pierwiastkach bez słowa „różne", przyjmij \(\Delta > 0\) i zapisz to założenie jednym zdaniem.

**Pułapka 5:** Znak przy mnożeniu nierówności z deltą. Nierówność \(-3m^2 - 2m + 33 > 0\) po pomnożeniu przez \(-1\) to \(3m^2 + 2m - 33  0\): nie mnożysz przez \(m - 2\), którego znaku nie znasz, tylko rozwiązujesz nierówność ilorazową jak iloczynową z wyłączonym \(m = 2\).

**Pułapka 6:** Odpowiedź zapisana jako jeden przedział, z połkniętymi punktami wyłączonymi. Zbiór \((-\infty, -\frac{19}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, \infty)\) ma trzy przedziały, bo \(m = 11\) daje pokrywające się pierwiastki. Zapis \((2, \infty)\) różni się od poprawnego w jednym punkcie i to wystarczy, żeby odpowiedź była błędna.

**Wskazówka:** Gdy delta czynnika jest pełnym kwadratem, jak \((5m-1)^2\), wypisz pierwiastki jawnie w zależności od \(m\) (tutaj \(2m\) i \(1 - 3m\)). Warunki na liczbę rozwiązań zamieniają się wtedy w proste równania liniowe względem \(m\) i widać każdą gałąź.

**Zapamiętaj:** Kolejność sprawdzania jest zawsze ta sama: najpierw \(a(m) = 0\) i równanie liniowe, potem \(a(m) \neq 0\) i znak \(\Delta(m)\), na końcu w równaniu iloczynowym podstawienie znanego pierwiastka do drugiego czynnika. Odpowiedź to część wspólna wszystkich warunków, zapisana jako zbiór.

## Co musisz umieć

- Rozpoznać, dla jakich m współczynnik przy x kwadrat się zeruje, i rozwiązać osobno równanie liniowe, które wtedy zostaje.
- Policzyć deltę jako funkcję m i rozwiązać nierówność kwadratową względem m.
- Zapisać warunek „dokładnie dwa różne rozwiązania" jako koniunkcję: współczynnik przy x kwadrat różny od zera i delta większa od zera.
- W równaniu iloczynowym podstawić znany pierwiastek do czynnika kwadratowego i wyznaczyć m, dla których pierwiastki się pokrywają.
- Rozpisać „dokładnie dwa" i „dokładnie trzy rozwiązania" równania iloczynowego na alternatywy warunków.
- Rozłożyć czynnik trzeciego stopnia metodą grupowania i sprawdzić, ile z jego pierwiastków jest rzeczywistych.
- Wyznaczyć część wspólną kilku zbiorów na osi m i zapisać odpowiedź z wyłączonymi punktami.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z działu, których nie ma wyżej: parametr przy \(x^2\) w postaci \((3-m)\), \((2-m)\), \((m+1)\), \(m^2\) i ułamka zależnego od \(m\), plus bliźniacze zadanie z czerwca 2023 z arkusza formuły 2015. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz na stronie [Równania z parametrem](/topics/rownania-z-parametrem), a plan całej powtórki na [stronie matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona) i we wpisie o [wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z równań z parametrem (/losuj)

## Najczęstsze pytania o liczbę rozwiązań równania z parametrem

### Kiedy równanie kwadratowe z parametrem ma dokładnie jedno rozwiązanie?

W dwóch sytuacjach: gdy \(a(m) \neq 0\) i \(\Delta(m) = 0\) (pierwiastek podwójny) albo gdy \(a(m) = 0\) i równanie liniowe, które zostaje, ma niezerowy współczynnik przy \(x\). Obie sytuacje sprawdzasz osobno i sumujesz wyniki, bo polecenie „dokładnie jedno rozwiązanie" nie mówi, którą z nich ma na myśli.

### Dlaczego „dokładnie dwa różne rozwiązania" wymaga współczynnika przy x kwadrat różnego od zera?

Bo przy \(a(m) = 0\) równanie nie jest kwadratowe i nie ma delty, o którą można by pytać: zostaje równanie liniowe z co najwyżej jednym rozwiązaniem albo tożsamość spełniona przez każdą liczbę. Nierówność \(\Delta(m) > 0\) policzona formalnie dla takiego \(m\) może wyjść prawdziwa, ale nie opisuje już liczby rozwiązań.

### Jak sprawdzić, czy znany pierwiastek jest też pierwiastkiem czynnika kwadratowego?

Podstaw ten pierwiastek za \(x\) do czynnika kwadratowego i rozwiąż otrzymane równanie względem \(m\). Wartości \(m\), które wyjdą, to dokładnie te, dla których pierwiastki obu czynników się pokrywają i równanie iloczynowe traci jedno rozwiązanie. W zadaniu z czerwca 2021 podstawienie \(x = 3\) dało \(6m^2 - 5m - 6 = 0\), czyli \(m = \frac{3}{2}\) lub \(m = -\frac{2}{3}\).

### Kiedy równanie iloczynowe z parametrem ma dokładnie trzy rozwiązania?

Gdy czynnik liniowy daje jedno rozwiązanie \(p\), czynnik kwadratowy ma dwa różne pierwiastki (\(a \neq 0\) i \(\Delta > 0\)) i żaden z nich nie jest równy \(p\). Wszystkie trzy warunki zapisujesz osobno, a odpowiedź to ich część wspólna, zwykle przedział z wyrzuconymi jednym lub dwoma punktami.

### Co zrobić, gdy delta z parametrem jest pełnym kwadratem?

Wtedy \(\Delta(m) \ge 0\) dla każdego \(m\) i warunek \(\Delta > 0\) sprowadza się do wykluczenia miejsca zerowego tego kwadratu. Dodatkowo \(\sqrt{\Delta}\) jest wartością bezwzględną wyrażenia liniowego, więc pierwiastki dają się zapisać jawnie jako funkcje \(m\).

### Czy równanie liniowe z parametrem trzeba rozpatrywać przez przypadki?

Tak. Równanie \(Ax = B\) dzielisz przez \(A\) tylko wtedy, gdy \(A \neq 0\). Dla wartości \(m\), przy których \(A = 0\), sprawdzasz osobno, czy \(B\) też jest zerem (każda liczba jest rozwiązaniem), czy nie (równanie sprzeczne). W zadaniu z czerwca 2019 właśnie to rozróżnienie wskazywało \(m = 2\).

### Jak zapisać odpowiedź w zadaniu z parametrem?

Jako zbiór wartości \(m\): przedział, sumę przedziałów albo zbiór skończony, z jawnie wyłączonymi punktami, dla których któryś warunek nie zachodzi. Zapis \(m \in (2, 11) \cup (11, \infty)\) mówi więcej niż \(m > 2\), bo pokazuje, że \(m = 11\) został sprawdzony i odrzucony.