--- route: /ile-krawedzi-scian-wierzcholkow-ma-graniastoslup-ostroslup-matura title: Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup i ostrosłup - wzory i zadania maturalne description: Graniastosłup n-kątny ma 3n krawędzi, 2n wierzchołków i n + 2 ściany, ostrosłup 2n krawędzi. Wzory, tabela i 6 zadań z matury krok po kroku. type: task_solution category: Stereometria tags: ile krawędzi ma graniastosłup, ile krawędzi ma ostrosłup, liczba wierzchołków ostrosłupa, liczba ścian graniastosłupa, krawędzie ściany wierzchołki bryły, wzór Eulera wielościany, ostrosłup prawidłowy liczba krawędzi, graniastosłup zadania maturalne, stereometria matura zadania zamknięte, ile ścian ma sześcian published: 2026-09-15T07:18:26.422+00:00 updated: 2026-09-15T07:20:04.672556+00:00 --- # Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup i ostrosłup - wzory i zadania maturalne Graniastosłup, którego podstawą jest \(n\)-kąt, ma \(2n\) wierzchołków, \(3n\) krawędzi i \(n + 2\) ściany. Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków, \(2n\) krawędzi i \(n + 1\) ścian. Na maturze wystarczy zamienić daną z zadania na równanie z \(n\), wyznaczyć \(n\) i podstawić do wzoru na szukaną wielkość. Zadanie o liczbie krawędzi, ścian albo wierzchołków to jeden z najszybszych punktów w stereometrii: bez rysunku, bez twierdzenia Pitagorasa, bez trygonometrii. W arkuszach CKE wracało wiele razy, między innymi w maju 2010, w maju 2013, w sierpniu 2013, w maju 2014, w sierpniu 2016, w sierpniu 2017, w czerwcu 2018 i w sierpniu 2020, a w nowej formule w [arkuszu z czerwca 2024](/exams/matura-czerwiec-2024) i w [arkuszu z sierpnia 2024](/exams/matura-sierpien-2024). Mimo to uczniowie tracą tu punkty, bo mylą wierzchołki z krawędziami albo wszystkie ściany ze ścianami bocznymi. W tym wpisie wyprowadzamy wszystkie sześć wzorów z rysunku, zbieramy je w tabeli i rozwiązujemy krok po kroku sześć zadań z matury. ## Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma graniastosłup Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(2n\) wierzchołków, \(3n\) krawędzi i \(n + 2\) ściany, z czego \(n\) to ściany boczne, a \(2\) to podstawy. Wszystkie trzy liczby zależą wyłącznie od liczby boków podstawy, więc graniastosłup prosty, pochyły i prawidłowy o tej samej podstawie mają je identyczne. Skąd te wzory? Graniastosłup to dwie jednakowe podstawy połączone ścianami bocznymi. Policz osobno każdy element: - **Wierzchołki:** każda podstawa ma \(n\) wierzchołków, a podstawy są dwie, więc \(W = 2n\). - **Krawędzie:** \(n\) krawędzi dolnej podstawy, \(n\) krawędzi górnej podstawy i \(n\) krawędzi bocznych łączących odpowiadające sobie wierzchołki, razem \(K = 3n\). - **Ściany:** każdy bok podstawy wyznacza jedną ścianę boczną (równoległobok, a w graniastosłupie prostym prostokąt), czyli \(n\) ścian bocznych, do tego dwie podstawy, razem \(S = n + 2\). Sprawdź to na sześcianie, czyli graniastosłupie o podstawie kwadratu (\(n = 4\)): \(8\) wierzchołków, \(12\) krawędzi, \(6\) ścian. Zgadza się z tym, co widzisz na kostce do gry. Z tych wzorów wynika test, który rozstrzyga zadanie zamknięte w kilka sekund: **liczba krawędzi graniastosłupa zawsze dzieli się przez 3**, a liczba jego wierzchołków jest zawsze parzysta. Graniastosłup z \(20\) krawędziami nie istnieje, bo \(20\) nie jest wielokrotnością \(3\). ## Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków, \(2n\) krawędzi i \(n + 1\) ścian, z czego \(n\) to ściany boczne, a jedna to podstawa. Liczba wierzchołków ostrosłupa jest zawsze równa liczbie jego ścian, a liczba krawędzi jest zawsze parzysta. Ostrosłup ma jedną podstawę i jeden wierzchołek poza nią (wierzchołek ostrosłupa), do którego zbiegają się wszystkie krawędzie boczne: - **Wierzchołki:** \(n\) wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek ostrosłupa, razem \(W = n + 1\). - **Krawędzie:** \(n\) krawędzi podstawy i \(n\) krawędzi bocznych (od każdego wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa), razem \(K = 2n\). - **Ściany:** \(n\) ścian bocznych, każda jest trójkątem, i jedna podstawa, razem \(S = n + 1\). Najmniejszy ostrosłup to czworościan, czyli ostrosłup o podstawie trójkąta (\(n = 3\)): \(4\) wierzchołki, \(6\) krawędzi, \(4\) ściany. Ostrosłup prawidłowy czworokątny, ten z typowych zadań o [objętości ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni), ma \(5\) wierzchołków, \(8\) krawędzi i \(5\) ścian. ## Wzory Wierzchołki graniastosłupa n-kątnego: $$W = 2n$$ Krawędzie graniastosłupa n-kątnego: $$K = 3n$$ Ściany graniastosłupa n-kątnego: $$S = n + 2$$ Wierzchołki ostrosłupa n-kątnego: $$W = n + 1$$ Krawędzie ostrosłupa n-kątnego: $$K = 2n$$ Ściany ostrosłupa n-kątnego: $$S = n + 1$$ Wzór Eulera: $$W - K + S = 2$$ Wzór Eulera działa dla każdego graniastosłupa i każdego ostrosłupa, więc służy do kontroli wyniku. Dla graniastosłupa: \(2n - 3n + (n + 2) = 2\). Dla ostrosłupa: \((n + 1) - 2n + (n + 1) = 2\). Jeśli twoje trzy liczby nie spełniają tej równości, gdzieś jest błąd rachunkowy. ## Tabela dla najczęstszych brył Liczba \(n\) to liczba boków podstawy. Nazwy wielokątów i ich własności znajdziesz we wpisie o [wielokątach foremnych](/wielokat-foremny-katy-przekatne-wzory-zadania-matura). | podstawa | graniastosłup: W, K, S | ostrosłup: W, K, S | |---|---|---| | trójkąt (n = 3) | 6, 9, 5 | 4, 6, 4 | | czworokąt (n = 4) | 8, 12, 6 | 5, 8, 5 | | pięciokąt (n = 5) | 10, 15, 7 | 6, 10, 6 | | sześciokąt (n = 6) | 12, 18, 8 | 7, 12, 7 | | ośmiokąt (n = 8) | 16, 24, 10 | 9, 16, 9 | | dziesięciokąt (n = 10) | 20, 30, 12 | 11, 20, 11 | Tabeli nie wkuwaj. Każdy wiersz odtworzysz w kilka sekund z trzech wzorów, a liczby w zadaniach bywają daleko poza tabelą (w arkuszu z czerwca 2024 ostrosłup ma \(2024\) ściany boczne). ## Jak rozwiązać zadanie o liczbie krawędzi w trzech krokach Każde takie zadanie rozwiązuje się tą samą metodą: ustal, czy bryła to graniastosłup, czy ostrosłup, zapisz daną z treści jako równanie z niewiadomą \(n\) (liczbą boków podstawy), a potem podstaw wyliczone \(n\) do wzoru na wielkość, o którą pyta zadanie. Na koniec sprawdź, czy \(n\) jest liczbą naturalną co najmniej \(3\). Najczęstsze sformułowania i równania, które z nich powstają: - "Graniastosłup ma 14 wierzchołków": \(2n = 14\). - "Ostrosłup ma 12 ścian": \(n + 1 = 12\). - "Ostrosłup ma 2024 ściany boczne": \(n = 2024\), bez żadnego rachunku. - "Suma liczby krawędzi i wierzchołków graniastosłupa jest równa 15": \(3n + 2n = 15\). - "Różnica liczby krawędzi i wierzchołków ostrosłupa jest równa 11": \(2n - (n + 1) = 11\). Całą resztę [stereometrii na maturze](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy), czyli objętości, pola i kąty, liczy się już na długościach krawędzi. Zadanie o samej liczbie krawędzi jest od nich niezależne i nie wymaga żadnej długości. ## Przykład 1: Krawędzie ostrosłupa z liczby wierzchołków (matura maj 2010, zadanie 24) **Treść:** Ostrosłup ma \(18\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa - A) \(11\) - B) \(18\) - C) \(27\) - D) \(34\) **Krok 1: Równanie z liczby wierzchołków.** Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków. $$n + 1 = 18 \quad \Rightarrow \quad n = 17$$ **Krok 2: Liczba krawędzi.** Podstawą jest siedemnastokąt, a ostrosłup ma \(2n\) krawędzi. $$K = 2 \cdot 17 = 34$$ **Krok 3: Kontrola wzorem Eulera.** Ścian jest \(n + 1 = 18\), więc \(18 - 34 + 18 = 2\). Zgadza się. **Odpowiedź: D.** Ostrosłup ma \(34\) krawędzie. Odpowiedź B to pułapka dla kogoś, kto przepisze liczbę wierzchołków jako liczbę krawędzi. ## Przykład 2: Wierzchołki ostrosłupa z liczby ścian (matura sierpień 2024, zadanie 30) **Treść:** Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa \(12\). Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa - A) \(10\) - B) \(11\) - C) \(12\) - D) \(13\) **Krok 1: Równanie z liczby ścian.** Wszystkie ściany ostrosłupa to \(n\) ścian bocznych i podstawa. $$n + 1 = 12 \quad \Rightarrow \quad n = 11$$ **Krok 2: Liczba wierzchołków.** Podstawą jest jedenastokąt, a ostrosłup ma \(n + 1\) wierzchołków. $$W = 11 + 1 = 12$$ **Odpowiedź: C.** Ostrosłup ma \(12\) wierzchołków. Zadanie da się rozwiązać bez żadnego rachunku: w ostrosłupie liczba wierzchołków zawsze jest równa liczbie ścian. Słowo "prawidłowy" nic tu nie zmienia. ## Przykład 3: Ostrosłup z 2024 ścianami bocznymi (matura czerwiec 2024, zadanie 33) **Treść:** Ostrosłup prawidłowy ma \(2024\) ściany boczne. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa - A) \(2025\) - B) \(2026\) - C) \(4048\) - D) \(4052\) **Krok 1: Liczba boków podstawy.** Każdy bok podstawy wyznacza dokładnie jedną ścianę boczną, więc podstawa ma tyle boków, ile jest ścian bocznych: \(n = 2024\). **Krok 2: Liczba krawędzi.** Krawędzie podstawy i krawędzie boczne to razem \(2n\). $$K = 2 \cdot 2024 = 4048$$ **Odpowiedź: C.** Ostrosłup ma \(4048\) krawędzi. Odpowiedź A to liczba wszystkich ścian (\(2024 + 1\)), a nie krawędzi. ## Przykład 4: Suma krawędzi i wierzchołków graniastosłupa (matura czerwiec 2018, zadanie 23) **Treść:** Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \(15\). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa - A) \(9\) - B) \(7\) - C) \(6\) - D) \(5\) **Krok 1: Równanie z sumy.** Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi i \(2n\) wierzchołków. $$3n + 2n = 15 \quad \Rightarrow \quad 5n = 15 \quad \Rightarrow \quad n = 3$$ **Krok 2: Liczba krawędzi.** Podstawą jest trójkąt, więc $$K = 3 \cdot 3 = 9$$ **Krok 3: Kontrola.** Wierzchołków jest \(6\), a \(9 + 6 = 15\). Zgadza się. **Odpowiedź: A.** Graniastosłup ma \(9\) krawędzi. Odpowiedź C to liczba wierzchołków, a nie krawędzi. ## Przykład 5: Podstawa graniastosłupa z różnicy krawędzi i ścian bocznych (matura maj 2013, zadanie 20) **Treść:** Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest - A) czworokąt - B) pięciokąt - C) sześciokąt - D) dziesięciokąt **Krok 1: Równanie z różnicy.** Graniastosłup ma \(3n\) krawędzi i \(n\) ścian bocznych (podstaw w zadaniu nie liczymy, bo mowa o ścianach bocznych). $$3n - n = 10 \quad \Rightarrow \quad 2n = 10 \quad \Rightarrow \quad n = 5$$ **Krok 2: Kontrola.** Graniastosłup pięciokątny ma \(15\) krawędzi i \(5\) ścian bocznych, a \(15 - 5 = 10\). Zgadza się. **Odpowiedź: B.** Podstawą jest pięciokąt. Gdyby zamiast ścian bocznych wziąć wszystkie ściany (\(n + 2\)), wyszłoby \(2n - 2 = 10\), czyli \(n = 6\) i błędna odpowiedź C. ## Przykład 6: Ściany boczne ostrosłupa z liczby krawędzi (matura maj 2014, zadanie 19) **Treść:** Jeżeli ostrosłup ma \(10\) krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa - A) \(5\) - B) \(7\) - C) \(8\) - D) \(10\) **Krok 1: Równanie z liczby krawędzi.** Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(2n\) krawędzi. $$2n = 10 \quad \Rightarrow \quad n = 5$$ **Krok 2: Ściany boczne.** Ścian bocznych jest tyle, ile boków podstawy, czyli \(5\). **Odpowiedź: A.** Ostrosłup pięciokątny ma \(5\) ścian bocznych i \(6\) ścian razem z podstawą. ## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy Dwa kolejne zadania z matur sierpniowych. Oba łączą dwie wielkości w jednym równaniu, dokładnie jak w przykładach 4 i 5. Zanim otworzysz rozwiązanie, zapisz równanie z \(n\) i sprawdź wynik wzorem Eulera. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2016-22 Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2020-24 ## Typowe pułapki **Pułapka:** Liczba wierzchołków to nie liczba boków podstawy. Ostrosłup z \(18\) wierzchołkami ma w podstawie siedemnastokąt, a graniastosłup z \(14\) wierzchołkami ma w podstawie siedmiokąt. Zawsze zapisz równanie, zanim podstawisz liczbę do wzoru. **Pułapka 2:** "Ściany" i "ściany boczne" to dwie różne liczby. Graniastosłup ma \(n\) ścian bocznych i \(n + 2\) ściany, ostrosłup \(n\) ścian bocznych i \(n + 1\) ścian. Podkreśl w treści zadania słowo "boczne" albo "wszystkie", zanim ułożysz równanie. **Pułapka 3:** Wzory graniastosłupa nie działają dla ostrosłupa. Krawędzi bocznych jest w obu bryłach \(n\), ale graniastosłup ma dwie podstawy, a ostrosłup jedną, stąd \(3n\) kontra \(2n\) krawędzi. **Uwaga:** Jeśli z równania wyjdzie \(n\), które nie jest liczbą naturalną, albo \(n < 3\), to bryła o takich parametrach nie istnieje. W zadaniu zamkniętym to znak, że pomyliłeś wzór albo rodzaj bryły. **Wskazówka:** Wynik zawsze sprawdzaj wzorem Eulera \(W - K + S = 2\). To kosztuje kilka sekund i wyłapuje większość pomyłek między krawędziami a ścianami. ## Co musisz umieć - Wyprowadzić liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian graniastosłupa o podstawie n-kąta: 2n, 3n i n + 2. - Wyprowadzić liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian ostrosłupa o podstawie n-kąta: n + 1, 2n i n + 1. - Zamienić zdanie z treści zadania na równanie z liczbą boków podstawy. - Odróżnić wszystkie ściany od ścian bocznych. - Sprawdzić wynik wzorem Eulera W - K + S = 2. - Rozpoznać, że liczba krawędzi graniastosłupa dzieli się przez 3, a ostrosłupa przez 2. ## Poćwicz na zadaniach z bazy Zadania z arkuszy o liczbie krawędzi, ścian i wierzchołków. Każde otwiera się na własnej stronie z rozwiązaniem krok po kroku. Gdy opanujesz liczenie elementów brył, przejdź do [objętości graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania) i [przekątnej sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania), a pełną listę zadań znajdziesz w [bazie zadań CKE ze stereometrii](/zadania-cke-stereometria-z-rozwiazaniami) i w [dziale Stereometria](/topics/stereometria). Następny krok: Losuj kolejne zadanie ze stereometrii (/losuj) ## Najczęstsze pytania o krawędzie, ściany i wierzchołki ### Ile krawędzi ma graniastosłup? Graniastosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(3n\) krawędzi: \(n\) w dolnej podstawie, \(n\) w górnej podstawie i \(n\) krawędzi bocznych. Graniastosłup trójkątny ma \(9\) krawędzi, czworokątny \(12\), sześciokątny \(18\). ### Ile wierzchołków ma ostrosłup? Ostrosłup o podstawie \(n\)-kąta ma \(n + 1\) wierzchołków: \(n\) w podstawie i jeden wierzchołek ostrosłupa nad nią. Ostrosłup czworokątny ma \(5\) wierzchołków, a sześciokątny \(7\). ### Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma sześcian? Sześcian ma \(6\) ścian, \(12\) krawędzi i \(8\) wierzchołków. To graniastosłup o podstawie kwadratu, więc wystarczy podstawić \(n = 4\) do wzorów \(n + 2\), \(3n\) i \(2n\). Te same liczby ma każdy prostopadłościan. ### Czy graniastosłup może mieć 20 krawędzi? Nie. Liczba krawędzi graniastosłupa to \(3n\), więc zawsze dzieli się przez \(3\), a \(20\) nie dzieli się przez \(3\). Ostrosłup z \(20\) krawędziami istnieje: ma w podstawie dziesięciokąt, bo \(2n = 20\). ### Ile krawędzi ma czworościan? Czworościan ma \(6\) krawędzi, \(4\) ściany i \(4\) wierzchołki. To ostrosłup o podstawie trójkąta, więc \(K = 2 \cdot 3 = 6\), a \(W = S = 3 + 1 = 4\). Każda jego ściana jest trójkątem, dlatego dowolną z nich można traktować jako podstawę. ### Czy ostrosłup prawidłowy ma więcej krawędzi niż zwykły ostrosłup? Nie. Słowo "prawidłowy" mówi tylko, że podstawa jest wielokątem foremnym, a spodek wysokości leży w jej środku. Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian zależy wyłącznie od liczby boków podstawy, więc ostrosłup prawidłowy i nieprawidłowy o tej samej podstawie mają ich tyle samo.