---
route: /ile-jest-liczb-czterocyfrowych-regula-mnozenia-zadania
title: Ile jest liczb czterocyfrowych - reguła mnożenia krok po kroku
description: Liczb czterocyfrowych jest 9000, a tych o różnych cyfrach 4536. Reguła mnożenia, schemat w 4 krokach i 7 zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.
type: task_solution
category: Kombinatoryka
tags: ile jest liczb czterocyfrowych, reguła mnożenia zadania, liczby czterocyfrowe o różnych cyfrach, kombinatoryka matura, ile jest liczb trzycyfrowych, zliczanie liczb n-cyfrowych, zadania kombinatoryka CKE, reguła mnożenia matura, liczby czterocyfrowe parzyste, liczby podzielne przez 5 ile jest, zasada włączania i wyłączania, kombinatoryka krok po kroku
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-12T07:13:57.839+00:00
updated: 2026-08-12T07:13:57.839+00:00
---
# Ile jest liczb czterocyfrowych - reguła mnożenia krok po kroku
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych jest \(9000\), bo są to liczby od \(1000\) do \(9999\). Ten sam wynik dostajesz z reguły mnożenia: pierwsza cyfra ma \(9\) możliwości (od \(1\) do \(9\), bo liczba nie może zaczynać się od zera), a każda z trzech pozostałych ma \(10\) możliwości, czyli \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000\). Jeśli dodatkowo cyfry nie mogą się powtarzać, wynik to \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\).

To nie jest ciekawostka, tylko jeden z najczęściej powtarzanych typów zadań na maturze podstawowej. W naszej bazie zadań CKE aż \(31\) z \(44\) zadań z kombinatoryki to zadania o zliczaniu liczb dwucyfrowych, trzycyfrowych, czterocyfrowych albo pięciocyfrowych. Taki przykład był w arkuszu majowym w \(2023\), \(2024\), \(2025\) i \(2026\) roku, w każdym arkuszu czerwcowym z lat \(2023\), \(2024\) i \(2025\), a także w arkuszu poprawkowym z sierpnia \(2023\) i w [maturze próbnej z lutego 2026](/exams/matura-probna-luty-2026). Jeśli opanujesz jeden schemat, masz praktycznie pewny punkt w każdym arkuszu.

## Reguła mnożenia - jedyna zasada, której naprawdę potrzebujesz

Reguła mnożenia mówi, że jeśli wybór składa się z kilku niezależnych etapów, to liczba wszystkich możliwości jest iloczynem liczby możliwości na każdym etapie. Przy liczbach n-cyfrowych etapami są kolejne pozycje: cyfra tysięcy, setek, dziesiątek i jedności. Ustalasz, ile cyfr wolno wstawić na każdą pozycję, i mnożysz te liczby przez siebie.

$$\text{liczba możliwości} = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4$$

Nie potrzebujesz tu ani silni, ani symbolu Newtona. Wzory na permutacje i kombinacje przydają się w innych zadaniach, ale w zliczaniu liczb n-cyfrowych prawie zawsze wystarcza mnożenie pozycji. Jeśli chcesz odświeżyć pozostałe narzędzia, zajrzyj do poradnika o tym, [jak obliczyć silnię, kombinacje i permutacje](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory) oraz do przewodnika po [kombinatoryce na maturze](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje).

## Dlaczego pierwsza cyfra ma 9 możliwości, a nie 10

Liczba czterocyfrowa z definicji zaczyna się od cyfry różnej od zera. Zapis \(0725\) to nie jest liczba czterocyfrowa, tylko trzycyfrowa liczba \(725\). Dlatego na pierwszej pozycji zostaje \(9\) cyfr: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\). Na pozostałych pozycjach zero jest w pełni dozwolone, więc tam masz \(10\) możliwości.

To jest najczęściej popełniany błąd w całym dziale. Jeśli policzysz \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000\), dostaniesz liczbę wszystkich czterocyfrowych ciągów cyfr, a nie liczb. Różnica to dokładnie te \(1000\) zapisów zaczynających się od zera.

Zapamiętaj też szybką kontrolę wyniku: liczb n-cyfrowych jest tyle, ile wynosi \(9 \cdot 10^{n-1}\). Czyli dwucyfrowych jest \(90\), trzycyfrowych \(900\), czterocyfrowych \(9000\), a pięciocyfrowych \(90000\). Jeśli twój wynik przekracza tę wartość, na pewno gdzieś jest błąd.

## Ile jest liczb czterocyfrowych - gotowe wyniki

Poniższa tabela zbiera warianty, które wracają na maturze najczęściej. Warto je przeliczyć samodzielnie raz, a potem używać jako punktu kontrolnego.

| Warunek | Rachunek | Wynik |
|---|---|---|
| wszystkie liczby czterocyfrowe | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\) | \(9000\) |
| cyfry nie powtarzają się | \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7\) | \(4536\) |
| liczby parzyste | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5\) | \(4500\) |
| liczby nieparzyste | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5\) | \(4500\) |
| podzielne przez \(5\) | \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 2\) | \(1800\) |
| złożone tylko z cyfr nieparzystych | \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\) | \(625\) |
| złożone tylko z cyfr parzystych | \(4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\) | \(500\) |

Ostatni wiersz to dobry test zrozumienia. Cyfr parzystych jest pięć (\(0, 2, 4, 6, 8\)), ale na pierwszej pozycji zero odpada, więc zostają cztery.

## Schemat rozwiązania w 4 krokach

Zanim zaczniesz mnożyć, zawsze wykonaj te same cztery ruchy. Dzięki nim nie pomylisz kolejności i nie zgubisz warunku z treści zadania.

**Krok 1: narysuj tyle kresek, ile jest pozycji.** Dla liczby czterocyfrowej rysujesz cztery miejsca i podpisujesz je: tysiące, setki, dziesiątki, jedności.

**Krok 2: wypisz wszystkie warunki z treści.** Podzielność, parzystość, zakaz powtórzeń, zadany zbiór cyfr, nierówność typu "większa od \(700\)". Każdy warunek dotyczy konkretnej pozycji albo relacji między pozycjami.

**Krok 3: zacznij od pozycji najbardziej ograniczonej.** Jeśli warunek dotyczy cyfry jedności (parzystość, podzielność przez \(5\)), zaczynasz od niej, a nie od lewej strony. Dopiero potem wracasz do pierwszej cyfry, bo liczba jej możliwości może zależeć od wcześniejszego wyboru.

**Krok 4: pomnóż liczby możliwości i sprawdź rząd wielkości.** Wynik nie może przekroczyć \(9000\) dla liczb czterocyfrowych ani \(900\) dla trzycyfrowych.

## Przykład 1: cyfry nie mogą się powtarzać

Zadanie z [matury poprawkowej sierpień 2023](/task/matura-sierpie-2023-35): ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają?

**Krok 1: pierwsza cyfra.** Nie może być zerem, więc \(9\) możliwości.

**Krok 2: druga cyfra.** Zero już wolno, ale nie wolno powtórzyć cyfry z pierwszej pozycji. Z dziesięciu cyfr odpada jedna, zostaje \(9\).

**Krok 3: trzecia i czwarta cyfra.** Odpadają kolejno dwie i trzy już użyte cyfry, więc \(8\) oraz \(7\).

**Krok 4: pomnóż.** \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\).

Zwróć uwagę na pozorną nieregularność: \(9\), potem znowu \(9\). Pierwsza dziewiątka bierze się z zakazu zera, druga z zakazu powtórzenia. To nie jest pomyłka, tylko dwa różne powody.

## Przykład 2: podzielność i brak powtórzeń naraz

Zadanie z [matury próbnej luty 2026](/task/matura-pr-bna-luty-2026-36): ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez \(5\), w zapisie których cyfry się nie powtarzają?

Liczba jest podzielna przez \(5\), gdy kończy się cyfrą \(0\) albo \(5\). Te dwa przypadki trzeba rozpatrzyć osobno, bo zero zachowuje się inaczej na pierwszej pozycji.

**Krok 1: przypadek z zerem na końcu.** Jedności ustalone (\(1\) sposób). Pierwsza cyfra: \(9\) możliwości, bo zero jest już zużyte. Druga: \(8\), trzecia: \(7\). Razem \(9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\).

**Krok 2: przypadek z piątką na końcu.** Jedności ustalone. Pierwsza cyfra nie może być zerem ani piątką, więc \(8\) możliwości. Druga cyfra: z dziesięciu odpadają dwie użyte, zostaje \(8\) (tym razem zero jest dozwolone). Trzecia: \(7\). Razem \(8 \cdot 8 \cdot 7 = 448\).

**Krok 3: dodaj przypadki.** \(504 + 448 = 952\).

Zasada jest ogólna: przypadki rozłączne dodajesz, etapy jednego wyboru mnożysz. To jedno zdanie odpowiada za większość poprawnych rozwiązań w tym dziale.

## Przykład 3: dokładnie jedna cyfra nieparzysta

Zadanie z [zestawu treningowego CKE](/task/cke-pp-treningowe-77): ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste?

Cyfr nieparzystych jest pięć (\(1, 3, 5, 7, 9\)) i cyfr parzystych też pięć (\(0, 2, 4, 6, 8\)), ale zero blokuje pierwszą pozycję. Dlatego dzielimy zadanie na przypadki według tego, gdzie stoi cyfra nieparzysta.

**Krok 1: cyfra nieparzysta na pierwszej pozycji.** Pierwsza cyfra: \(5\) możliwości. Pozostałe trzy pozycje parzyste: po \(5\) możliwości każda. Razem \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625\).

**Krok 2: cyfra nieparzysta na jednej z trzech dalszych pozycji.** Wtedy pierwsza cyfra jest parzysta i różna od zera, czyli \(4\) możliwości. Pozycja z cyfrą nieparzystą: \(5\) możliwości. Dwie pozostałe pozycje parzyste: \(5 \cdot 5 = 25\). Dla jednego ustawienia daje to \(4 \cdot 5 \cdot 25 = 500\).

**Krok 3: uwzględnij liczbę ustawień.** Cyfra nieparzysta może stać na pozycji setek, dziesiątek albo jedności, czyli \(3 \cdot 500 = 1500\).

**Krok 4: dodaj przypadki.** \(625 + 1500 = 2125\).

## Przykład 4: warunek wiążący dwie cyfry

Zadanie otwarte z [matury czerwiec 2013](/task/matura-czerwiec-2013-29): oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o \(3\) większa od cyfry setek.

**Krok 1: zacznij od pary powiązanej.** Jeśli cyfra setek to \(b\), to cyfra jedności wynosi \(b + 3\). Warunek \(b + 3 \leqslant 9\) daje \(b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), czyli \(7\) możliwości. Wybór \(b\) natychmiast ustala cyfrę jedności.

**Krok 2: cyfra tysięcy.** Bez ograniczeń poza zakazem zera: \(9\) możliwości.

**Krok 3: cyfra dziesiątek.** Zupełnie dowolna: \(10\) możliwości.

**Krok 4: pomnóż.** \(9 \cdot 7 \cdot 10 = 630\).

Kluczowy nawyk: gdy dwie cyfry są ze sobą powiązane, traktujesz je jako jeden etap wyboru. Liczysz, na ile sposobów można wybrać całą parę, a nie każdą cyfrę osobno.

## Przykład 5: dokładnie jeden raz cyfra zero

Ten wariant CKE lubi najbardziej i powtórzył go w [maturze maj 2025](/task/matura-maj-2025-34) oraz w [maturze czerwiec 2025](/task/matura-czerwiec-2025-34). Weźmy trudniejszą wersję czerwcową: ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, w których zapisie występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\)?

**Krok 1: rozpisz pozycje.** Liczba ma postać setki, dziesiątki, jedności. Setki nie mogą być zerem, jedności muszą być parzyste.

**Krok 2: przypadek z zerem na końcu.** Jedności to \(0\). Wtedy dziesiątki nie mogą być zerem, bo zero ma wystąpić dokładnie raz: \(9\) możliwości. Setki: \(9\) możliwości. Razem \(9 \cdot 9 = 81\).

**Krok 3: przypadek z zerem w środku.** Jedności są parzyste i niezerowe: \(2, 4, 6, 8\), czyli \(4\) możliwości. Dziesiątki to \(0\). Setki: \(9\). Razem \(9 \cdot 1 \cdot 4 = 36\).

**Krok 4: dodaj przypadki.** \(81 + 36 = 117\).

W wersji majowej warunek "nieparzyste" upraszcza sprawę, bo cyfra jedności nie może być zerem. Zero musi wtedy stać w dziesiątkach, więc wynik to \(9 \cdot 1 \cdot 5 = 45\).

## Kiedy reguła mnożenia nie wystarczy

Nie każde zadanie o liczbach n-cyfrowych rozwiązuje się mnożeniem pozycji. Gdy warunek dotyczy podzielności całej liczby albo przedziału, w którym leży, szybciej działa zliczanie wyrazów ciągu arytmetycznego. Rozpoznasz to po sformułowaniach "mniejszych od", "większych niż", "podzielnych przez".

Zadanie z [matury maj 2018](/task/matura-maj-2018-24): ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\)?

**Krok 1: ustal pierwszą i ostatnią liczbę.** Najmniejsza czterocyfrowa podzielna przez \(5\) to \(1000\), największa mniejsza od \(2018\) to \(2015\).

**Krok 2: rozpoznaj ciąg arytmetyczny.** Kolejne liczby różnią się o \(5\), więc \(a_1 = 1000\), \(r = 5\), \(a_n = 2015\).

**Krok 3: policz liczbę wyrazów.** \(n = \frac{2015 - 1000}{5} + 1 = 203 + 1 = 204\).

Ta metoda działa zawsze, gdy zliczasz wielokrotności w przedziale. Przykład bez podzielności jest jeszcze prostszy: liczb czterocyfrowych mniejszych niż \(2017\) jest \(2016 - 1000 + 1 = 1017\). Formalny wzór na liczbę wyrazów znajdziesz w tekście o tym, [jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania). O jedynkę na końcu bardzo łatwo się potknąć, więc zawsze sprawdź wzór na krótkim przykładzie, który umiesz policzyć na palcach.

## Spójnik "lub" i zasada włączania i wyłączania

Gdy w treści pojawia się "lub", nie wolno po prostu dodać obu wyników, bo część liczb spełnia oba warunki naraz i policzyłbyś je dwa razy.

Zadanie z [zestawu treningowego CKE](/task/cke-pp-treningowe-78): ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?

**Krok 1: policz podzielne przez \(15\).** To \(15, 30, 45, 60, 75, 90\), czyli \(6\) liczb.

**Krok 2: policz podzielne przez \(20\).** To \(20, 40, 60, 80\), czyli \(4\) liczby.

**Krok 3: znajdź część wspólną.** Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(15\) i \(20\) to \(60\), a dwucyfrowa jest tylko jedna taka liczba.

**Krok 4: zastosuj wzór.** \(6 + 4 - 1 = 9\).

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

## Kod to nie to samo co liczba

W [zadaniu 33 z matury maj 2024](/task/matura-maj-2024-33) rozważano kody czterocyfrowe utworzone z cyfr \(1, 3, 6, 8\), w których każda cyfra występuje dokładnie raz. Odpowiedź to \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\), czyli liczba permutacji czterech elementów.

Różnica jest zasadnicza: kod, PIN albo numer rejestracyjny może zaczynać się od zera, a liczba czterocyfrowa nie. Zawsze sprawdź w treści, czy mowa o liczbie, czy o kodzie. To jedno słowo zmienia pierwszy czynnik z \(9\) na \(10\).

Podobnie działa zadanie z [matury maj 2021](/task/matura-maj-2021-27) o liczbach trzycyfrowych większych od \(700\), w których każda cyfra należy do zbioru \(\{1, 2, 3, 7, 8, 9\}\) i żadna się nie powtarza. Cyfra setek musi być z \(\{7, 8, 9\}\), czyli \(3\) możliwości, a dwie kolejne wybierasz z pozostałych pięciu cyfr: \(5 \cdot 4 = 20\). Razem \(3 \cdot 20 = 60\).

## Typowe pułapki

**Zero na pierwszej pozycji.** Najczęstszy błąd w dziale. Liczba czterocyfrowa nigdy nie zaczyna się od zera, kod może.

**Dodawanie zamiast mnożenia.** Etapy jednego wyboru mnożysz. Dodajesz tylko przypadki, które się wzajemnie wykluczają.

**Rozpoczynanie od lewej strony przy warunku na końcu.** Jeśli warunek dotyczy parzystości albo podzielności przez \(5\), najpierw ustal cyfrę jedności, a dopiero potem pierwszą cyfrę.

**Zapomniane odjęcie części wspólnej przy "lub".** Bez tego liczby spełniające oba warunki liczysz podwójnie.

**Błąd o jeden przy zliczaniu wielokrotności.** We wzorze \(n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1\) łatwo zgubić końcową jedynkę.

**Mylenie "co najmniej jedna" z "dokładnie jedna".** Przy "co najmniej" zwykle szybciej policzyć zdarzenie przeciwne i odjąć wynik od całości.

## Checklista: co musisz umieć

- Podać z pamięci, że liczb czterocyfrowych jest \(9000\), a z różnymi cyframi \(4536\).
- Wyjaśnić, dlaczego pierwsza pozycja ma \(9\), a nie \(10\) możliwości.
- Rozpisać zadanie na pozycje i zacząć od tej najbardziej ograniczonej.
- Rozróżnić, kiedy przypadki się mnoży, a kiedy dodaje.
- Policzyć liczby parzyste, nieparzyste i podzielne przez \(5\) w zadanym zakresie.
- Zliczyć wielokrotności w przedziale wzorem na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego.
- Zastosować zasadę włączania i wyłączania przy spójniku "lub".
- Odróżnić kod od liczby i wiedzieć, co to zmienia w rachunku.

Kolejny krok to trening na realnych zadaniach. Pełną pulę zadań z tego działu znajdziesz w kategorii [kombinatoryka](/topics/kombinatoryka), a rozwiązania krok po kroku w zestawie [zadania CKE z kombinatoryki](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami). Warto od razu przerobić też dział [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo), bo zliczanie liczb n-cyfrowych bardzo często bywa pierwszym krokiem w zadaniu o prawdopodobieństwie, co pokazuje poradnik o [kombinatoryce i prawdopodobieństwie na maturze](/prawdopodobienstwo-matura-kombinatoryka-wzory-zadania).

## Najczęstsze pytania

### Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych?
Jest ich \(9000\), czyli wszystkie liczby naturalne od \(1000\) do \(9999\). Z reguły mnożenia liczysz to jako \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\), gdzie dziewiątka bierze się stąd, że pierwsza cyfra nie może być zerem.

### Ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach?
Jest ich \(4536\), bo \(9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536\). Pierwsza cyfra ma \(9\) możliwości ze względu na zakaz zera, druga \(9\) po odrzuceniu cyfry już użytej, trzecia \(8\), a czwarta \(7\).

### Dlaczego pierwsza cyfra liczby nie może być zerem?
Bo zapis zaczynający się od zera nie jest liczbą n-cyfrową, tylko liczbą o mniejszej liczbie cyfr. Zapis \(0725\) to po prostu \(725\). Ten zakaz nie dotyczy kodów, PIN-ów ani numerów, które mogą zaczynać się od zera.

### Kiedy w kombinatoryce mnożymy, a kiedy dodajemy?
Mnożysz wtedy, gdy jeden wybór składa się z kilku kolejnych etapów, na przykład wybierasz cyfrę tysięcy, potem setek, potem dziesiątek. Dodajesz wtedy, gdy rozbijasz zadanie na przypadki, które się wykluczają, na przykład liczba kończy się zerem albo piątką.

### Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych?
Jest ich \(4500\). Cyfra jedności musi należeć do zbioru \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\), czyli ma \(5\) możliwości, pierwsza cyfra ma \(9\), a dwie środkowe po \(10\), co daje \(9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 5\).

### Jak policzyć, ile liczb w przedziale jest podzielnych przez daną liczbę?
Znajdź pierwszą i ostatnią wielokrotność w tym przedziale, a następnie zastosuj wzór \(n = \frac{a_n - a_1}{r} + 1\), gdzie \(r\) to dzielnik. Dla liczb czterocyfrowych mniejszych od \(2018\) i podzielnych przez \(5\) daje to \(\frac{2015 - 1000}{5} + 1 = 204\).

### Czy do zadań o liczbach n-cyfrowych potrzebna jest silnia?
Zwykle nie. Wystarcza reguła mnożenia, a silnia pojawia się tylko wtedy, gdy ustawiasz wszystkie dostępne cyfry w dowolnej kolejności, jak w zadaniu o kodach z cyfr \(1, 3, 6, 8\), gdzie odpowiedzią jest \(4! = 24\).

### Jak sprawdzić, czy wynik jest sensowny?
Porównaj go z liczbą wszystkich liczb o tej samej liczbie cyfr: dwucyfrowych jest \(90\), trzycyfrowych \(900\), czterocyfrowych \(9000\). Twój wynik musi być od tej wartości mniejszy, a jeśli warunek jest ostry, to wyraźnie mniejszy.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)