--- route: /funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura title: Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego i kąta w układzie współrzędnych - wzory i zadania maturalne description: Ramię kąta przechodzi przez P = (x, y)? Wtedy sin α = y/r, cos α = x/r, tg α = y/x. Znaki dla kąta rozwartego i 6 zadań maturalnych krok po kroku. type: task_solution category: Trygonometria tags: sinus kąta rozwartego, cosinus kąta rozwartego, tangens kąta rozwartego, funkcje trygonometryczne kąta rozwartego, kąt w układzie współrzędnych, ramię kąta przechodzi przez punkt, sin cos tg w układzie współrzędnych, znaki funkcji trygonometrycznych, sin 120 cos 120 tg 120, trygonometria matura podstawowa, zadania maturalne z trygonometrii published: 2026-09-25T07:16:40.778+00:00 updated: 2026-09-25T07:21:05.463652+00:00 --- # Funkcje trygonometryczne kąta rozwartego i kąta w układzie współrzędnych - wzory i zadania maturalne Gdy kąt \(\alpha\) ma wierzchołek w początku układu współrzędnych, jedno ramię leży na dodatniej półosi \(Ox\), a drugie przechodzi przez punkt \(P = (x, y)\), to \(\sin\alpha = \frac{y}{r}\), \(\cos\alpha = \frac{x}{r}\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\) (dla \(x \neq 0\)), gdzie \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) to odległość punktu \(P\) od początku układu. Dla kąta rozwartego, czyli \(90^\circ 0\). Dlatego sinus kąta rozwartego jest dodatni, a cosinus i tangens są ujemne. Na maturze podstawowej w formule 2023 ten temat wraca w różnych przebraniach. W maju 2023 ([zadanie 21](/task/matura-maj-2023-21)) trzeba było odczytać tangens kąta, którego ramię przechodzi przez punkt \((-3, 1)\). W maju 2024 ([zadanie 22](/task/matura-maj-2024-22)) kąt rozwarty miał tangens równy \(-3\) i należało wskazać prawdziwe zależności między jego sinusem a cosinusem. Na próbnej maturze CKE w marcu 2026 ([zadanie 20](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-20)) z sinusa kąta rozwartego liczyło się wartość wyrażenia. Rachunki są krótkie, a punkty giną na znakach. Poniżej masz definicje, tabelę znaków, wzory, sześć przykładów rozwiązanych krok po kroku i najczęstsze pułapki. ## Sinus, cosinus i tangens kąta w układzie współrzędnych Kładziesz kąt tak, żeby jedno ramię leżało na dodatniej półosi \(Ox\), a wierzchołek w punkcie \((0, 0)\). Na drugim ramieniu bierzesz dowolny punkt \(P = (x, y)\) różny od wierzchołka i liczysz jego odległość od początku układu \(r\). Sinus to \(\frac{y}{r}\), cosinus to \(\frac{x}{r}\), tangens to \(\frac{y}{x}\). Definicja z trójkąta prostokątnego (przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną) działa tylko dla kątów ostrych, bo trójkąt prostokątny nie ma kąta rozwartego. Układ współrzędnych rozszerza ją na kąty od \(0^\circ\) do \(180^\circ\), a dla kąta ostrego daje dokładnie to samo. Punkt \(P\) leży wtedy w pierwszej ćwiartce, a jego rzuty na osie tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(x\) i \(y\) oraz przeciwprostokątnej \(r\). Przyprostokątna naprzeciw kąta to \(y\), przyległa to \(x\), jak w klasycznych [definicjach sinusa, cosinusa i tangensa](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci). Nowość jest jedna: gdy kąt robi się rozwarty, \(x\) staje się ujemne, a razem z nim cosinus i tangens. Odległość \(r\) liczysz tym samym wzorem, co [odległość między dwoma punktami](/jak-obliczyc-odleglosc-miedzy-dwoma-punktami-wzor-zadania), bo to po prostu długość odcinka \(OP\). Wynik nie zależy od tego, który punkt ramienia wybierzesz. Punkt \(P' = (2x, 2y)\) leży na tym samym ramieniu i ma \(r' = 2r\), więc ilorazy \(\frac{2y}{2r}\), \(\frac{2x}{2r}\) i \(\frac{2y}{2x}\) są takie same jak dla \(P\). Dlatego przy zadaniu z tangensem możesz sam dobrać wygodny punkt o całkowitych współrzędnych. ## Znaki funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0° do 180° Dla kąta ostrego wszystkie trzy funkcje są dodatnie. Dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, a cosinus i tangens ujemne, bo punkt na ramieniu ma ujemną pierwszą współrzędną. Na granicy ćwiartek \(\cos 90^\circ = 0\), a \(\operatorname{tg} 90^\circ\) nie istnieje, bo punkt na ramieniu ma wtedy \(x = 0\). | Kąt | Punkt na ramieniu | Sinus | Cosinus | Tangens | | --- | --- | --- | --- | --- | | \(0^\circ\) | \((1, 0)\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | | ostry, od \(0^\circ\) do \(90^\circ\) | \(x > 0,\ y > 0\) | dodatni | dodatni | dodatni | | \(90^\circ\) | \((0, 1)\) | \(1\) | \(0\) | nie istnieje | | rozwarty, od \(90^\circ\) do \(180^\circ\) | \(x 0\) | dodatni | ujemny | ujemny | | \(180^\circ\) | \((-1, 0)\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | Z tabeli wynika wniosek, który rozstrzyga połowę zadań: z samego sinusa nie poznasz, czy kąt jest ostry, czy rozwarty. \(\sin 30^\circ = \sin 150^\circ = \frac{1}{2}\). Jeden z dwóch kątów wybiera dopiero znak cosinusa albo tangensa albo informacja z treści, na przykład „kąt jest rozwarty”. Quiz: Sprawdź znaki i wartości Pytanie: Kąt \(\alpha\) ma miarę \(130^\circ\). Jaki znak ma \(\cos\alpha\)? - A. dodatni - B. ujemny - C. zależy od wybranego punktu na ramieniu Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Kąt \(130^\circ\) jest rozwarty, więc punkt na jego ramieniu ma ujemną pierwszą współrzędną, a cosinus to \(\frac{x}{r}\). Pytanie: Ramię kąta \(\alpha\) przechodzi przez punkt \(P = (-5, 12)\). Ile wynosi \(\sin\alpha\)? - A. \(-\frac{5}{13}\) - B. \(\frac{12}{13}\) - C. \(-\frac{12}{5}\) Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: \(r = \sqrt{25 + 144} = 13\), a sinus to \(\frac{y}{r} = \frac{12}{13}\). Pierwsza błędna odpowiedź to cosinus, druga to tangens. Pytanie: Wiesz tylko, że \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\) i \(0^\circ 0\). Najprostszy to \(P = (-1, 3)\). Punkt \((1, -3)\) też daje iloraz \(-3\), ale leży w czwartej ćwiartce, poza zakresem od \(0^\circ\) do \(180^\circ\). **Krok 2: Oblicz r.** $$r = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$ **Krok 3: Sinus i cosinus z definicji.** $$\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \qquad \cos\alpha = \frac{-1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$ **Krok 4: Sprawdź zależności.** \(-3\cos\alpha = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10} = \sin\alpha\), więc równość jest prawdziwa. Wynika to też wprost z \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -3\). Iloczyn \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{10}\) jest ujemny. **Odpowiedź:** \(\sin\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}\), \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}\), równość \(\sin\alpha = -3\cos\alpha\) jest prawdziwa, a iloczyn \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\) jest ujemny. Dokładnie te dwie zależności trzeba było wskazać w [zadaniu 22 z matury w maju 2024](/task/matura-maj-2024-22). ## Przykład 4: Cosinus kąta rozwartego z sinusa (matura próbna CKE grudzień 2024, zadanie 23) **Treść:** Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}\). Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy: - A) \(-\frac{\sqrt{13}}{4}\) - B) \(-\frac{1}{2}\) - C) \(\frac{1}{2}\) - D) \(\frac{\sqrt{13}}{4}\) **Krok 1: Jedynka trygonometryczna.** $$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$$ **Krok 2: Dwie wartości po spierwiastkowaniu.** $$\cos\alpha = \frac{\sqrt{13}}{4} \quad \text{albo} \quad \cos\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}$$ **Krok 3: Wybierz znak z ćwiartki.** Kąt jest rozwarty, więc cosinus jest ujemny i dodatnią wartość odrzucasz. Odpowiedź D to wynik dla kąta ostrego o tym samym sinusie. **Odpowiedź: A.** \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}\). ## Przykład 5: Wartość wyrażenia dla kąta rozwartego (matura próbna CKE marzec 2026, zadanie 20) **Treść:** Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}\). **Krok 1: Uprość wyrażenie.** Zamiast liczyć tangens osobno, podstaw \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\): $$\frac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = 3\sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 3\cos\alpha$$ **Krok 2: Cosinus z jedynki.** $$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ Kąt jest rozwarty, więc bierzesz wartość ujemną: $$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$ **Krok 3: Policz wartość wyrażenia.** $$3\cos\alpha = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = -\sqrt{6}$$ **Odpowiedź:** \(-\sqrt{6}\). ## Przykład 6: Pole równoległoboku z kątem 120° (matura maj 2024, zadanie 25) **Treść:** Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe: - A) \(12\) - B) \(12\sqrt{3}\) - C) \(6\) - D) \(6\sqrt{3}\) **Krok 1: Wzór na pole z sinusem.** Pole równoległoboku o bokach \(a\) i \(b\) oraz kącie \(\gamma\) między nimi to \(P = a \cdot b \cdot \sin\gamma\). Wzór działa dla kąta ostrego i rozwartego, bo sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do \(180^\circ\), więc mają ten sam sinus. **Krok 2: Sinus kąta rozwartego.** $$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **Krok 3: Podstaw.** $$P = 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$ **Odpowiedź: D.** Pole wynosi \(6\sqrt{3}\). Odpowiedź C dostaniesz, gdy zamiast sinusa weźmiesz cosinus i zgubisz jego minus. Inne wzory na pole równoległoboku i rombu zebrałem we wpisie o [polu rombu i równoległoboku](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne). ## Sprawdź się na zadaniu z bazy Kąt rozwarty, a w treści kwadrat sinusa. Najpierw ustal znak sinusa, potem cosinusa, a tangens policz na końcu. Rozwiąż sam, potem otwórz rozwiązanie pod kartą. Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-28 ## Typowe pułapki **Pułapka:** Zamiana \(x\) z \(y\). Sinus to druga współrzędna podzielona przez \(r\), cosinus to pierwsza. Pomaga skojarzenie z osiami: cosinus idzie z osią \(Ox\), sinus z osią \(Oy\). **Pułapka 2:** Zapomniany znak po jedynce. Z \(\cos^2\alpha = \frac{13}{16}\) wychodzą dwie liczby. Jeśli treść mówi, że kąt jest rozwarty, cosinus i tangens muszą być ujemne. Dodatni wynik wśród odpowiedzi czeka wtedy na tych, którzy liczą jak dla kąta ostrego. **Pułapka 3:** Odwrócony tangens. \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\), a nie \(\frac{x}{y}\). W przykładzie 1 odwrócony iloraz dawał \(-3\) i ta liczba stała wśród odpowiedzi. **Uwaga:** Tangens kąta \(90^\circ\) nie istnieje, bo punkt na ramieniu ma \(x = 0\), a przez zero nie dzielisz. Sinus i cosinus kąta prostego istnieją: \(\sin 90^\circ = 1\) i \(\cos 90^\circ = 0\). **Wskazówka:** Przy danym tangensie dobieraj punkt w dobrej ćwiartce. Dla kąta rozwartego pierwsza współrzędna jest ujemna, a druga dodatnia, więc przy \(\operatorname{tg}\alpha = -\frac{2}{3}\) bierzesz \(P = (-3, 2)\), a nie \((3, -2)\). **Zapamiętaj:** Kąt rozwarty: sinus dodatni, cosinus ujemny, tangens ujemny. Sinus nie odróżnia kąta \(\alpha\) od \(180^\circ - \alpha\), a cosinus i tangens odróżniają. ## Co musisz umieć - Obliczyć \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) dla punktu na ramieniu kąta. - Zapisać sinus, cosinus i tangens kąta, którego ramię przechodzi przez punkt \(P = (x, y)\). - Podać znaki sinusa, cosinusa i tangensa dla kąta ostrego i rozwartego. - Wybrać właściwy znak cosinusa kąta rozwartego po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej. - Z tangensa kąta rozwartego dobrać punkt w drugiej ćwiartce i policzyć sinus oraz cosinus. - Zamienić wartości dla \(120^\circ\), \(135^\circ\) i \(150^\circ\) na wartości kątów ostrych przez \(180^\circ - \alpha\). ## Poćwicz na zadaniach z bazy Poniżej zadania tego samego typu: kąt w układzie współrzędnych, kąt rozwarty w polu trójkąta i sinus kąta \(150^\circ\). Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [Trygonometria](/topics/trygonometria), a gdy potrzebujesz powtórki z kąta ostrego, zacznij od wpisu [jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens](/jak-obliczyc-sinus-cosinus-znajac-tangens). Następny krok: Losuj kolejne zadanie z trygonometrii (/losuj) ## Najczęstsze pytania ### Jak obliczyć sinus kąta rozwartego? Najprościej ze wzoru redukcyjnego \(\sin\alpha = \sin(180^\circ - \alpha)\): sinus kąta rozwartego jest równy sinusowi kąta ostrego, który dopełnia go do \(180^\circ\). Na przykład \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Gdy znasz punkt na ramieniu kąta, liczysz \(\sin\alpha = \frac{y}{r}\). ### Czy sinus kąta rozwartego może być ujemny? Nie. Punkt na ramieniu kąta rozwartego leży w drugiej ćwiartce, więc ma dodatnią drugą współrzędną \(y\), a \(r\) jest zawsze dodatnie. Dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) sinus nie jest ujemny, a zerem jest tylko dla \(0^\circ\) i \(180^\circ\). ### Dlaczego cosinus kąta rozwartego jest ujemny? Bo cosinus to \(\frac{x}{r}\), a punkt na ramieniu kąta rozwartego leży na lewo od osi \(Oy\), czyli ma ujemne \(x\). Im bliżej \(180^\circ\), tym bliżej \(-1\): \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), a \(\cos 180^\circ = -1\). ### Jak obliczyć cosinus kąta, gdy ramię przechodzi przez punkt P? Policz odległość punktu od początku układu \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) i podziel przez nią pierwszą współrzędną: \(\cos\alpha = \frac{x}{r}\). Dla \(P = (-4, 3)\) masz \(r = 5\) i \(\cos\alpha = -\frac{4}{5}\). ### Ile wynosi sin 120°, cos 120° i tg 120°? \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\) i \(\operatorname{tg} 120^\circ = -\sqrt{3}\). Wszystkie trzy bierzesz z kąta \(60^\circ\), bo \(120^\circ = 180^\circ - 60^\circ\): sinus zostaje bez zmian, a cosinus i tangens zmieniają znak. ### Czy wynik zależy od tego, który punkt na ramieniu wybiorę? Nie. Każdy inny punkt tego samego ramienia to punkt \(P\) o współrzędnych pomnożonych przez tę samą liczbę dodatnią, więc \(x\), \(y\) i \(r\) rosną tyle samo razy, a ilorazy się nie zmieniają. Dlatego przy danym tangensie wolno dobrać wygodny punkt o całkowitych współrzędnych. ### Jak z tangensa kąta rozwartego obliczyć sinus i cosinus? Wybierz punkt w drugiej ćwiartce, dla którego \(\frac{y}{x}\) jest równe danemu tangensowi, policz \(r\) i podziel współrzędne przez \(r\). Dla \(\operatorname{tg}\alpha = -3\) punkt \((-1, 3)\) daje \(r = \sqrt{10}\), \(\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}\) i \(\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}\).