---
route: /funkcja-logarytmiczna-wykres-dziedzina-monotonicznosc-matura
title: Funkcja logarytmiczna - wykres, dziedzina i monotoniczność
description: Funkcja logarytmiczna na maturze: dziedzina, miejsce zerowe x = 1, wykres z asymptotą pionową, monotoniczność od podstawy i 5 zadań z rozwiązaniami.
type: task_solution
category: Logarytmy
tags: funkcja logarytmiczna, wykres funkcji logarytmicznej, dziedzina funkcji logarytmicznej, monotoniczność funkcji logarytmicznej, funkcja logarytmiczna zadania, funkcja logarytmiczna matura, podstawa logarytmu warunki, asymptota funkcji logarytmicznej, funkcja odwrotna do wykładniczej, logarytmy matura zadania
published: 2026-09-07T07:15:00+00:00
updated: 2026-09-08T00:25:55.175559+00:00
---
# Funkcja logarytmiczna - wykres, dziedzina i monotoniczność
Funkcja logarytmiczna to funkcja dana wzorem \(f(x) = \log_a x\), w której podstawa \(a\) jest dodatnia i różna od \(1\). Jej dziedziną jest przedział \((0, +\infty)\), zbiorem wartości cały zbiór liczb rzeczywistych, a jedynym miejscem zerowym \(x = 1\). Dla \(a > 1\) funkcja jest rosnąca, dla \(0  0\) oraz \(a \ne 1\).

Te dwa ograniczenia nie są kaprysem. Gdyby \(a = 1\), to \(1^y = 1\) dla każdego wykładnika, więc równanie \(1^y = x\) nie miałoby rozwiązania dla \(x \ne 1\), a dla \(x = 1\) miałoby ich nieskończenie wiele. Funkcja musi przyporządkowywać dokładnie jedną wartość, więc podstawa \(1\) odpada. Gdyby z kolei \(a\) było ujemne, potęga \(a^y\) nie byłaby określona dla większości wykładników, na przykład \((-4)^{1/2}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Jeśli sama definicja logarytmu jest dla ciebie świeża, zacznij od poradnika [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku), a po własności działań sięgnij do zestawienia [wzorów logarytmicznych](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Dziedzina funkcji logarytmicznej

Dziedziną funkcji \(f(x) = \log_a x\) jest przedział \((0, +\infty)\). Logarytmujesz wyłącznie liczby dodatnie, bo potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni, nigdy zera ani liczby ujemnej. Z tego jednego faktu wynika najbardziej charakterystyczna cecha wykresu: leży on w całości na prawo od osi \(OY\).

W zadaniach maturalnych pod logarytmem prawie nigdy nie stoi samo \(x\), tylko całe wyrażenie. Wtedy dziedzinę wyznaczasz z warunku, że to wyrażenie ma być dodatnie. Dla funkcji \(f(x) = \log_a g(x)\) rozwiązujesz nierówność \(g(x) > 0\) i to jej rozwiązanie jest dziedziną. Ta czynność jest osobno punktowana w zadaniach otwartych, więc opłaca się ją zapisać nawet wtedy, gdy wydaje się oczywista. Więcej metod znajdziesz w poradniku o tym, [jak wyznaczyć dziedzinę funkcji](/jak-wyznaczyc-dziedzine-funkcji-matura).

**Uwaga:** podstawa i argument to dwie różne rzeczy i mają różne warunki. Podstawa \(a\) ma być dodatnia i różna od jedynki, a argument tylko dodatni. W zadaniach, w których parametr stoi w podstawie, obydwa warunki trzeba zapisać osobno.

## Wykres funkcji logarytmicznej

Wykres funkcji \(f(x) = \log_a x\) nazywa się krzywą logarytmiczną i ma cztery cechy, które wystarczy zapamiętać. Po pierwsze, zawsze przechodzi przez punkt \((1, 0)\), bo \(\log_a 1 = 0\) dla każdej dopuszczalnej podstawy. Po drugie, przechodzi też przez punkt \((a, 1)\), bo \(\log_a a = 1\). Po trzecie, nie ma punktu wspólnego z osią \(OY\), a ta oś jest jego asymptotą pionową. Po czwarte, zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc krzywa sięga dowolnie wysoko i dowolnie nisko.

Dla podstawy większej od \(1\) krzywa wychodzi z dołu tuż przy osi \(OY\), przecina oś \(OX\) w punkcie \((1, 0)\) i dalej rośnie, ale coraz wolniej. Dla podstawy z przedziału \((0, 1)\) obraz jest odbiciem lustrzanym względem osi \(OX\): krzywa spada z góry, przecina oś \(OX\) w tym samym punkcie \((1, 0)\) i maleje.

Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do [funkcji wykładniczej](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) o tej samej podstawie. Wykresy \(y = \log_a x\) i \(y = a^x\) są symetryczne względem prostej \(y = x\), więc jeśli pamiętasz kształt jednego, drugi dostajesz przez odbicie. To najszybszy sposób na naszkicowanie krzywej logarytmicznej pod presją czasu.

**Wskazówka:** do naszkicowania wykresu wystarczą dwa punkty i asymptota. Zaznacz \((1, 0)\), zaznacz \((a, 1)\), narysuj oś \(OY\) jako pionową asymptotę i połącz punkty gładką krzywą. Kierunek dobierasz z podstawy.

## Monotoniczność i porównywanie wartości

Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy wyłącznie od podstawy. Gdy \(a > 1\), funkcja jest rosnąca: większemu argumentowi odpowiada większa wartość. Gdy \(0  1\) znak zostaje bez zmian, a przy \(0  0, \; a \neq 1$$

Dziedzina funkcji logarytmicznej:

$$D_f = (0, +\infty)$$

Definicja logarytmu:

$$\log_a x = y \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x$$

Miejsce zerowe funkcji logarytmicznej:

$$\log_a 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 1$$

Dziedzina logarytmu z wyrażeniem:

$$f(x) = \log_a g(x) \quad \Rightarrow \quad g(x) > 0$$

Warunek monotoniczności:

$$a > 1 \Rightarrow f \text{ rosnąca}, \qquad 0  1\) jest rosnąca, więc drugie zdanie jest prawdziwe. Nie trzeba liczyć żadnych wartości, wystarczy spojrzeć na podstawę.

**Odpowiedź:** Pierwsze zdanie jest fałszywe, drugie prawdziwe, czyli F, P.

## Przykład 2: Dziedzina logarytmu z wyrażeniem liniowym

**Treść:** Dziedziną funkcji \(f(x) = \log_3(x - 4)\) jest zbiór:

- A) \((-\infty, 4)\)
- B) \((4, +\infty)\)
- C) \(\langle 4, +\infty)\)
- D) \(\mathbb{R} \setminus \{4\}\)

**Krok 1: Zapisz warunek dziedziny.** Pod logarytmem musi stać liczba dodatnia, więc \(x - 4 > 0\).

**Krok 2: Rozwiąż nierówność.** Przenosisz \(4\) na prawą stronę i dostajesz \(x > 4\).

**Krok 3: Zapisz wynik jako przedział.** Dziedziną jest \((4, +\infty)\). Liczba \(4\) do dziedziny nie należy, bo \(\log_3 0\) nie istnieje, więc przedział jest otwarty.

**Odpowiedź: B.** Dziedziną funkcji jest przedział \((4, +\infty)\).

## Przykład 3: Dziedzina logarytmu z wyrażeniem kwadratowym

**Treść:** Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) = \log_2(x^2 - 9)\).

**Krok 1: Zapisz warunek dziedziny.**

$$x^2 - 9 > 0$$

**Krok 2: Rozłóż lewą stronę na czynniki.** Korzystasz ze wzoru na różnicę kwadratów.

$$(x - 3)(x + 3) > 0$$

**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie z wykresu paraboli.** Miejsca zerowe wyrażenia \(x^2 - 9\) to \(-3\) oraz \(3\), a ramiona paraboli są skierowane w górę. Wartości dodatnie leżą więc poza miejscami zerowymi. Ten sam schemat opisujemy szerzej przy [nierównościach kwadratowych](/nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania).

**Krok 4: Zapisz sumę przedziałów.** Rozwiązaniem nierówności jest suma dwóch przedziałów otwartych.

$$D_f = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$$

**Odpowiedź:** \(D_f = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)\).

## Przykład 4: Podstawa z punktu należącego do wykresu

**Treść:** Do wykresu funkcji \(f(x) = \log_a x\) należy punkt \(P = (8, 3)\). Podstawa \(a\) jest równa:

- A) \(2\)
- B) \(3\)
- C) \(8\)
- D) \(24\)

**Krok 1: Podstaw współrzędne punktu do wzoru.** Punkt należy do wykresu, więc \(f(8) = 3\), czyli \(\log_a 8 = 3\).

**Krok 2: Zamień logarytm na potęgę.** Z definicji logarytmu równość \(\log_a 8 = 3\) znaczy dokładnie tyle, co \(a^3 = 8\).

**Krok 3: Rozwiąż równanie.** Jedyną liczbą, której sześcian daje \(8\), jest \(2\). Warunek \(a > 0\) i \(a \ne 1\) jest spełniony, więc \(a = 2\).

**Krok 4: Sprawdź wynik.** Podstawiasz \(a = 2\) i liczysz \(\log_2 8 = 3\), bo \(2^3 = 8\). Punkt \((8, 3)\) faktycznie leży na wykresie.

**Odpowiedź: A.** Podstawa logarytmu wynosi \(2\).

## Przykład 5: Monotoniczność decyduje o znaku nierówności

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(\log_{\frac{1}{2}} x > 3\).

**Krok 1: Zapisz dziedzinę.** Pod logarytmem stoi samo \(x\), więc \(x > 0\).

**Krok 2: Zapisz prawą stronę jako logarytm o tej samej podstawie.** Ponieważ \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\), liczbę \(3\) zapisujesz jako logarytm.

$$3 = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$$

**Krok 3: Porównaj argumenty, pamiętając o podstawie.** Podstawa \(\frac{1}{2}\) leży w przedziale \((0, 1)\), więc funkcja jest malejąca. Przy zdejmowaniu logarytmu znak nierówności odwraca się.

$$x  0\) z warunkiem \(x  3\), więc ta liczba faktycznie należy do rozwiązania.

**Odpowiedź:** \(x \in \left(0, \frac{1}{8}\right)\).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Wpisujesz do dziedziny wszystkie liczby rzeczywiste. Funkcja logarytmiczna nie jest określona dla zera ani dla liczb ujemnych, a przy wyrażeniu pod logarytmem dziedzina bywa sumą przedziałów, a nie jednym przedziałem.

**Pułapka 2:** Mylisz podstawę z wartością funkcji. Dla \(f(x) = \log_6 x\) wartość \(f(36)\) wynosi \(2\), a nie \(6\). Podstawa mówi, czym potęgujesz, a wartość funkcji jest wykładnikiem.

**Pułapka 3:** Przy podstawie z przedziału \((0, 1)\) zapominasz odwrócić znak nierówności. To najdroższy błąd w tym dziale, bo daje odpowiedź poprawną rachunkowo i całkowicie błędną merytorycznie. Zanim ruszysz z rachunkami, popatrz na podstawę.

**Pułapka 4:** Szukasz punktu przecięcia wykresu z osią \(OY\). Takiego punktu nie ma, bo zero nie należy do dziedziny. Oś \(OY\) jest asymptotą, a krzywa zbliża się do niej dowolnie blisko, ale nigdy jej nie dotyka.

**Pułapka 5:** Rozwiązujesz nierówność logarytmiczną i zapominasz o dziedzinie. Rozwiązanie końcowe to zawsze część wspólna wyniku rachunku i dziedziny, nawet jeśli rachunek wygląda na kompletny.

**Zapamiętaj:** podstawa większa od \(1\) oznacza funkcję rosnącą, podstawa między \(0\) a \(1\) funkcję malejącą. Miejsce zerowe zawsze wypada w \(x = 1\), niezależnie od podstawy.

Logarytm jest odwrotnością potęgowania, więc pojawia się wszędzie tam, gdzie coś rośnie albo maleje wykładniczo. Zobacz zadanie o rozpadzie promieniotwórczym z arkusza CKE z 2025 roku i sprawdź, jak szybko sprowadza się ono do porównania wykładników.

Zadanie z bazy: /task/cke-2025-pp-39

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z bazy dotyczące logarytmów: od prostych działań na logarytmach po zadania z funkcją logarytmiczną. Rozwiąż je samodzielnie, a potem porównaj z pełnym rozwiązaniem w aplikacji. Komplet zadań z tego działu zebraliśmy w zestawie [zadań CKE z logarytmów z rozwiązaniami](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami), a wszystkie zadania z bazy znajdziesz na stronie działu [logarytmy](/topics/logarytmy).

## Co musisz umieć - checklista

- Podać wzór funkcji logarytmicznej i warunki na podstawę: \(a > 0\) oraz \(a \ne 1\).
- Wyznaczyć dziedzinę funkcji \(f(x) = \log_a g(x)\) z warunku \(g(x) > 0\).
- Rozstrzygnąć monotoniczność na podstawie samej podstawy logarytmu.
- Wskazać miejsce zerowe \(x = 1\) i punkt \((a, 1)\) na wykresie.
- Naszkicować krzywą logarytmiczną z asymptotą pionową w osi \(OY\).
- Odwrócić znak nierówności, gdy podstawa leży w przedziale \((0, 1)\).
- Powiązać wykres funkcji logarytmicznej z wykresem funkcji wykładniczej przez symetrię względem prostej \(y = x\).

Quiz: Sprawdź się: funkcja logarytmiczna

Pytanie: Jaka jest dziedzina funkcji \(f(x) = \log_5(x + 2)\)?
- A. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych
- B. \((-\infty, -2)\)
- C. \((-2, +\infty)\)
- D. \(\langle -2, +\infty)\)
Poprawna odpowiedź: C
Wyjaśnienie: Warunek dziedziny to \(x + 2 > 0\), czyli \(x > -2\). Przedział jest otwarty, bo dla \(x = -2\) pod logarytmem stałoby zero.

Pytanie: Funkcja \(f(x) = \log_{0{,}3} x\) jest:
- A. rosnąca w całej dziedzinie
- B. malejąca w całej dziedzinie
- C. stała
- D. rosnąca dla \(x > 1\), a malejąca dla \(x  1\) funkcja jest rosnąca, dla \(0  0\), gdzie \(g\) to wyrażenie spod logarytmu. Dla wyrażenia liniowego dostajesz jeden przedział, dla kwadratowego często sumę dwóch przedziałów. Gdy w podstawie też stoi parametr, dopisujesz dodatkowo warunki \(a > 0\) i \(a \ne 1\).

### Jaki jest związek funkcji logarytmicznej z wykładniczą?

To funkcje wzajemnie odwrotne o tej samej podstawie. Wykresy \(y = \log_a x\) i \(y = a^x\) są symetryczne względem prostej \(y = x\), a każda równość \(\log_a x = y\) da się przepisać jako \(a^y = x\). Ta zamiana jest podstawową metodą przy [rozwiązywaniu równań logarytmicznych](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne).

### Czy funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa?

Tak. Skoro jest rosnąca albo malejąca na całej dziedzinie, każdą wartość przyjmuje dokładnie raz. Dlatego z równości \(\log_a x_1 = \log_a x_2\) wolno wyciągnąć wniosek \(x_1 = x_2\), pod warunkiem że obie liczby należą do dziedziny.

### Czy funkcja logarytmiczna ma wartość największą lub najmniejszą?

Nie ma ani jednej, ani drugiej. Zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc krzywa sięga dowolnie wysoko i dowolnie nisko. Wartość najmniejsza lub największa może pojawić się dopiero wtedy, gdy zawęzisz dziedzinę do przedziału domkniętego.