--- route: /exams/matura-sierpien-2015 title: Matura sierpień 2015 - arkusz maturalny description: Zadania z arkusza maturalnego Matura sierpień 2015 --- # Matura sierpień 2015 - arkusz maturalny z matematyki Liczba zadań: **34** ## Zadania ### Zadanie matura-sierpie-2015-01 (Wyrażenia algebraiczne, 1 pkt) Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa **Odpowiedź:** C ### Zadanie matura-sierpie-2015-02 (Procenty, 1 pkt) Dany jest prostokąt o wymiarach \(40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta ... **Odpowiedź:** D ### Zadanie matura-sierpie-2015-03 (Liczby rzeczywiste, 1 pkt) Liczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa **Odpowiedź:** D ### Zadanie matura-sierpie-2015-04 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa **Odpowiedź:** B ### Zadanie matura-sierpie-2015-05 (Logarytmy, 1 pkt) Wartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa **Odpowiedź:** C ### Zadanie matura-sierpie-2015-06 (Wyrażenia algebraiczne, 1 pkt) Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o **Odpowiedź:** D ### Zadanie matura-sierpie-2015-07 (Układy równań, 1 pkt) Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \[\begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=... **Odpowiedź:** A ### Zadanie matura-sierpie-2015-08 (Równania i nierówności, 1 pkt) Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest **Odpowiedź:** C ### Zadanie matura-sierpie-2015-09 (Równania i nierówności, 1 pkt) Rozwiązaniem równania \(x^2(x +1) = x^2−8\) jest **Odpowiedź:** B ### Zadanie matura-sierpie-2015-10 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Wówczas wartość ... **Odpowiedź:** A ### Zadanie matura-sierpie-2015-11 (Funkcja kwadratowa, 1 pkt) Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem **Odpowiedź:** C ### Zadanie matura-sierpie-2015-12 (Funkcja liniowa, 1 pkt) Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych **Odpowiedź:** A ### Zadanie matura-sierpie-2015-13 (Funkcja kwadratowa, 1 pkt) Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek p... **Odpowiedź:** B ### Zadanie matura-sierpie-2015-14 (Ciągi, 1 pkt) Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego cią... **Odpowiedź:** C ### Zadanie matura-sierpie-2015-15 (Ciągi, 1 pkt) Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy **Odpowiedź:** B ### Zadanie matura-sierpie-2015-16 (Trygonometria, 1 pkt) Sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas **Odpowiedź:** B ### Zadanie matura-sierpie-2015-17 (Trygonometria, 1 pkt) W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy **Odpowiedź:** C ### Zadanie matura-sierpie-2015-18 (Planimetria, 1 pkt) Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150^\circ \) jest równe **Odpowiedź:** B ### Zadanie matura-sierpie-2015-19 (Planimetria, 1 pkt) W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku l... **Odpowiedź:** A ### Zadanie matura-sierpie-2015-20 (Funkcja liniowa, 1 pkt) Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A = (−4,3)\) oraz \(B = (8,7)\), jest równy **Odpowiedź:** D ### Zadanie matura-sierpie-2015-21 (Geometria analityczna, 1 pkt) Punkt \(S = (2,−5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A = (−4,3)\) i \(B = (8,b)\). Wtedy **Odpowiedź:** A ### Zadanie matura-sierpie-2015-22 (Stereometria, 1 pkt) Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a, b, c\), gdzie \(a \lt b \lt c\). Obracając ten trójkąt wokół pros... **Odpowiedź:** A ### Zadanie matura-sierpie-2015-23 (Stereometria, 1 pkt) Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy \(4\) i wysokość jest równa \(6,\) ma długość **Odpowiedź:** D ### Zadanie matura-sierpie-2015-24 (Prawdopodobieństwo, 1 pkt) W grupie jest \(15\) kobiet i \(18\) mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to k... **Odpowiedź:** C ### Zadanie matura-sierpie-2015-25 (Kombinatoryka, 1 pkt) Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założen... **Odpowiedź:** D ### Zadanie matura-sierpie-2015-26 (Równania i nierówności, 2 pkt) Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 2\). **Odpowiedź:** \(x=\frac{4}{3}\) lub \(x=4\) ### Zadanie matura-sierpie-2015-27 (Prawdopodobieństwo, 2 pkt) Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się \(6\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(6\), a w drugim - \... **Odpowiedź:** \(\frac{1}{8}\) ### Zadanie matura-sierpie-2015-28 (Równania i nierówności, 2 pkt) Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\). **Odpowiedź:** \(x\in \langle 2;3\rangle \) ### Zadanie matura-sierpie-2015-29 (Trygonometria, 2 pkt) Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}... **Odpowiedź:** \(\frac{2}{7}\) ### Zadanie matura-sierpie-2015-30 (Równania i nierówności, 2 pkt) Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + x... **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie matura-sierpie-2015-31 (Geometria analityczna, 2 pkt) W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole tr... **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie matura-sierpie-2015-32 (Geometria analityczna, 4 pkt) Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A = (−2, 2)\), \(B = (6, − 2)\), \(C = (10,6)\). **Odpowiedź:** \(y=-3x+16\) ### Zadanie matura-sierpie-2015-33 (Stereometria, 4 pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zo... **Odpowiedź:** \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\) ### Zadanie matura-sierpie-2015-34 (Funkcja kwadratowa, 5 pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) je... **Odpowiedź:** \(a=-\frac{1}{4}\), \(b=3\), \(c=0\)