---
route: /exams/matura-rozszerzona-maj-2019
title: Matura rozszerzona maj 2019 - arkusz maturalny
description: Zadania z arkusza maturalnego Matura rozszerzona maj 2019
---

# Matura rozszerzona maj 2019 - arkusz maturalny z matematyki

Liczba zadań: **15**

## Zadania

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-1 (Logarytmy, 1 pkt)

Dla dowolnych liczb \(x > 0\), \(x \neq 1\), \(y > 0\), \(y \neq 1\) wartość wyrażenia \(\left( \log_{\frac{1}{x}} y \ri...
**Odpowiedź:** D

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-10 (Planimetria, 4 pkt)

Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC| = 16\), \(|AD| = 6\), \(|CD| = 14\) i \(|BC| = |BD|\). Obli...
**Odpowiedź:** Obwód trójkąta \(ABC\) jest równy \(L_{ABC} = 16 + 6 + 2 \cdot 49 = 120\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-11 (Geometria analityczna, 6 pkt)

Dane są okręgi o równaniach \(x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0\) i \(x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0\). Wyznacz wszystk...
**Odpowiedź:** Podane okręgi są styczne zewnętrznie dla \(a = 6\left(1 + \sqrt{3}\right)\) lub dla \(a = 6\left(1 - \sqrt{3}\right)\), natomiast są okręgami stycznymi wewnętrznie dla \(a = 6\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-12 (Ciągi, 6 pkt)

Trzywyrazowy ciąg \((a,\, b,\, c)\) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg \(\left( \frac{1}{a},\, \frac...
**Odpowiedź:** Iloraz ciągu geometrycznego \(q = \frac{1}{3}\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-13 (Wielomiany, 6 pkt)

Wielomian określony wzorem \(W(x) = 2x^3 + \left(m^3 + 2\right)x^2 - 11x - 2(2m + 1)\) jest podzielny przez dwumian \((x...
**Odpowiedź:** \(m = 1\), a zbiorem rozwiązań nierówności jest \(x \in \left(-\infty,\ -3\right\rangle \cup \left\langle -\frac{1}{2},\ 2\right\rangle\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-14 (Trygonometria, 4 pkt)

Rozwiąż równanie \((\cos x)\left[ \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \right] = \fra...
**Odpowiedź:** \(x = k\pi\) lub \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\), lub \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą (równoważnie \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{2}{3}k\pi\) lub \(x = 2k\pi\))

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-15 (Rachunek różniczkowy, 7 pkt)

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(V = 2\). Wyznacz długości krawędzi tego z rozważany...
**Odpowiedź:** Najmniejsze pole powierzchni całkowitej równe \(6\sqrt{3}\) ma graniastosłup prawidłowy trójkątny o wymiarach: krawędź podstawy \(a = 2\) i wysokość \(h = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-2 (Trygonometria, 1 pkt)

Liczba \(\cos^2 105^\circ - \sin^2 105^\circ\) jest równa
**Odpowiedź:** A

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-3 (Wartość bezwzględna, 1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(y = f(x)\), który jest złożony z dwóch półprostych \(AD\) i \(CE\) o...
**Odpowiedź:** B

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-4 (Prawdopodobieństwo, 1 pkt)

Zdarzenia losowe \(A\) i \(B\) zawarte w \(\Omega\) są takie, że prawdopodobieństwo \(P(B')\) zdarzenia \(B'\), przeciwn...
**Odpowiedź:** C

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-5 (Ciągi, 2 pkt)

Oblicz granicę

\[\lim_{n \to \infty} \left( \frac{9n^3 + 11n^2}{7n^3 + 5n^2 + 3n + 1} - \frac{n^2}{3n^2 + 1} \right)\]
...
**Odpowiedź:** \(\lim_{n \to \infty} \left( \frac{9n^3 + 11n^2}{7n^3 + 5n^2 + 3n + 1} - \frac{n^2}{3n^2 + 1} \right) = \frac{9}{7} - \frac{1}{3} = \frac{20}{21} = 0{,}(952380)\); zakodowane cyfry: 9, 5, 2 albo 5, 2, 3, albo 2, 3, 8, albo 3, 8, 0, albo 8, 0, 9, albo 0, 9, 5

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-6 (Kombinatoryka, 3 pkt)

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\), bez powt...
**Odpowiedź:** Suma wszystkich rozważanych liczb jest równa \(6666600\).

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-7 (Rachunek różniczkowy, 2 pkt)

Punkt \(P = (10, 2429)\) leży na paraboli o równaniu \(y = 2x^2 + x + 2219\). Prosta o równaniu kierunkowym \(y = ax + b...
**Odpowiedź:** Współczynnik \(b = 2019\).

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-8 (Wyrażenia algebraiczne, 3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x  2\).

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2019-9 (Planimetria, 3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Na ramieniu \(AC\) tego trójkąta wybrano punkt \(M\) ...