---
route: /exams/matura-rozszerzona-maj-2011
title: Matura rozszerzona maj 2011 - arkusz maturalny
description: Zadania z arkusza maturalnego Matura rozszerzona maj 2011
---

# Matura rozszerzona maj 2011 - arkusz maturalny z matematyki

Liczba zadań: **12**

## Zadania

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-1 (Liczby rzeczywiste, 4 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej \(k\) liczba \(k^6 - 2k^4 + k^2\) jest podzielna przez 36.

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-10 (Planimetria, 3 pkt)

Dany jest czworokąt wypukły \(ABCD\) niebędący równoległobokiem. Punkty \(M\), \(N\) są odpowiednio środkami boków \(AB\...

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-11 (Stereometria, 6 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). W trójkącie równoramiennym \(ASC\) stosunek d...
**Odpowiedź:** \(\sin\alpha = \frac{4\sqrt{82}}{41}\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-12 (Prawdopodobieństwo, 3 pkt)

\(A\), \(B\) są zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega\). Wykaż, że jeżeli \(P(A) = 0{,}9\) i \(P(B) = 0{,}7\), to \(...

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-2 (Wyrażenia algebraiczne, 4 pkt)

Uzasadnij, że jeżeli \(a \neq b\), \(a \neq c\), \(b \neq c\) i \(a + b = 2c\), to \(\frac{a}{a - c} + \frac{b}{b - c} =...

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-3 (Równania z parametrem, 6 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 - 4mx - m^3 + 6m^2 + m - 2 = 0\) ma dwa różne pie...
**Odpowiedź:** \(m \in (0,1) \cup (2,3)\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-4 (Trygonometria, 4 pkt)

Rozwiąż równanie \(2\sin^2 x - 2\sin^2 x \cos x = 1 - \cos x\) w przedziale \(\langle 0, 2\pi \rangle\).
**Odpowiedź:** \(x = 0\), \(x = \frac{1}{4}\pi\), \(x = \frac{3}{4}\pi\), \(x = \frac{5}{4}\pi\), \(x = \frac{7}{4}\pi\), \(x = 2\pi\) (albo \(x = 0^\circ\), \(45^\circ\), \(135^\circ\), \(225^\circ\), \(315^\circ\), \(360^\circ\))

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-5 (Ciągi, 4 pkt)

O ciągu \((x_n)\) dla \(n \ge 1\) wiadomo, że:

a) ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = 3^{x_n}\) dla \(n \ge 1\) jes...
**Odpowiedź:** \(x_1 = 1\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-6 (Planimetria, 4 pkt)

Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) ma długość \(8\) oraz \(|\sphericalangle BAC| = 30^\circ\). Oblicz dług...
**Odpowiedź:** \(|AD| = \frac{4\sqrt{21}}{3}\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-7 (Geometria analityczna, 4 pkt)

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu \(x^2 + y^2 + 2x - 2y - 3 = 0\) poprowadzonymi przez punkt \(A = (2, 0)\).
**Odpowiedź:** Miara kąta między stycznymi jest równa \(90^\circ\) (styczne są do siebie prostopadłe).

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-8 (Stereometria, 4 pkt)

Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24,...
**Odpowiedź:** \(a = 1\)

### Zadanie pr-matura-rozszerzona-maj-2011-9 (Kombinatoryka, 4 pkt)

Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują...
**Odpowiedź:** \(192080\)