--- route: /exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023 title: Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2023) - arkusz maturalny description: Zadania z arkusza maturalnego Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2023) --- # Matura rozszerzona czerwiec 2023 (formuła 2023) - arkusz maturalny z matematyki Liczba zadań: **13** ## Zadania ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-1 (Logarytmy, 2 pkt) Dane są liczby \[a = 4^{\log_2 45} \quad \text{oraz} \quad b = \frac{\log_3 2023}{\log_9 2023}\] Oblicz \(a - b\). **Odpowiedź:** \(a - b = 2023\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-10 (Równania z parametrem, 5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[mx^2 - (m + 1)x - 2m + 3 = 0\] ma dokładnie dwa róż... **Odpowiedź:** \(m \in \left(-4 - 2\sqrt{6}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1}{9}\right)\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-11 (Ciągi, 5 pkt) Ciąg \((a, b, c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a, 2b, c + 1)\) jest trzywyra... **Odpowiedź:** \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 9\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-12 (Planimetria, 5 pkt) Czworokąt wypukły \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o promieniu \(4\). Kąty \(BAD\) i \(BCD\) są proste (zobacz rysunek). Pr... **Odpowiedź:** \(|AB| = 2\sqrt{10}\), \(|BC| = 3\sqrt{6}\), \(|CD| = \sqrt{10}\), \(|AD| = 2\sqrt{6}\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-13 (Rachunek różniczkowy, 6 pkt) Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne \(ABCDEFGH\), w których odcinek łączący punkt \(O\) przecięcia... **Odpowiedź:** \(V(h) = 2(d^2 - h^2) \cdot h = 2(d^2h - h^3)\) dla \(0 < h < d\); spośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości \(h = \frac{d}{\sqrt{3}}\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-2 (Kombinatoryka, 3 pkt) Wśród \(n\) osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te \(n\) osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystki... **Odpowiedź:** \(n = 9\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-3 (Prawdopodobieństwo, 3 pkt) Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedync... **Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{9\,743\,085}{10\,000\,000} \approx 0{,}97\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-4 (Rachunek różniczkowy, 3 pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 9x\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\). Punkt \(P = (x_0, 18)\... **Odpowiedź:** \(y = 17x - 16\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-5 (Wyrażenia algebraiczne, 3 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej \(a\) prawdziwa jest nierówność \[a^2 + \frac{16}{a} \geq 12\] ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-6 (Planimetria, 3 pkt) Dany jest okrąg \(O\). Przez punkt \(A\) poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowied... ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-7 (Ciągi, 4 pkt) Dany jest nieskończony szereg geometryczny \[2x - \frac{6x}{x - 1} + \frac{18x}{(x - 1)^2} - \frac{54x}{(x - 1)^3} + \l... **Odpowiedź:** \(x = 6\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-8 (Trygonometria, 4 pkt) Rozwiąż równanie \[\sin(5x) + \cos x = 0\] w zbiorze \(\left\langle -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\rangle\). Zap... **Odpowiedź:** \(x \in \left\{-\frac{5\pi}{12},\ -\frac{\pi}{8},\ -\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{8}\right\}\) ### Zadanie pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023-9 (Geometria analityczna, 4 pkt) W okrąg o równaniu \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\) wpisano trójkąt \(ABC\). Bok \(AB\) tego trójkąta jest zawarty w prost... **Odpowiedź:** \(P = 20\)