--- route: /exams/matura-czerwiec-2015 title: Matura czerwiec 2015 - arkusz maturalny description: Zadania z arkusza maturalnego Matura czerwiec 2015 --- # Matura czerwiec 2015 - arkusz maturalny z matematyki Liczba zadań: **34** ## Zadania ### [Zadanie 1](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-01) (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Liczba \(2\sqrt{18}-\sqrt{32}\) jest równa **Odpowiedź:** D ### [Zadanie 2](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-02) (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[5]{-32}\cdot 2^{-1}}{4}\cdot 2^{2}\) jest równa **Odpowiedź:** D ### [Zadanie 3](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-03) (Procenty, 1 pkt) Przy 23-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa \(45\,018\) zł. Jaka jest cena netto tego samoch... **Odpowiedź:** B ### [Zadanie 4](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-04) (Wyrażenia algebraiczne, 1 pkt) Wyrażenie \(3a^2-12ab+12b^2\) może być przekształcone do postaci **Odpowiedź:** C ### [Zadanie 5](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-05) (Układy równań, 1 pkt) Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+ay=5\\ 2x-y=3\end{cases}\), gdy **Odpowiedź:** D ### [Zadanie 6](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-06) (Równania i nierówności, 1 pkt) Równanie \(2x^2+11x+3=0\) **Odpowiedź:** D ### [Zadanie 7](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-07) (Trygonometria, 1 pkt) Wartość wyrażenia \(\sin 120^\circ-\cos 30^\circ\) jest równa **Odpowiedź:** C ### [Zadanie 8](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-08) (Trygonometria, 1 pkt) Wyrażenie \(3\sin^3\alpha\cos\alpha+3\sin\alpha\cos^3\alpha\) może być przekształcone do postaci **Odpowiedź:** B ### [Zadanie 9](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-09) (Funkcja liniowa, 1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\) przechodzącej przez punkty \((0,-2)\) i \((6,2)\). ... **Odpowiedź:** A ### [Zadanie 10](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-10) (Funkcja liniowa, 1 pkt) Prosta \(k\) przecina oś \(Oy\) układu współrzędnych w punkcie \((0,6)\) i jest równoległa do prostej o równaniu \(y=-3x... **Odpowiedź:** C ### [Zadanie 11](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-11) (Równania i nierówności, 1 pkt) Liczba niewymiernych rozwiązań równania \(x^2(x+5)(2x-3)\left(x^2-7\right)=0\) jest równa **Odpowiedź:** D ### [Zadanie 12](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-12) (Funkcje, 1 pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w przedziale **Odpowiedź:** C ### [Zadanie 13](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-13) (Ciągi, 1 pkt) Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2^n\) dla \(n\ge 1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyr... **Odpowiedź:** B ### [Zadanie 14](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-14) (Ciągi, 1 pkt) Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa \(13\). Wynika stąd, że suma trzeciego i czwar... **Odpowiedź:** A ### [Zadanie 15](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-15) (Planimetria, 1 pkt) Miary kątów wewnętrznych pewnego trójkąta pozostają w stosunku \(3:4:5\). Najmniejszy kąt wewnętrzny tego trójkąta ma mi... **Odpowiedź:** A ### [Zadanie 16](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-16) (Planimetria, 1 pkt) W trójkącie \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), na boku \(AB\) wybrano punkt \(D\) taki, że \(|BD|=|CD|\) oraz \(|\spherica... **Odpowiedź:** B ### [Zadanie 17](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-17) (Planimetria, 1 pkt) Długości boków trójkąta są liczbami całkowitymi. Jeden bok ma \(7\) cm, a drugi ma \(2\) cm. Trzeci bok tego trójkąta mo... **Odpowiedź:** C ### [Zadanie 18](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-18) (Planimetria, 1 pkt) Boki trójkąta mają długości \(20\) i \(12\), a kąt między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Pole tego trójkąta jest ró... **Odpowiedź:** C ### [Zadanie 19](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-19) (Stereometria, 1 pkt) Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Kąt \(\alpha\) rozwarcia tego stożka jest ... **Odpowiedź:** C ### [Zadanie 20](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-20) (Stereometria, 1 pkt) Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie **Odpowiedź:** A ### [Zadanie 21](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-21) (Stereometria, 1 pkt) W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszc... **Odpowiedź:** B ### [Zadanie 22](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-22) (Liczby rzeczywiste, 1 pkt) Liczba \(0{,}3\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{5}{16}\). Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentac... **Odpowiedź:** A ### [Zadanie 23](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-23) (Statystyka, 1 pkt) Średnia arytmetyczna zestawu danych: \(2, 4, 7, 8, x\) jest równa \(n\), natomiast średnia arytmetyczna zestawu danych: ... **Odpowiedź:** A ### [Zadanie 24](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-24) (Kombinatoryka, 1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) i niepodzielnych przez \(9\)? **Odpowiedź:** B ### [Zadanie 25](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-25) (Prawdopodobieństwo, 1 pkt) Na loterię przygotowano pulę \(100\) losów, w tym \(4\) wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których b... **Odpowiedź:** D ### [Zadanie 26](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-26) (Równania i nierówności, 2 pkt) Rozwiąż nierówność \(3x^2-9x\le x-3\). **Odpowiedź:** \(x\in\left\langle \frac{1}{3},3\right\rangle\) ### [Zadanie 27](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-27) (Równania i nierówności, 2 pkt) Rozwiąż równanie \(x\left(x^2-2x+3\right)=0\). **Odpowiedź:** \(x=0\) ### [Zadanie 28](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-28) (Planimetria, 2 pkt) Czworokąt \(ABCD\) wpisano w okrąg tak, że bok \(AB\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AD|^2... ### [Zadanie 29](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-29) (Równania i nierówności, 2 pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) prawdziwa jest nierówność \(3x^2+5y^2-4xy\ge 0\). ### [Zadanie 30](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-30) (Funkcja kwadratowa, 2 pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) dla \(x=-3\) przyjmuje wartość największą równą \(4\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \(... **Odpowiedź:** \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\) ### [Zadanie 31](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-31) (Prawdopodobieństwo, 2 pkt) Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polega... **Odpowiedź:** \(P(A)=\frac{1}{6}\) ### [Zadanie 32](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-32) (Ciągi, 4 pkt) Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), dla \(n\ge 1\), taki, że \(a_5=18\). Wyrazy \(a_1\), \(a_3\)... **Odpowiedź:** \(a_n=4n-2\) ### [Zadanie 33](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-33) (Geometria analityczna, 4 pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Ponadto wiadomo, że \(A=(-2,4)\) i \(B=(6,-2)\). Wierzc... **Odpowiedź:** \(C=\left(0,-\frac{5}{3}\right)\) ### [Zadanie 34](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2015-34) (Stereometria, 5 pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostros... **Odpowiedź:** \(P_c=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}\)