--- route: /exams/cke-2025-pp title: CKE 2025 PP - arkusz maturalny description: Zadania z arkusza maturalnego CKE 2025 PP --- # CKE 2025 PP - arkusz maturalny z matematyki Liczba zadań: **69** ## Zadania ### Zadanie cke-2025-pp-01 (Wyrażenia algebraiczne, 1 pkt) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia \(2024:\left(1-\frac{1}{2025}\right)-\lef... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2025-pp-02 (Procenty, 2 pkt) Pensja pana X jest o \(50\%\) wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o \(40\%\) niższa od średniej krajowej. ... **Odpowiedź:** CE ### Zadanie cke-2025-pp-03 (Liczby rzeczywiste, 2 pkt) Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \((3 n+5)^2+11 n^2-18\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \... **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie cke-2025-pp-04 (Liczby rzeczywiste, 3 pkt) Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a\lt b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\). Udowodn... **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie cke-2025-pp-05 (Liczby rzeczywiste, 2 pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\) liczba \(n\left(n^2+3 n+2\right)\) jest podzielna przez \(6\). **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie cke-2025-pp-06 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\s... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2025-pp-07 (Potęgi i pierwiastki, 2 pkt) Udowodnij, że liczba \(3^{45}+9^{22}+27^{14}\) jest podzielna przez \(37\). **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie cke-2025-pp-08 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|\) jest równa **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2025-pp-09 (Procenty, 1 pkt) Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2025-pp-10 (Logarytmy, 1 pkt) Na wykresie przedstawiono zależność \(\log K(t)\), gdzie \(K(t)\) jest liczbą bakterii w próbce po czasie \(t\) wyrażony... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2025-pp-11 (Logarytmy, 1 pkt) Liczba \(\log_2\left[(\sqrt{2})^2\cdot (\sqrt{2})^4\cdot (\sqrt{2})^8\right]\) jest równa **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2025-pp-12 (Logarytmy, 1 pkt) Dane są liczby \(a=\log _2(3 \sqrt{5}+\sqrt{13})\) oraz \(b=\log _2(3 \sqrt{5}-\sqrt{13})\). Dokończ zdanie. Zaznacz wła... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2025-pp-13 (Potęgi i pierwiastki, 2 pkt) Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie, że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Oblicz wartość ... **Odpowiedź:** \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) ### Zadanie cke-2025-pp-14 (Potęgi i pierwiastki, 2 pkt) Dane są liczby \(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} : \... **Odpowiedź:** \(1\) ### Zadanie cke-2025-pp-15 (Potęgi i pierwiastki, 2 pkt) Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R} \) liczb rzeczywistych. W rozw... **Odpowiedź:** CE ### Zadanie cke-2025-pp-16 (Wyrażenia algebraiczne, 1 pkt) Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{2 x^2}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x}\). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli z... **Odpowiedź:** FP ### Zadanie cke-2025-pp-17 (Równania i nierówności, 1 pkt) Dana jest nierówność \[ \frac{2 x-1}{2}-\frac{x+2}{3} \geq \frac{1}{6} \] Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi ... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2025-pp-18 (Równania i nierówności, 3 pkt) Dane jest równanie \[ \frac{2}{2 x+1}=\frac{x-1}{x+2} \] Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż to równanie. **Odpowiedź:** Dziedzina: \(x\ne-\frac{1}{2}\) i \(x\ne -2\)Rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{5}{2}\) ### Zadanie cke-2025-pp-19 (Równania i nierówności, 2 pkt) Rozwiąż nierówność \[(3 x-4)(x-1)\lt x\] **Odpowiedź:** \(x\in \left(\frac{2}{3},2\right)\) ### Zadanie cke-2025-pp-20 (Wyrażenia algebraiczne, 3 pkt) Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:\[a\ne 0,\ b\ne 0\quad \text{oraz}\quad a^3+b^3... **Odpowiedź:** \(-1\) ### Zadanie cke-2025-pp-21 (Układy równań, 1 pkt) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układ równań \(\left\{\begin{array}{c}x+2 y=1 \\ -4 x-8 y=-... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2025-pp-22 (Funkcje, 2 pkt) Funkcja \(y=f(x)\) jest określona za pomocą tabeli \(x\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(y\) \(-3\) \(2\)... **Odpowiedź:** FFF ### Zadanie cke-2025-pp-23 (Geometria analityczna, 1 pkt) Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) wykresy f... **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2025-pp-24 (Funkcje, 1 pkt) Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem: \[ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2 x-6 & \text { dla } x \leq 2 \\ x-4 & \text... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2025-pp-25 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2-b-2 \sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowy... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2025-pp-26 (Funkcja kwadratowa, 1 pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3 x^{2}+2 x+m\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik... **Odpowiedź:** A1 ### Zadanie cke-2025-pp-27 (Funkcje, 3 pkt) Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku. T... **Odpowiedź:** a) \([-5,-1)\cup (7,8]\) b) \([-3,3]\) c) Największa wartość: \(6\), najmniejsza wartość: \(-6\) ### Zadanie cke-2025-pp-31 (Geometria analityczna, 4 pkt) Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases}x+4 & \text { dla } x \in[-8,0] \\ 4 & \text { dla } x \... **Odpowiedź:** Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \([-8,6)\) .Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \([-4,4]\) .Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział \([-4,6)\) .Zbiorem wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=4\) jest przedział \([0,4]\) . ### Zadanie cke-2025-pp-32 (Geometria analityczna, 2 pkt) Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku. F... **Odpowiedź:** D, F ### Zadanie cke-2025-pp-33 (Funkcja kwadratowa, 6 pkt) Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli.... **Odpowiedź:** a) \(3{,}06\) m b) \(4{,}93\) m c) \(x \approx 8{,}99\) m ### Zadanie cke-2025-pp-38 (Funkcja wykładnicza, 1 pkt) Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i mas... **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2025-pp-39 (Logarytmy, 3 pkt) Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i mas... **Odpowiedź:** \(22\ 800\) lat ### Zadanie cke-2025-pp-40 (Ciągi, 2 pkt) Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym: \[\begin{cases} a_1 = -2 \\ a_{n+1} = n\cdot a_n + 4 \end{cases... **Odpowiedź:** \(36\) ### Zadanie cke-2025-pp-41 (Ciągi, 2 pkt) Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem ogólnym: \(a_n = 4n - 9\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\). Wykaż, że ... **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie cke-2025-pp-42 (Ciągi, 1 pkt) Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg \(\left(a_{n}\right)\) określony... **Odpowiedź:** A3 ### Zadanie cke-2025-pp-43 (Ciągi, 2 pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Oblicz wartość \(... **Odpowiedź:** \(m=\frac{1}{2}\) ### Zadanie cke-2025-pp-44 (Planimetria, 4 pkt) Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Cało... **Odpowiedź:** \(x = 100\) m, \(y = 75\) m ### Zadanie cke-2025-pp-45 (Trygonometria, 1 pkt) Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(\sin\alpha = \frac{4}{5}\) oraz 9\(0^\circ \lt \alpha \lt 180^\circ\). Oceń... **Odpowiedź:** PF ### Zadanie cke-2025-pp-46 (Planimetria, 2 pkt) W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB| = 12\), \(|BC| = 8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC| = 6... **Odpowiedź:** \(4\sqrt{7}\) ### Zadanie cke-2025-pp-47 (Potęgi i pierwiastki, 4 pkt) Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\... **Odpowiedź:** \(|\sphericalangle CAB| = 30^\circ\), \(|\sphericalangle ABC| = 30^\circ\), \(|\sphericalangle BCA| = 120^\circ\) ### Zadanie cke-2025-pp-48 (Geometria analityczna, 1 pkt) Punkt \(S\) jest środkiem ciężkości trójkąta \(ABC\). Długość odcinka \(SA\) jest równa \(10\). Dokończ zdanie. Zaznacz ... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2025-pp-49 (Geometria analityczna, 1 pkt) Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręg... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2025-pp-50 (Geometria analityczna, 1 pkt) Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\) o bokach \(|A C|=12,|B C|=5,|A B|=13\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinaj... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2025-pp-51 (Geometria analityczna, 3 pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD| = \frac{1}{4}|AB|\), a na b... **Odpowiedź:** \(P=3\) ### Zadanie cke-2025-pp-52 (Planimetria, 3 pkt) Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie. ... **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie cke-2025-pp-53 (Funkcja kwadratowa, 3 pkt) Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD| = 2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką, że \(\operatorname{tg} \alph... **Odpowiedź:** \(|CE|=\frac{4\sqrt{5}}{5}\) lub \(|CE|=\frac{4}{\sqrt{5}}\) ### Zadanie cke-2025-pp-54 (Geometria analityczna, 3 pkt) Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu... **Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu ### Zadanie cke-2025-pp-55 (Trygonometria, 3 pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB| = 4\), \(|BC| = 5\), \(|AC| = 6\). Oblicz sinus najmniejszego kąta w... **Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) ### Zadanie cke-2025-pp-56 (Geometria analityczna, 1 pkt) Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(A\). Proste \(m\), \(n\) i \(s\) są do siebie równoległe i przecinają ob... **Odpowiedź:** \(|FE|=14\) ### Zadanie cke-2025-pp-57 (Funkcja kwadratowa, 1 pkt) Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\) jest liczba \((-5)\). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będą... **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2025-pp-58 (Funkcja liniowa, 1 pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dane są punkty \(A = (1,2)\) oraz \(B = (3,7)\). Pun... **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2025-pp-59 (Geometria analityczna, 1 pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), dany jest trapez \(A B C D\), w którym boki \(AB\) i... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2025-pp-60 (Geometria analityczna, 3 pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7), C=(6,9)\) i \(D=(-... **Odpowiedź:** \(P=\left(\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\right)\) ### Zadanie cke-2025-pp-61 (Geometria analityczna, 4 pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przekątne równoległoboku \(A B C D\) przecinają się w punkcie \(S=\lef... **Odpowiedź:** \(B=(4,2)\) ### Zadanie cke-2025-pp-62 (Funkcja kwadratowa, 4 pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(A=(2,8)\) oraz \(B=(10,2)\) są wierzchołkami trójkąta równora... **Odpowiedź:** \(P=\left(\frac{9}{4},0\right)\)\(|AP|=\frac{5\sqrt{41}}{4}\) ### Zadanie cke-2025-pp-64 (Stereometria, 1 pkt) Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego podstawami. Odcinek \(BH\) jest... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2025-pp-65 (Stereometria, 4 pkt) Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego podstawami. Odcinek \(BH\) jest... **Odpowiedź:** \(P_c=1528\) ### Zadanie cke-2025-pp-66 (Stereometria, 1 pkt) Dane są dwa prostopadłościany podobne: \(B_1\) oraz \(B_2\). Objętość prostopadłościanu \(B_1\) jest równa \(V\), a obję... **Odpowiedź:** B3 ### Zadanie cke-2025-pp-68 (Planimetria, 1 pkt) Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej... **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2025-pp-69 (Planimetria, 3 pkt) Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej... **Odpowiedź:** \(134^\circ \) ### Zadanie cke-2025-pp-70 (Stereometria, 4 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kąt... **Odpowiedź:** \(V=108\)\(P_c=108+72\sqrt{3}\) ### Zadanie cke-2025-pp-71 (Stereometria, 1 pkt) Pole powierzchni bocznej walca jest równe \(16 \pi\), a promień jego podstawy ma długość \(2\). Dokończ zdanie. Zaznacz ... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2025-pp-72 (Geometria analityczna, 2 pkt) Pojedynczy znak w piśmie Braille’a dla niewidomych jest kombinacją od 1 do 6 wypukłych punktów, które mogą zajmować miej... **Odpowiedź:** \(63\) ### Zadanie cke-2025-pp-73 (Kombinatoryka, 1 pkt) Andrzej ma w szafie \(4\) koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; \(3\) pary spodni: niebieskie, czarne i szare; ... **Odpowiedź:** 60 ### Zadanie cke-2025-pp-74 (Kombinatoryka, 1 pkt) Andrzej ma w szafie \(4\) koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; \(3\) pary spodni: niebieskie, czarne i szare; ... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2025-pp-75 (Kombinatoryka, 3 pkt) Andrzej ma w szafie \(4\) koszule: czerwoną, żółtą, zieloną i niebieską; \(3\) pary spodni: niebieskie, czarne i szare; ... **Odpowiedź:** \(26\) ### Zadanie cke-2025-pp-76 (Prawdopodobieństwo, 4 pkt) Spośród wszystkich czterocyfrowych całkowitych liczb dodatnich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeni... **Odpowiedź:** \(P(A)=\frac{1}{25}\) ### Zadanie cke-2025-pp-78 (Statystyka, 6 pkt) Na wykresie słupkowym poniżej podano rozkład miesięcznych zarobków wszystkich pracowników w pewnej firmie \(F\). Na osi ... **Odpowiedź:** a) C1 b) \(4{,}5\) c) \(87\%\) d) \(4{,}48\) tys. zł ### Zadanie cke-2025-pp-82 (Prawdopodobieństwo, 2 pkt) Ze zbioru sześciu liczb \(\{1,2,3,4,5,6\}\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodo... **Odpowiedź:** \(\frac{5}{12}\)