--- route: /exams/cke-2015-2023-pp title: CKE 2015-2023 PP - arkusz maturalny description: Zadania z arkusza maturalnego CKE 2015-2023 PP --- # CKE 2015-2023 PP - arkusz maturalny z matematyki Liczba zadań: **134** ## Zadania ### Zadanie cke-2015-2023-pp-01 (Procenty, 2 pkt) Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili \(40\%\) wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich stude... **Odpowiedź:** o \(25\%\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-02 (Funkcja kwadratowa, 2 pkt) Funkcja \(f\) jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\lt 0\) jest przedział \((1,5)\). ... **Odpowiedź:** \(x\in (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-03 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Wartość wyrażenia \(\frac{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{-16}}{-8}\) jest równa **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-04 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Odwrotnością liczby \(2\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{4}{3}}\) jest liczba **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-05 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Liczba \(\sqrt[3]{4^{-1}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}\cdot 16^{\frac{1}{3}}\) jest równa **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-06 (Logarytmy, 2 pkt) Dane są liczby \(a=\log 3\), \(b=\log 2\). Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby \(72\) za pomocą \(a\) i \(b\). **Odpowiedź:** \(2a+3b\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-07 (Logarytmy, 1 pkt) Liczba o \(2\) większa od liczby \(\log_5 4\) jest równa **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-08 (Procenty, 1 pkt) Na lokacie złożono \(1000\) zł przy rocznej stopie procentowej \(p\%\) (procent składany). Odsetki naliczane są co kwart... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-09 (Planimetria, 1 pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości \(a\), \(b\), \(c\). Stosunek \(a:b:c\) jest równy \(3:5:7\). Które zdanie jest fałs... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-10 (Procenty, 2 pkt) Nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi \(3\%\) w stosunku rocznym (bez uwzględnienia podatku). Odsetki kapitalizow... **Odpowiedź:** \(45600\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-100 (Stereometria, 6 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości \(6\sqrt{3}\) oraz krawędzi bocznej długości \(12\... **Odpowiedź:** \(68^\circ \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-101 (Stereometria, 5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy \(30^\c... **Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{15}}{5}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-102 (Trygonometria, 2 pkt) W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz sinus kąta między tworząc... **Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-103 (Planimetria, 2 pkt) W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) jest środkiem boku \(AB\) oraz \(|CD|=|CB|\) (zobacz rysunek). Bok \(CB\) przedłużono ta... **Odpowiedź:** Wykazano, że \(|AC|=|DE|\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-104 (Stereometria, 4 pkt) Tworząca stożka o kącie rozwarcia \(\alpha \) ma długość \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe \(48\... **Odpowiedź:** \(\alpha =60^\circ \) i \(V=\frac{64\pi \sqrt{3}}{3}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-105 (Stereometria, 5 pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDEFGH\) o krawędzi podstawy długości \(4\sqrt{2}\) oraz krawędzi boc... **Odpowiedź:** \(4\sqrt{17}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-106 (Stereometria, 5 pkt) W sześcianie \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) przekątna \(AC_1\) tworzy z płaszczyzną \(ABCD\) kąt \(\alpha \). Punkty \(L\) i \(J\)... **Odpowiedź:** Wykazano, że \(\cos\alpha = \operatorname{tg}\beta\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-107 (Stereometria, 5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest \(2\) razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na t... **Odpowiedź:** \(60^\circ \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-108 (Stereometria, 5 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wysokość ma długość \(H\) oraz kąt między krawędzią boczną i płaszcz... **Odpowiedź:** \(\frac{2H^2\sqrt{7}}{3}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-109 (Trygonometria, 2 pkt) W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa \(6\). Cosinus kąta \(\alpha \) między tworzącą a pł... **Odpowiedź:** \(40\pi \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-11 (Procenty, 2 pkt) W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na konie... **Odpowiedź:** \(7{,}4\%\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-110 (Stereometria, 1 pkt) Graniastosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDEFGH\) o krawędzi podstawy długości \(5\) oraz krawędzi bocznej długości \(5\... **Odpowiedź:** \(\frac{25}{\cos \alpha }\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-111 (Geometria analityczna, 1 pkt) Dana jest prosta o równaniu \(y=-\frac{1}{2}x+b\), gdzie \(b\gt 0\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \(A\), zaś oś \(Ox\) w ... **Odpowiedź:** \((4,2)\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-112 (Geometria analityczna, 1 pkt) Punkty \(A=(7,6)\) i \(B=(1,-2)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Promień koła opisanego na tym trójkąc... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-113 (Planimetria, 1 pkt) Trójkąt \(T\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali \(k=\frac{1}{6}\), a trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-114 (Geometria analityczna, 1 pkt) Punkt \(A=(2,7)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(S=(6,5)\) jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadra... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-115 (Trygonometria, 1 pkt) W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty oraz \(\sin (\sphericalangle ABC)=\frac{1}{3}\).... **Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{2}}{4}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-116 (Planimetria, 1 pkt) Do okręgu o środku \(O\) poprowadzono z zewnętrznego punktu \(P\) dwie styczne przecinające się w \(P\) pod kątem \(50^\... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-117 (Geometria analityczna, 1 pkt) Na płaszczyźnie dane są trzy punkty: \(A=(-1,1)\), \(B=(5,-3)\) oraz \(C=(3,2)\). Wyznacz równanie środkowej poprowadzon... **Odpowiedź:** \(y=3x-7\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-118 (Funkcja kwadratowa, 1 pkt) Wykres funkcji kwadratowej \(f\) danej wzorem \(f(x)=2x^2-5x+3\) przecięto prostymi o równaniach \(x=-1\) oraz \(x=2\). ... **Odpowiedź:** \(3\sqrt{10}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-119 (Geometria analityczna, 1 pkt) Niech prosta \(k\) będzie dana równaniem \(y=2x+1\). Uzasadnij, że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku uk... **Odpowiedź:** Wykazano, że obraz prostej jest do niej równoległy ### Zadanie cke-2015-2023-pp-12 (Procenty, 5 pkt) Autobus nazywamy przepełnionym, jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej \(50\) pasażerów. Dwóch inspekto... **Odpowiedź:** drugi inspektor ### Zadanie cke-2015-2023-pp-120 (Prawdopodobieństwo, 1 pkt) W pojemniku jest \(10\) kul, w tym \(b\) kul białych i \(10-b\) kul czarnych, gdzie \(b\ne 5\). Z tego pojemnika losujem... **Odpowiedź:** Wykazano, że prawdopodobieństwo jest większe od \(\frac{1}{2}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-121 (Statystyka, 1 pkt) Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-122 (Liczby rzeczywiste, 1 pkt) Dany jest zbiór \(A=\{1,2,...,2n,2n+1\}\), gdzie \(n\ge 1\), złożony z \(2n+1\) kolejnych liczb naturalnych. Wykaż, że l... **Odpowiedź:** Wykazano, że par o sumie nieparzystej jest więcej ### Zadanie cke-2015-2023-pp-123 (Ciągi, 1 pkt) Rzucono \(100\) razy sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek w pierwszych \(40\) rzutach była równa \... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-124 (Statystyka, 1 pkt) Zestaw danych: \(x_1,x_2,x_3,...,x_n\) ma średnią arytmetyczną \(a\) i odchylenie standardowe \(s\). Wykaż, że zestaw da... **Odpowiedź:** Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa \(0\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-125 (Statystyka, 1 pkt) Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: \(6\), \(4\), \(4\). Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czw... **Odpowiedź:** \(5\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-126 (Kombinatoryka, 1 pkt) Wszystkich par \((a,b)\) takich, że \(a\in \{1,2,3,4,5,6,7\}\) i \(b\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) oraz suma \(a+b\) jest p... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-127 (Kombinatoryka, 1 pkt) Liczb ze zbioru \(Z=\{1,2,3,...,36\}\), których nie można uzyskać jako iloczynu dwóch niekoniecznie różnych liczb ze zbi... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-128 (Kombinatoryka, 1 pkt) Liczb naturalnych trzycyfrowych, w zapisie których każda cyfra występuje co najwyżej raz oraz suma cyfry setek i cyfry j... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-129 (Kombinatoryka, 1 pkt) Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych, w zapisie których każda cyfra jest inna, żadna nie jest zerem oraz ... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-13 (Logarytmy, 2 pkt) Dane są liczby: \[\begin{split} &a=3\log_3 2-\log_3 16\\[6pt] &b=2\log_3 6-\log_3 18 \end{split}\] Wykaż, że \(a+b=0\). **Odpowiedź:** Wykazano, że \(a+b=0\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-130 (Kombinatoryka, 1 pkt) Dana jest tabela złożona z sześciu wierszy i dziewięciu kolumn (zobacz rysunek). Oblicz, ile w tej tabeli można narysowa... **Odpowiedź:** \(18\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-131 (Ciągi, 1 pkt) Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru \(10000\) do numeru \(99999\). Te losy, którym na... **Odpowiedź:** \(0{,}9998\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-132 (Prawdopodobieństwo, 1 pkt) Na rysunku jest przedstawiony trzynastokąt wypukły o kolejnych wierzchołkach od \(A_1\) do \(A_{13}\) oraz przekątna \(A... **Odpowiedź:** \(\frac{6}{13}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-133 (Prawdopodobieństwo, 1 pkt) Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy losowo dwa różne wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołkó... **Odpowiedź:** \(\frac{3}{7}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-134 (Prawdopodobieństwo, 1 pkt) Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy jed... **Odpowiedź:** \(\frac{5}{9}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-14 (Logarytmy, 2 pkt) Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich \(x\) różnych od \(\frac{1}{3}\) wartość wyrażenia \[\log_{3x... **Odpowiedź:** Wykazano, że wartość wyrażenia jest równa \(3\), czyli jest większa od \(2\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-15 (Funkcje, 1 pkt) Na rysunku przedstawiono wykresy trzech parami przecinających się prostych. Te proste to: **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2015-2023-pp-16 (Planimetria, 2 pkt) Dany jest trójkąt \(ABC\), którego boki zawierają się w prostych o równaniach: \(y=\frac{1}{2}x+1\), \(y=7-x\) oraz \(y=... **Odpowiedź:** \(\frac{27}{2}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-17 (Układy równań, 2 pkt) Wyznacz takie liczby \(a\) i \(b\), dla których układ równań \(\begin{cases} 4x+y+2=0\\ax^2+y+b=0 \end{cases} \) jest sp... **Odpowiedź:** \(a=-2\), \(b=-2\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-18 (Układy równań, 2 pkt) Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych. Jedny... **Odpowiedź:** \(y=4x\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-19 (Równania i nierówności, 1 pkt) Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział \((-3,1)\). **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2015-2023-pp-20 (Funkcja kwadratowa, 2 pkt) W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) dla wybranych trzech argumentów. | \(x\) | \(0\) | \(1... **Odpowiedź:** \(x\in \langle 1,5\rangle \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-21 (Planimetria, 2 pkt) Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od \(24\), w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o \(5\). Oblicz długość dłużs... **Odpowiedź:** \(6\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-22 (Równania i nierówności, 1 pkt) Równanie \(\frac{3(2-x)}{4x-3}=\frac{3}{2}\) nie ma takiego samego rozwiązania, jak równanie: **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-23 (Wyrażenia algebraiczne, 2 pkt) Do wyrażenia \(\frac{1}{x+1}\) określonego dla \(x\ne -1\) dodano jego odwrotność. Oblicz \(x\), dla którego otrzymana s... **Odpowiedź:** \(x=0\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-24 (Procenty, 5 pkt) Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o \(20\%\) większą niż druga. Napełnienie pustego b... **Odpowiedź:** \(\frac{22}{100}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-25 (Funkcja kwadratowa, 1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu ... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-26 (Funkcje, 1 pkt) Funkcja \(W\) jest określona wzorem \(W(x)=3x^4-bx-2a\) dla wszystkich liczb rzeczywistych. Równość \(W(-1)+W(1)=0\) zac... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-27 (Potęgi i pierwiastki, 1 pkt) Na tablicy zapisano następujące potęgi: \(\left(2^2\right)^{(2^2)}, \left(2\right)^{(2^{2^2})}, \left(2^{2^2}\right)^2, ... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-28 (Funkcja kwadratowa, 4 pkt) Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział \((-\i... **Odpowiedź:** \(f(x)=-\frac{1}{4}x^2+3x-10\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-29 (Funkcja kwadratowa, 4 pkt) Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych \(f\) i \(g\). Funkcja \(f\) jest określona wzorem \... **Odpowiedź:** \(g(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x+1)\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-30 (Funkcja kwadratowa, 4 pkt) Różnica największej i najmniejszej wartości, jakie funkcja kwadratowa \[f(x)=-\frac{1}{2}x^2-2x+6\] przyjmuje w przedzia... **Odpowiedź:** \(k=1\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-31 (Funkcje, 1 pkt) Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji \(f\), a na rysunku 2. - wykres funkcji \(g\). Funkcja \(g\) jest określ... **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2015-2023-pp-32 (Funkcje, 4 pkt) Wyznacz wartość największą funkcji \(f(x)=\frac{1}{x^2+4x-1}\) w przedziale \(\langle 1,3\rangle \). **Odpowiedź:** \(\frac{1}{4}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-33 (Funkcje, 2 pkt) Funkcja \(f\), której dziedziną jest zbiór \(\langle -1,5\rangle \), jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+6x+5\). Wyznacz z... **Odpowiedź:** \(\langle -2,14\rangle \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-34 (Funkcja kwadratowa, 4 pkt) Wykres funkcji kwadratowej \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach \(x=1\) oraz \(x=3\) i przechodzi przez punkt \((0,-3)\).... **Odpowiedź:** \(g(x)=-x^2+1\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-35 (Funkcja kwadratowa, 5 pkt) Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\), przechodzi przez punkt \((-2,10)\) oraz \(f(-1)=f(... **Odpowiedź:** \(\sqrt{65}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-36 (Funkcja kwadratowa, 5 pkt) Dana jest funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+4x+1\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej ... **Odpowiedź:** \((-3,-5)\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-37 (Funkcja kwadratowa, 1 pkt) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f(x)=-\frac{1}{3}x^2-2x+c\) jest przedział \((-\infty ,7\rangle \). Zatem współcz... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-38 (Funkcja kwadratowa, 4 pkt) Największa wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=a(x-2)^2-4\), gdzie \(a\ne 0\), w przedziale domkniętym \(\langle -4,-2\ra... **Odpowiedź:** \(\frac{28}{9}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-39 (Funkcja kwadratowa, 2 pkt) Funkcja kwadratowa \(f\), której miejscami zerowymi są liczby \(-2\) i \(4\), dla argumentu \(1\) przyjmuje wartość \(3\... **Odpowiedź:** Wykazano, że wykres ma dwa punkty wspólne z prostą \(y=2\), bo \(\Delta=12>0\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-40 (Funkcja kwadratowa, 2 pkt) Wierzchołki trójkąta \(ABC\) leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Po... **Odpowiedź:** \(f(x)=-(x-1)^2+4\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-41 (Geometria analityczna, 5 pkt) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy łamane. Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty: \[A_1=(0... **Odpowiedź:** \(f(n)=n(n+1)\)\(f(33)=1122\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-42 (Trygonometria, 1 pkt) Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha \) i \(\beta \), w którym \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}\). ... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-43 (Trygonometria, 2 pkt) Dana jest liczba \(a=\sin 72^\circ \). Zapisz liczbę \(1+\operatorname{tg}^2 72^\circ \) w zależności od \(a\). **Odpowiedź:** \(\frac{1}{1-a^2}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-44 (Trygonometria, 2 pkt) Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\cos \alpha -5\sin \alpha }\), jeśli wiadomo, że \(\alpha... **Odpowiedź:** \(-\frac{1}{4}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-45 (Trygonometria, 2 pkt) Kąty \(\alpha \) i \(\beta \) są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i \(\cos \alpha =\frac{2}{5}\). Oblicz \(\opera... **Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{21}}{5}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-46 (Trygonometria, 2 pkt) Dla pewnego kąta ostrego \(\alpha \) funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości \(\sin \alpha =a-\frac{1}{4}... **Odpowiedź:** Wykazano, że \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{4-\sqrt{7}}{3}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-47 (Trygonometria, 2 pkt) Kąt \(\alpha \) jest kątem ostrym oraz \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\). Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb: \(a=\sin \alp... **Odpowiedź:** Wykazano, że średnia arytmetyczna jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-48 (Trygonometria, 2 pkt) Wykaż, że jeżeli \(\alpha \) i \(\beta \) są kątami ostrymi takimi, że \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{35}}{6}\) oraz \(\oper... **Odpowiedź:** Wykazano, że \(\alpha = \beta\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-49 (Funkcje, 2 pkt) Funkcja wymierna \(f\) jest dana wzorem \(f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2-3x-6}\). Wyznacz wszystkie wartości argumentu, dla kt... **Odpowiedź:** \(x=-1\) lub \(x=9\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-50 (Funkcja kwadratowa, 2 pkt) Najmniejszą wartością, jaką funkcja kwadratowa \(f\) dana wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,4... **Odpowiedź:** Wykazano, że \(a>0\) i \(b<0\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-51 (Funkcja kwadratowa, 2 pkt) Funkcja kwadratowa \(f\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,3\rangle \) największą wartość dla argumentów \(0\) i \(3\).... **Odpowiedź:** Wykazano, że największa wartość jest dla argumentów \(-2\) i \(5\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-52 (Liczby rzeczywiste, 4 pkt) Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od \(1000\) i niepodzielnych przez \(3\). **Odpowiedź:** \(167334\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-53 (Ciągi, 4 pkt) W pewnym ciągu geometrycznym \(a_n\) wyraz \(a_4\) jest osiem razy większy od wyrazu \(a_1\). Drugi wyraz tego ciągu jes... **Odpowiedź:** \(k=7\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-54 (Ciągi, 1 pkt) Trójwyrazowy ciąg \((x+1,x-1,2x)\) jest arytmetyczny dla **Odpowiedź:** A ### Zadanie cke-2015-2023-pp-55 (Ciągi, 1 pkt) W ciągu arytmetycznym \(a_n\) dla \(n\ge 1\), \(a_1=8\) oraz \(a_1+a_2+a_3=33\). Wtedy suma \(a_4+a_5+a_6\) jest równa **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-56 (Ciągi, 5 pkt) Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dana jest wzorem \(S_n=\frac{n^2-25n}{4}\), gdzie \(n\ge ... **Odpowiedź:** \(518\frac{1}{2}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-57 (Ciągi, 2 pkt) Suma \(23\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dla \(n\ge 1\) jest równa \(1564\). Oblicz średnią arytm... **Odpowiedź:** \(68\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-58 (Ciągi, 2 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((b_n)\), określony dla \(n\ge 1\) wzore... **Odpowiedź:** Wykazano, że ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny ### Zadanie cke-2015-2023-pp-59 (Ciągi, 2 pkt) Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadni... **Odpowiedź:** Wykazano, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy ### Zadanie cke-2015-2023-pp-60 (Ciągi, 1 pkt) W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy \((-16)\), a siódmy wyraz jest równy \(\left(-\frac{1}{4}\right... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-61 (Ciągi, 2 pkt) W ciągu geometrycznym \((a_n)\), w którym \(a_1=1\), znane są wartości dwóch wyrazów: \(a_k=16\) i \(a_{k+2}=32\), gdzie... **Odpowiedź:** \(16\sqrt{2}\) lub \(-16\sqrt{2}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-62 (Procenty, 4 pkt) Kacper przez \(5\) dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o \(20\%\) w stosunku do w... **Odpowiedź:** \(168{,}08\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-63 (Ciągi, 4 pkt) W ciągu geometrycznym \((a_n)\) o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy... **Odpowiedź:** \(2\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-64 (Ciągi, 2 pkt) Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \(... **Odpowiedź:** Wykazano, że ciąg \((b_n)\) jest geometryczny ### Zadanie cke-2015-2023-pp-65 (Ciągi, 2 pkt) Dana jest funkcja wykładnicza \(f(x)=2^x\) oraz ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n=f(3n)\), dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((... **Odpowiedź:** Ciąg jest geometryczny, iloraz \(q=8\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-66 (Ciągi, 2 pkt) Skończony ciąg \((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\) jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy \(a_3\), można... **Odpowiedź:** Wykazano, że iloczyn wszystkich wyrazów jest równy \(a_3^5\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-67 (Planimetria, 5 pkt) Trójkąt ostrokątny \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\) i promieniu \(4\). Kąt \(CAB\) jest równy kątowi \(OCB\) ... **Odpowiedź:** \(|CD|=4\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-68 (Stereometria, 4 pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb o boku długości \(3\). Krawędź boczna \(DS\) ma długość \(4\) i jest jednocześni... **Odpowiedź:** \(6\sqrt{3}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-69 (Geometria analityczna, 1 pkt) Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną \(AC\) rombu \(ABCD\) oraz wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-70 (Planimetria, 1 pkt) Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu r (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-71 (Planimetria, 2 pkt) Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) są położone w tej kolejności na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Odcinki... **Odpowiedź:** \(30^\circ \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-72 (Planimetria, 2 pkt) Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) są położone w tej kolejności na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Odcinek \(DB\)... **Odpowiedź:** Wykazano, że \(\alpha + \beta = 90^\circ\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-73 (Planimetria, 2 pkt) Parami różne punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) leżą na okręgu. Odcinki \(DE\) i \(AC\) są równoległe, zaś odcinek... **Odpowiedź:** Wykazano, że prosta \(BE\) zawiera wysokość trójkąta \(ABC\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-74 (Planimetria, 1 pkt) Końce odcinka \(AB\) o długości \(9\) są środkami okręgów o promieniach \(6\) i \(4\) (zobacz rysunek). Punkt \(C\) leży... **Odpowiedź:** D ### Zadanie cke-2015-2023-pp-75 (Planimetria, 4 pkt) Dwa okręgi o promieniach \(r\) i \(R\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach \(A\) i \(B\) ... **Odpowiedź:** \(\frac{25}{4}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-76 (Planimetria, 4 pkt) Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg \(O_1\) o środku \(S\) i promieniu równym \(6\) oraz okrąg \(O_2\) o środk... **Odpowiedź:** \(4\sqrt{3}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-77 (Planimetria, 5 pkt) Pole trójkąta \(ABC\) równe jest \(S\). Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku \(x : y : x\), gdzie \(x\) i \(y\) są p... **Odpowiedź:** \(S\left (1-3\left (\frac{x}{2x+y}\right )^2\right )\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-78 (Planimetria, 2 pkt) Odcinki \(AD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(C\). W trójkątach \(ABC\) i \(CDE\) zachodzą związki: \(|\sphericalan... **Odpowiedź:** \(6\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-79 (Planimetria, 5 pkt) Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(AC\) ma długość \(12\). Punkt \(E\) jest środkiem prze... **Odpowiedź:** \(30+6\sqrt{5}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-80 (Planimetria, 2 pkt) Na rysunku przedstawiono trapez \(ABCD\) oraz zaznaczono wysokości \(DE\) i \(CF\) tego trapezu. Punkt \(F\) jest środki... **Odpowiedź:** Wykazano, że punkt dzieli przekątną w stosunku \(3:7\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-81 (Planimetria, 5 pkt) W trójkącie \(ABC\) o bokach długości \(|AC|=b\), \(|BC|=a\) i kącie między nimi \(60^\circ \) poprowadzono dwusieczną k... **Odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3}ab}{a+b}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-82 (Planimetria, 5 pkt) Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) taki, że kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste oraz \(|AB|=10\), \(|DC|=... **Odpowiedź:** \(\frac{4\sqrt{3}}{7}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-83 (Geometria analityczna, 5 pkt) Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu \(y=2x... **Odpowiedź:** \(\left ( \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \right )\) lub \(\left ( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right )\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-84 (Geometria analityczna, 4 pkt) Dwa boki trójkąta prostokątnego \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y = 2x − 3\) oraz \(y=\frac{1}{4}x-\frac{5}... **Odpowiedź:** \(y=-\frac{1}{2}x\) lub \(y=-4x+14\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-85 (Funkcja liniowa, 2 pkt) Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników. Uzasadnij, że te ... **Odpowiedź:** Wykazano, że proste są prostopadłe albo równoległe ### Zadanie cke-2015-2023-pp-86 (Geometria analityczna, 4 pkt) Punkty \(A\) i \(B\), których pierwsze współrzędne są równe odpowiednio \(−2\) i \(2\), należą do wykresu funkcji \(f(x)... **Odpowiedź:** \(C=(6,-9)\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-87 (Geometria analityczna, 2 pkt) Prosta \(l\) przecina okrąg o środku \(S\) w punktach \(A=\left(1-\sqrt{2},-\frac{1}{8}\right)\) i \(B=\left(1+\sqrt{2},... **Odpowiedź:** nie ### Zadanie cke-2015-2023-pp-88 (Geometria analityczna, 5 pkt) Dany jest sześciokąt foremny \(ABCDEF\), którego środkiem symetrii jest punkt \(O=(3,-\sqrt{3})\), a wierzchołek \(A\) m... **Odpowiedź:** \(A = (1 ; -3\sqrt{3})\)\(B = (5 ; -3\sqrt{3})\)\(C = (7 ; -\sqrt{3})\)\(D = (5 ; \sqrt{3})\)\(E = (1 ; \sqrt{3})\)\(F = (-1 ; -\sqrt{3})\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-89 (Geometria analityczna, 2 pkt) Punkt \(M=(2,1)\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(N=(8,3)\) to środek boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Oblicz długość... **Odpowiedź:** \(4\sqrt{5}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-90 (Geometria analityczna, 4 pkt) Trójkąt o wierzchołkach \(A=(-6,0)\), \(B=(6,4)\) i \(C=(-3,-8)\) przekształcono przez symetrię środkową względem począt... **Odpowiedź:** \(720^\circ \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-91 (Geometria analityczna, 5 pkt) Prosta \(y = 0\) jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach \(y=(p+2)x-q\) i \(y=(q-5)x+2p\). Wyzn... **Odpowiedź:** \(p=1\), \(q=2\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-92 (Geometria analityczna, 6 pkt) Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), niebędący równoległobokiem, w którym \(AB||CD\) oraz \(A=(-9,7)\), \(B=(3,1)\),... **Odpowiedź:** \(y=2x-10\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-93 (Geometria analityczna, 2 pkt) Punkt \(P\) leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach \(A=(6,0)\), \(B=(0,4)\), \(C=(0,0)\). Oznaczmy przez \(P_{AC}\) obra... **Odpowiedź:** Wykazano, że punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej ### Zadanie cke-2015-2023-pp-94 (Stereometria, 1 pkt) Przedstawiona na rysunku bryła składa się z walca i półkuli. Wysokość walca jest taka, jak promień jego podstawy i jest ... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-95 (Stereometria, 1 pkt) Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego \(ABCDEFGH\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Kąt \(AHC\) między p... **Odpowiedź:** B ### Zadanie cke-2015-2023-pp-96 (Stereometria, 1 pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Punkty \(G\), \... **Odpowiedź:** C ### Zadanie cke-2015-2023-pp-97 (Stereometria, 5 pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCDEF\) (zobacz rysunek) jest równa \(8\), a tangens kąta między wys... **Odpowiedź:** \(4\sqrt{19}\) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-98 (Stereometria, 5 pkt) Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość \(4\), jest równa \(16\sqrt{6}\) ... **Odpowiedź:** \(30^\circ \) ### Zadanie cke-2015-2023-pp-99 (Stereometria, 5 pkt) W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod ... **Odpowiedź:** \(45^\circ \)