---
route: /dzialania-na-pierwiastkach-matura-upraszczanie-zadania
title: Działania na pierwiastkach - upraszczanie i zadania maturalne
description: Działania na pierwiastkach krok po kroku: wyłączanie czynnika, mnożenie, dodawanie i pierwiastki trzeciego stopnia. 8 zadań CKE z rozwiązaniami.
type: task_solution
category: Potęgi i pierwiastki
tags: działania na pierwiastkach, jak uprościć pierwiastek, wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka, pierwiastek trzeciego stopnia matura, dodawanie pierwiastków, mnożenie pierwiastków wzory, pierwiastki zadania maturalne CKE, potęgi i pierwiastki matura podstawowa, pierwiastek z sumy, pierwiastek kwadratowy z kwadratu, upraszczanie wyrażeń z pierwiastkami, matura matematyka 2027 pierwiastki
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-20T07:21:50.02353+00:00
updated: 2026-10-04T20:52:48.715+00:00
---
# Działania na pierwiastkach - upraszczanie i zadania maturalne
Pierwiastki mnożysz i dzielisz pod jednym znakiem: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) oraz \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\) dla \(a\ge 0\) i \(b\gt 0\). Dodawać i odejmować możesz tylko pierwiastki podobne, czyli te z tą samą liczbą pod znakiem, dlatego pierwszym ruchem prawie każdego zadania jest wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}\). Wzoru na \(\sqrt{a+b}\) nie ma i nigdy nie będzie.

To najtańsze punkty w całym arkuszu. W naszej bazie zadań CKE i arkuszy próbnych kategoria Potęgi i pierwiastki zawiera wiele zadań, w których w treści stoi pierwiastek. Takie zadanie otwierało arkusz w maju 2025 (zadanie 1) i w maju 2026 (zadanie 1), w sierpniu 2025 było zadaniem 3, a w zestawie CKE 2025 na poziomie podstawowym zadaniem 6. Za każde jest 1 punkt i zajmują one około minuty, jeśli znasz kwadraty i sześciany na pamięć. Cały dział ogarniesz ze strony [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki).

## Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Szukasz największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem, rozbijasz iloczyn na dwa pierwiastki i wyciągasz to, co da się spierwiastkować. Krótko: \(\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Ten jeden ruch zamienia zadanie, którego nie da się policzyć, w zadanie na dodawanie.

| Pierwiastek | Rozbicie | Wynik |
| --- | --- | --- |
| \(\sqrt{8}\) | \(\sqrt{4\cdot 2}\) | \(2\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{18}\) | \(\sqrt{9\cdot 2}\) | \(3\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{32}\) | \(\sqrt{16\cdot 2}\) | \(4\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{48}\) | \(\sqrt{16\cdot 3}\) | \(4\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{50}\) | \(\sqrt{25\cdot 2}\) | \(5\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{72}\) | \(\sqrt{36\cdot 2}\) | \(6\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{75}\) | \(\sqrt{25\cdot 3}\) | \(5\sqrt{3}\) |
| \(\sqrt{98}\) | \(\sqrt{49\cdot 2}\) | \(7\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{200}\) | \(\sqrt{100\cdot 2}\) | \(10\sqrt{2}\) |

Wybieraj największy kwadrat, bo inaczej robisz robotę dwa razy: \(\sqrt{72}=\sqrt{4\cdot 18}=2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\) prowadzi do tego samego wyniku, tylko dłużej. Kwadraty liczb od 1 do 20 musisz mieć w głowie: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. W Wybranych wzorach matematycznych CKE znajdziesz własności potęg i pierwiastków, ale tabelki kwadratów tam nie ma, co dokładnie sprawdziliśmy w tekście o [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje).

Działa to też w drugą stronę. Wciągnięcie liczby pod pierwiastek przydaje się przy porównywaniu: \(3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}\), a \(2\sqrt{5}=\sqrt{20}\), więc \(2\sqrt{5}\gt 3\sqrt{2}\).

## Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Mnożenie i dzielenie są łatwe, bo pierwiastki tego samego stopnia łączysz w jeden: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), a \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\). Najpierw wykonaj działanie pod znakiem, a dopiero potem szukaj kwadratu do wyciągnięcia. Przykłady: \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4\), \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\), \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5\).

Uwaga na czynniki przed pierwiastkami. Mnożysz je osobno: \(2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{2}=10\sqrt{6}\). Kwadrat takiego iloczynu liczysz tak samo: \((2\sqrt{7})^2=4\cdot 7=28\), a nie \(2\cdot 7\). To częsty błąd.

## Dodawanie i odejmowanie tylko pierwiastków podobnych

Pierwiastki dodajesz jak wyrazy podobne w algebrze: \(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\), bo \(\sqrt{2}\) zachowuje się jak \(x\). Warunek jest jeden: pod pierwiastkami musi stać ta sama liczba i muszą być tego samego stopnia. Dlatego \(\sqrt{50}-\sqrt{18}\) najpierw upraszczasz do \(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}\), a potem odejmujesz.

Czego zrobić nie można: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) nie równa się \(\sqrt{5}\). Sprawdź to na liczbach, które łatwo policzyć: \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\), a \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\). Siedem to nie pięć, więc wzór na pierwiastek sumy nie istnieje. Tego samego testu użyj zawsze, gdy nie jesteś pewien, czy coś wolno.

## Pierwiastek trzeciego stopnia - te same zasady, tylko sześciany

Pierwiastek trzeciego stopnia działa dokładnie jak kwadratowy, tylko wyłączasz sześciany: \(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}\). Sześciany do zapamiętania: \(2^3=8\), \(3^3=27\), \(4^3=64\), \(5^3=125\), \(6^3=216\), \(7^3=343\), \(8^3=512\), \(9^3=729\), \(10^3=1000\).

| Pierwiastek | Rozbicie | Wynik |
| --- | --- | --- |
| \(\sqrt[3]{24}\) | \(\sqrt[3]{8\cdot 3}\) | \(2\sqrt[3]{3}\) |
| \(\sqrt[3]{54}\) | \(\sqrt[3]{27\cdot 2}\) | \(3\sqrt[3]{2}\) |
| \(\sqrt[3]{192}\) | \(\sqrt[3]{64\cdot 3}\) | \(4\sqrt[3]{3}\) |
| \(\sqrt[3]{250}\) | \(\sqrt[3]{125\cdot 2}\) | \(5\sqrt[3]{2}\) |
| \(\sqrt[3]{-125}\) | \(-\sqrt[3]{125}\) | \(-5\) |

Jedna ważna różnica: pod pierwiastkiem stopnia nieparzystego liczba ujemna jest dozwolona, bo \((-5)^3=-125\). Pod pierwiastkiem kwadratowym nie, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego. Dokładnie na tym opierało się zadanie 2 z [arkusza próbnego CKE z marca 2026](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-02), gdzie \(\frac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{-750}{6}}=\sqrt[3]{-125}=-5\).

## Pierwiastek z ułamka i pierwiastek z pierwiastka

Pierwiastek z ułamka rozbijasz na licznik i mianownik: \(\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\). Pierwiastek z pierwiastka najprościej policzyć, przechodząc na potęgi wymierne, bo \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\). Przykład z arkusza: \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\), gdzie \(3\sqrt{3}=3^1\cdot 3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\), więc całość to \(\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\).

Ta zamiana jest najszybszą drogą, gdy w zadaniu mieszają się pierwiastki różnych stopni. Pełne rozpisanie praw potęgowania z wykładnikiem ułamkowym i ujemnym masz w poradniku o [potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc). Jeśli pierwiastek zostaje ci w mianowniku, zajrzyj do tekstu o [usuwaniu niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).

## Jak oszacować pierwiastek, gdy w odpowiedziach są przedziały

Znajdź dwa najbliższe kwadraty, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem, i odczytaj przybliżenie. Skoro \(49\lt 55\lt 64\), to \(7\lt\sqrt{55}\lt 8\). Do arkusza wystarczą cztery wartości z pamięci: \(\sqrt{2}\approx 1{,}41\), \(\sqrt{3}\approx 1{,}73\), \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\), \(\sqrt{7}\approx 2{,}65\). Z nich wyliczysz resztę, bo na przykład \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}05\).

Tak działa na przykład [zadanie 5 z sierpnia 2016](/task/matura-sierpie-2016-05), gdzie trzeba było podać najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0\). Przekształcasz do \(x\gt -5\sqrt{7}\), szacujesz \(5\sqrt{7}\approx 13{,}23\), więc \(x\gt -13{,}23\) i szukaną liczbą całkowitą jest \(-13\), a nie \(-14\). Bez szacowania nie da się wybrać między dwiema sąsiednimi odpowiedziami.

## Zadanie 1: kwadrat różnicy pierwiastków (Matura maj 2025)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\bigl(\sqrt{32}-\sqrt{2}\bigr)^{2}\) jest równa

**Krok 1: uprość pierwiastki.** \(\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\).

**Krok 2: odejmij pierwiastki podobne.** \(4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).

**Krok 3: podnieś do kwadratu.** \(\left(3\sqrt{2}\right)^2=9\cdot 2=18\). Odpowiedź B.

Można też rozwinąć wzorem skróconego mnożenia: \(32-2\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}+2=34-2\sqrt{64}=34-16=18\). Ten sam wynik, ale dwa razy więcej rachunków, więc na maturze upraszczaj najpierw. Cały ten arkusz omówiliśmy w [rozwiązaniach matury z maja 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz), a same zadania są na stronie [Matura maj 2025](/exams/matura-maj-2025).

## Zadanie 2: różnica pierwiastków trzeciego stopnia (Matura maj 2017)

**Treść:** Liczba \(\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}\) jest równa

**Krok 1: wyłącz sześcian.** \(\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}\).

**Krok 2: odejmij.** \(3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\). Odpowiedź D.

Dystraktor \(\sqrt[3]{52}\) jest tam dla kogoś, kto odjął liczby pod pierwiastkiem. Pierwiastków nie odejmuje się pod znakiem, tylko przed nim, i to wyłącznie wtedy, gdy są podobne.

## Zadanie 3: suma pierwiastków trzeciego stopnia (Matura sierpień 2025)

**Treść:** Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}\) jest równa

**Krok 1: rozbij oba pierwiastki.** \(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}\) i \(\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}\).

**Krok 2: dodaj współczynniki.** \(2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}\). Odpowiedź C.

Zwróć uwagę, że pod pierwiastkiem zostaje trójka, a nie szóstka. Dodajesz liczby stojące przed pierwiastkiem, a to, co pod nim, przepisujesz bez zmian.

## Zadanie 4: kwadrat różnicy z czynnikiem (Matura sierpień 2012)

**Treść:** Liczba \((2-3\sqrt{2})^2\) jest równa

**Krok 1: użyj wzoru skróconego mnożenia.** \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), gdzie \(a=2\) i \(b=3\sqrt{2}\).

**Krok 2: policz każdy składnik.** \(a^2=4\), \(2ab=2\cdot 2\cdot 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), \(b^2=(3\sqrt{2})^2=9\cdot 2=18\).

**Krok 3: złóż wynik.** \(4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2}\). Odpowiedź D.

Najczęstszy błąd to \((3\sqrt{2})^2=6\). Potęgujesz i liczbę, i pierwiastek, więc wychodzi \(9\cdot 2=18\). Pozostałe wzory tego typu zebraliśmy w tekście o [wzorach skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania).

## Zadanie 5: iloczyn dwóch kwadratów (Matura sierpień 2017)

**Treść:** Liczba (\(2\sqrt{7}-5)^2\cdot (2\sqrt{7}+5)^2 \) jest równa

**Krok 1: połącz podstawy.** Skoro obie potęgi mają wykładnik 2, to \((x)^2\cdot(y)^2=(xy)^2\), więc liczysz \(\left[(2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)\right]^2\).

**Krok 2: zastosuj różnicę kwadratów.** \((2\sqrt{7})^2-5^2=4\cdot 7-25=28-25=3\).

**Krok 3: podnieś do kwadratu.** \(3^2=9\). Odpowiedź A.

Gdybyś rozwijał każdy nawias osobno, dostałbyś \((53-20\sqrt{7})(53+20\sqrt{7})\) i musiałbyś liczyć \(2809-2800\). Wynik ten sam, ale dystraktor 2809 pokazuje, że autorzy arkusza czekali właśnie na urwane w połowie rachunki.

## Zadanie 6: ułamek z pierwiastkami trzeciego stopnia (CKE 2025 PP)

**Treść:** Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba \(\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}\) jest równa

**Krok 1: uprość osobno licznik i mianownik.** \(\sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2}\) i \(\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}\).

**Krok 2: wykonaj działania.** Licznik: \(5\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}=8\sqrt[3]{2}\). Mianownik: \(5\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}\).

**Krok 3: skróć.** \(\frac{8\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}}=4\), bo \(\sqrt[3]{2}\) skraca się w całości. Odpowiedź C.

To jest istota całego działu: dopóki pierwiastki są nieuproszczone, ułamek wygląda groźnie. Po wyłączeniu czynników zostaje dzielenie 8 przez 2.

## Zadanie 23: pierwiastki w liczniku i mianowniku (Matura maj 2013)

**Treść:** Liczba \(\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\) jest równa

**Krok 1: uprość licznik.** \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\), \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\), więc licznik to \(5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).

**Krok 2: podziel.** \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\). Odpowiedź B.

Ten sam wynik da drugi sposób: \(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\), o ile pierwiastki połączysz pod jednym znakiem.

## Zadanie 16: pierwiastki w geometrii (Matura sierpień 2017)

**Treść:** Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole jest równe \(6\sqrt{3}\). Bok tego trójkąta ma długość

**Krok 1: zapisz wzór na pole.** \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).

**Krok 2: wstaw dane i skróć pierwiastek.** \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}\), więc \(a^2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\), czyli \(a^2=24\).

**Krok 3: wyciągnij pierwiastek i uprość.** \(a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}\). Odpowiedź C.

Zwróć uwagę, że \(\sqrt{3}\) skraca się po obu stronach, więc rachunki są krótkie. Tak wyglądają w praktyce prawie wszystkie zadania z planimetrii i stereometrii: wzór jest z pierwiastkiem, a punkt dostajesz za jego uproszczenie. Wzory na trójkąt równoboczny zebraliśmy w tekście o [polu trójkąta równobocznego](/jak-obliczyc-pole-trojkata-rownobocznego-wzor-zadania).

## Typowe pułapki

**Rozdzielanie pierwiastka na sumie.** \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Kontrprzykład: \(\sqrt{9+16}=5\), a \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=7\).

**Zapominanie o wartości bezwzględnej.** \(\sqrt{a^2}=|a|\), więc \(\sqrt{(-4)^2}=4\), a nie \(-4\). Ta sama ostrożność ze znakami wraca w [zadaniu 8 z zestawu CKE 2025 dla poziomu podstawowego](/task/cke-2025-pp-08), gdzie \(|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|\) trzeba rozpisać, pamiętając, że \(\sqrt{5}\approx 2{,}24\): \(\sqrt{5}-1\gt 0\), ale \(2-\sqrt{5}\lt 0\), więc wynik to \(\sqrt{5}-1-3(\sqrt{5}-2)=5-2\sqrt{5}\).

**Potęgowanie tylko pierwiastka.** \((2\sqrt{7})^2=4\cdot 7=28\), a nie \(2\cdot 7=14\). Podnosisz do kwadratu cały iloczyn.

**Dodawanie pierwiastków różnych stopni.** \(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}\) nie upraszcza się do niczego. Podobne są tylko pierwiastki tego samego stopnia z tą samą liczbą pod znakiem.

**Zatrzymanie się przed końcem.** \(\sqrt{72}\) to nie odpowiedź maturalna, tylko etap. CKE podaje warianty w postaci uproszczonej, więc zawsze doprowadź wynik do \(6\sqrt{2}\).

**Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej.** \(\sqrt{-4}\) nie istnieje w liczbach rzeczywistych, ale \(\sqrt[3]{-8}=-2\) istnieje. Sprawdzaj stopień, zanim uznasz zadanie za błędne.

## Najczęstsze pytania

### Jak uprościć pierwiastek z 50?
Rozbij 50 na iloczyn z największym kwadratem: \(50=25\cdot 2\). Wtedy \(\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}\). Ta sama procedura działa dla każdej liczby: szukasz kwadratu, który ją dzieli.

### Czy można dodać pierwiastek z 2 i pierwiastek z 3?
Nie da się tego uprościć. Pierwiastki dodajesz tylko wtedy, gdy pod znakiem stoi ta sama liczba, tak jak \(2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}\). Suma \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) zostaje w tej postaci i na pewno nie jest równa \(\sqrt{5}\).

### Ile wynosi pierwiastek z kwadratu liczby?
Zawsze wartość bezwzględna tej liczby, czyli \(\sqrt{a^2}=|a|\). Dla liczb dodatnich wychodzi ta sama liczba, dla ujemnych liczba przeciwna, więc \(\sqrt{(-7)^2}=7\).

### Jak zamienić pierwiastek na potęgę?
Korzystasz ze wzoru \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\). Na przykład \(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\), a \(\sqrt[3]{4^2}=4^{\frac{2}{3}}\). Ta zamiana najbardziej pomaga, gdy w jednym wyrażeniu są pierwiastki różnych stopni.

### Czy pod pierwiastkiem trzeciego stopnia może być liczba ujemna?
Tak. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny, na przykład \(\sqrt[3]{-125}=-5\). Zakaz dotyczy tylko pierwiastków stopnia parzystego, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.

### Czy na maturze można zostawić pierwiastek w mianowniku?
Odpowiedź poprawna rachunkowo jest punktowana, ale w arkuszach zamkniętych warianty odpowiedzi są zwykle bez pierwiastka w mianowniku, więc i tak musisz go usunąć, żeby dopasować wynik. Robisz to mnożeniem przez odpowiedni czynnik, co krok po kroku opisaliśmy przy [usuwaniu niewymierności](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac).

### Jak często pierwiastki pojawiają się na maturze podstawowej?
W każdym arkuszu i zwykle w pierwszych zadaniach. W naszej bazie kategoria Potęgi i pierwiastki ma wiele zadań, a takie polecenie było zadaniem 1 w maju 2025 i w maju 2026 oraz zadaniem 3 w sierpniu 2025. Do treningu weź [zadania CKE z potęg i pierwiastków](/zadania-cke-potegi-pierwiastki-z-rozwiazaniami).

### Które kwadraty i sześciany trzeba znać na pamięć?
Kwadraty liczb od 1 do 20 oraz sześciany od 1 do 10. Bez tego nie zauważysz, że 192 dzieli się przez 64, a 250 przez 125, i całe zadanie stanie się nierozwiązywalne w pamięci.

## Checklista - co musisz umieć

- Wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, wybierając największy kwadrat lub sześcian.
- Wciągnąć liczbę pod pierwiastek, żeby porównać dwa wyrażenia.
- Pomnożyć i podzielić pierwiastki tego samego stopnia pod jednym znakiem.
- Dodać i odjąć tylko pierwiastki podobne, przepisując liczbę pod znakiem.
- Podnieść do kwadratu iloczyn typu \(3\sqrt{2}\), potęgując oba czynniki.
- Użyć wzorów skróconego mnożenia dla \((a\pm b)^2\) i \((a-b)(a+b)\) z pierwiastkami.
- Zamienić pierwiastek na potęgę o wykładniku wymiernym i odwrotnie.
- Pamiętać, że \(\sqrt{a^2}=|a|\) i że pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje.
- Doprowadzić wynik do postaci uproszczonej, bo w takiej podaje go klucz CKE.

Sprawne działania na pierwiastkach przydają się najbardziej tam, gdzie pierwiastek stoi w równaniu. Jak podnosić do kwadratu bez gubienia założeń i kiedy sprawdzać rozwiązania, tłumaczymy w poradniku [jak rozwiązać równanie niewymierne](/jak-rozwiazac-rownanie-niewymierne-z-pierwiastkiem-matura).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)