--- route: /dwusieczna-kata-twierdzenie-o-dwusiecznej-zadania-matura title: Dwusieczna kąta - twierdzenie o dwusiecznej, własności i zadania maturalne description: Dwusieczna kąta na maturze: definicja, twierdzenie o dwusiecznej z dowodem, kąt między dwusiecznymi i zadania CKE z matur 2012-2026 krok po kroku. type: task_solution category: Planimetria tags: dwusieczna kąta, twierdzenie o dwusiecznej, dwusieczna kąta w trójkącie, dwusieczna zadania maturalne, długość dwusiecznej wzór, kąt między dwusiecznymi, środek okręgu wpisanego dwusieczne, dwusieczna a symetralna różnica, planimetria zadania maturalne, matura maj 2026 zadanie 23, matura maj 2024 zadanie 24, dowód twierdzenia o dwusiecznej author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-08-26T07:12:47.898+00:00 updated: 2026-10-05T12:48:17.315+00:00 --- # Dwusieczna kąta - twierdzenie o dwusiecznej, własności i zadania maturalne Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli go na dwa kąty o równych miarach. Każdy punkt dwusiecznej leży w tej samej odległości od obu ramion kąta. W trójkącie dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi boków przyległych do tego kąta: jeśli dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\), to \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\). To jest twierdzenie o dwusiecznej. Trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Na maturze podstawowej dwusieczna wraca regularnie. W naszej bazie zadań CKE z kategorii [Planimetria](/topics/planimetria) dwusieczna występuje w 12 zadaniach, w tym w arkuszach: maj 2012 (zadanie 30, dowód), maj 2022 (zadanie 33, 2 punkty), sierpień 2023 (zadanie 23), maj 2024 (zadanie 20), próbna CKE marzec 2026 (zadanie 21, 3 punkty) i maj 2026 (zadanie 21, dowód za 2 punkty). Wszystkie rozwiązujemy niżej krok po kroku. ## Co to jest dwusieczna kąta - definicja i własności Dwusieczna kąta o mierze \(\alpha\) to półprosta wychodząca z wierzchołka, która tworzy z każdym ramieniem kąt o mierze \(\frac{\alpha}{2}\). Jej najważniejsza własność: punkt leży na dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo odległy od obu ramion kąta. Dzięki temu dwusieczne w trójkącie prowadzą prosto do okręgu wpisanego. Trzy fakty, które warto mieć w głowie: - **Równe kąty.** Jeśli \(CD\) jest dwusieczną kąta \(ACB\), to \(|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DCB|=\frac{1}{2}|\sphericalangle ACB|\). W zadaniach zamkniętych to najczęściej jedyne, czego potrzebujesz. - **Równe odległości od ramion.** Każdy punkt dwusiecznej leży w tej samej odległości od obu ramion kąta. Dlatego punkt przecięcia dwusiecznych trójkąta jest jednakowo odległy od wszystkich trzech boków: to środek okręgu wpisanego, a ta odległość to jego promień. Jak go policzyć, opisaliśmy we wpisie o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania). - **W trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta między ramionami pokrywa się z wysokością, środkową i symetralną podstawy.** W dowolnym innym trójkącie to cztery różne odcinki. Różnicę między dwusieczną a symetralną opisaliśmy osobno przy okazji [symetralnej odcinka](/symetralna-odcinka-rownanie-wzor-zadania-matura). Dwusieczna kąta a symetralna odcinka to dwa różne pojęcia, które uczniowie mylą najczęściej. Dwusieczna dzieli kąt na pół i przechodzi przez wierzchołek. Symetralna dzieli odcinek na pół i jest do niego prostopadła. Symetralne boków trójkąta dają środek okręgu opisanego, dwusieczne kątów dają środek okręgu wpisanego. ## Twierdzenie o dwusiecznej - wzór i dowód Twierdzenie o dwusiecznej mówi, że dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych. Dla trójkąta \(ABC\) z dwusieczną kąta \(ACB\) przecinającą bok \(AB\) w punkcie \(D\): $$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$$ Równoważnie: \(|AD|\cdot|BC|=|DB|\cdot|AC|\). Jeśli oznaczysz \(|AC|=b\), \(|BC|=a\) i \(|AB|=c\), to odcinki na boku \(AB\) wyrażają się wzorami: $$|AD|=\frac{b}{a+b}\cdot c, \qquad |DB|=\frac{a}{a+b}\cdot c$$ Dowód przez pola zajmuje trzy linijki i sam w sobie był tematem zadania 21 z matury maj 2026, więc warto go umieć. **Krok 1: wspólna wysokość** Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a ich podstawy \(AD\) i \(DB\) leżą na jednej prostej \(AB\). Wysokość opuszczona z \(C\) jest więc dla obu taka sama, nazwijmy ją \(h\). Stąd: $$\frac{P_{ACD}}{P_{BCD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|AD|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|DB|\cdot h}=\frac{|AD|}{|DB|}$$ **Krok 2: równe kąty przy \(C\)** Z definicji dwusiecznej \(|\sphericalangle ACD|=|\sphericalangle DCB|=\frac{\gamma}{2}\). Liczymy te same pola wzorem z sinusem (jeden z ośmiu wzorów z wpisu o [polu trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne)): $$\frac{P_{ACD}}{P_{BCD}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|CD|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}}{\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot|CD|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{|AC|}{|BC|}$$ **Krok 3: porównaj** Lewe strony obu równości są identyczne, więc \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\). Koniec dowodu. Twierdzenie działa w obie strony: jeśli punkt \(D\) boku \(AB\) spełnia proporcję \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}\), to \(CD\) jest dwusieczną kąta \(ACB\). Mechanika proporcji jest tu ta sama, co w [twierdzeniu Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania), tylko odcinki bierzesz z innego miejsca trójkąta. ## Punkt przecięcia dwusiecznych i kąt między dwusiecznymi Dwusieczne trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, środku okręgu wpisanego. Kąt między dwusiecznymi dwóch kątów trójkąta jest zawsze rozwarty i wynosi \(90^\circ\) plus połowa trzeciego kąta. To gotowy wzór na zadanie zamknięte i na krótki dowód. Wyprowadzenie: niech dwusieczne kątów \(A\) i \(B\) trójkąta przecinają się w punkcie \(P\). W trójkącie \(ABP\) kąty przy \(A\) i \(B\) mają miary \(\frac{\alpha}{2}\) i \(\frac{\beta}{2}\), więc: $$|\sphericalangle APB|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=180^\circ-\frac{180^\circ-\gamma}{2}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}$$ Ponieważ \(\gamma>0^\circ\), kąt \(APB\) jest zawsze większy od \(90^\circ\). Dokładnie to trzeba było uzasadnić w zadaniu 30 z matury maj 2012, które rozwiązujemy niżej. ## Długość dwusiecznej - wzór, którego nie ma w tablicach Długość dwusiecznej \(d\) kąta \(\gamma\) zawartego między bokami \(a\) i \(b\) wynosi \(d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}\). Wzoru nie ma w tablicach CKE, ale wyprowadzasz go w dwóch linijkach z równości pól, dokładnie jak w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej. Pole całego trójkąta to suma pól dwóch mniejszych: $$\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}bd\sin\frac{\gamma}{2}+\frac{1}{2}ad\sin\frac{\gamma}{2}$$ Po skróceniu przez \(\frac{1}{2}\) i wyłączeniu \(d\): $$ab\sin\gamma=d(a+b)\sin\frac{\gamma}{2} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{ab\sin\gamma}{(a+b)\sin\frac{\gamma}{2}}$$ Ze wzoru na sinus podwojonego kąta \(\sin\gamma=2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\) dostajesz postać końcową \(d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}\). Dwa przypadki szczególne warto znać na pamięć: - kąt \(\gamma=60^\circ\): \(d=\frac{2ab\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{a+b}=\frac{\sqrt{3}\,ab}{a+b}\), - kąt prosty \(\gamma=90^\circ\): \(d=\frac{2ab\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{a+b}=\frac{\sqrt{2}\,ab}{a+b}\). Wartości sinusa i cosinusa połówek typowych kątów odczytasz z [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). ## Zadanie 23 (matura sierpień 2023) - stosunek odcinków W trójkącie \(ABC\) długość boku \(AC\) jest równa \(3\), a długość boku \(BC\) jest równa \(4\). Dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Stosunek \(|AD|:|DB|\) jest równy: A. \(4:3\), B. \(4:7\), C. \(3:4\), D. \(3:7\). **Krok 1: rozpoznaj twierdzenie** Dwusieczna wychodzi z \(C\), więc dzieli bok \(AB\) w stosunku boków przyległych do kąta \(C\), czyli \(AC\) i \(BC\). **Krok 2: zapisz proporcję** \(\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}=\frac{3}{4}\). **Krok 3: odpowiedź** \(|AD|:|DB|=3:4\), odpowiedź C. Pułapka w tym zadaniu to odpowiedź D (\(3:7\)): to stosunek \(|AD|\) do całego boku \(AB\), a nie do \(|DB|\). Czytaj, o jaki stosunek pyta polecenie. ## Zadanie 20 (matura maj 2024) - równość z twierdzenia Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\), \(|LM|=b\) oraz \(a\neq b\). Dwusieczna kąta \(KML\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) takim, że \(|KN|=c\), \(|NL|=d\) oraz \(|MN|=e\). Która równość jest prawdziwa: A. \(a\cdot b=c\cdot d\), B. \(a\cdot d=b\cdot c\), C. \(a\cdot c=b\cdot d\), D. \(a\cdot b=e\cdot e\)? **Krok 1: dopasuj oznaczenia** Dwusieczna wychodzi z wierzchołka \(M\). Boki przyległe do kąta \(M\) to \(KM=a\) i \(LM=b\). Odcinki na boku \(KL\) to \(KN=c\) (przy wierzchołku \(K\)) i \(NL=d\) (przy wierzchołku \(L\)). **Krok 2: zapisz twierdzenie** Odcinek przy \(K\) do odcinka przy \(L\) jak bok przy \(K\) do boku przy \(L\): $$\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$$ **Krok 3: pomnóż na krzyż** \(c\cdot b=a\cdot d\), czyli \(a\cdot d=b\cdot c\). Odpowiedź B. Odpowiedź C (\(ac=bd\)) to klasyczna pomyłka: proporcja ustawiona "na odwrót". Zapamiętaj zasadę: odcinek przy danym wierzchołku odpowiada bokowi przy tym samym wierzchołku. ## Zadanie 21 (matura maj 2026) - stosunek pól trójkątów Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(|KM|=a\) oraz \(|LM|=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\). Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\). **Krok 1: wspólna wysokość** Trójkąty \(KNM\) i \(NLM\) mają wspólny wierzchołek \(M\), a podstawy \(KN\) i \(NL\) leżą na jednej prostej \(KL\). Wysokość \(h\) opuszczona z \(M\) na prostą \(KL\) jest więc w obu trójkątach taka sama. **Krok 2: stosunek pól przez podstawy** $$\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot|KN|\cdot h}{\frac{1}{2}\cdot|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}$$ **Krok 3: twierdzenie o dwusiecznej** \(MN\) jest dwusieczną kąta \(LMK\), więc \(\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|LM|}=\frac{a}{b}\). **Krok 4: wniosek** \(\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{a}{b}\), co należało wykazać. Alternatywna droga, gdybyś nie pamiętał twierdzenia: policz oba pola wzorem z sinusem. \(P_{KNM}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|MN|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}\) oraz \(P_{NLM}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot|MN|\cdot\sin\frac{\gamma}{2}\), gdzie \(\gamma\) to kąt \(LMK\). Po skróceniu zostaje \(\frac{a}{b}\). To jest dokładnie krok 2 dowodu twierdzenia z początku artykułu. Więcej takich zadań znajdziesz w zestawie [zadań dowodowych z matury CKE](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami), a cały arkusz na stronie [matury maj 2026](/exams/matura-maj-2026). ## Zadanie 17 (matura czerwiec 2017) - miara kąta z tangensa Odcinek \(BD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego \(ABC\) trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne \(AC\) i \(BC\) mają długości odpowiednio \(5\) i \(3\). Miara \(\varphi\) kąta \(DBC\) spełnia warunek: A. \(20^\circ0^\circ\), to \(|\sphericalangle APB|>90^\circ\), czyli kąt jest rozwarty. Co należało uzasadnić. Ten sam rachunek daje gotową odpowiedź w zadaniach zamkniętych typu "dwusieczne kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego o kącie \(70^\circ\) przecinają się pod kątem...": wystarczy \(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\). Więcej o rachunkach na kątach w trójkącie przeczytasz we wpisie o [kątach w figurach na maturze](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat). ## Typowe pułapki przy dwusiecznej - **Proporcja "na odwrót".** Odcinek przy wierzchołku \(A\) odpowiada bokowi przy wierzchołku \(A\). W zadaniu z maja 2024 pomylenie stron daje błędną odpowiedź C zamiast B. - **Stosunek do całego boku zamiast do drugiego odcinka.** \(|AD|:|DB|=3:4\) to nie to samo co \(|AD|:|AB|=3:7\). Zadanie z sierpnia 2023 ma obie liczby wśród odpowiedzi. - **Dwusieczna to nie środkowa.** Dwusieczna dzieli bok na pół tylko wtedy, gdy boki przyległe są równe. W trójkącie o bokach \(3\) i \(4\) punkt \(D\) nie jest środkiem \(AB\). O środkowych i ich punkcie przecięcia piszemy we wpisie o [środku ciężkości trójkąta](/srodek-ciezkosci-trojkata-wzor-wspolrzedne-matura). - **Dwusieczna to nie wysokość.** Dwusieczna jest prostopadła do przeciwległego boku tylko w trójkącie równoramiennym (dla kąta między ramionami). Wysokości liczysz inaczej, zobacz [jak obliczyć wysokość trójkąta](/jak-obliczyc-wysokosc-trojkata-wzory-zadania). - **Zapomniane dzielenie przez 2.** W zadaniach z tangensem albo z kątem między dwusiecznymi połowa kąta gubi się najczęściej. Po obliczeniu całego kąta wróć do pytania i sprawdź, czy chodzi o kąt, czy o jego połowę. - **Brak uzasadnienia w dowodzie.** W zadaniu "wykaż" musisz napisać, skąd biorą się równe kąty (definicja dwusiecznej) i wspólna wysokość (podstawy na jednej prostej). Sam wynik bez tych dwóch zdań to zero punktów. ## Najczęstsze pytania ### Co to jest dwusieczna kąta? Dwusieczna kąta to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta, która dzieli go na dwa kąty o równych miarach. Każdy punkt dwusiecznej jest jednakowo odległy od obu ramion kąta, a w trójkącie trzy dwusieczne przecinają się w środku okręgu wpisanego. ### Co mówi twierdzenie o dwusiecznej? Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych do tego kąta. Jeśli dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\), to \(|AD|:|DB|=|AC|:|BC|\). Twierdzenie obowiązuje na maturze podstawowej, co potwierdzają zadania z maja 2024 i maja 2026. ### Jak obliczyć długość dwusiecznej w trójkącie? Ze wzoru \(d=\frac{2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}\), gdzie \(a\) i \(b\) to boki zawierające kąt \(\gamma\). Wzoru nie ma w tablicach, więc na maturze wyprowadzasz go z równości pól: pole całego trójkąta to suma pól dwóch trójkątów, na które dzieli go dwusieczna, każde liczone wzorem z sinusem. ### Czym różni się dwusieczna od symetralnej? Dwusieczna dzieli kąt na dwie równe części i przechodzi przez jego wierzchołek. Symetralna dzieli odcinek na dwie równe części i jest do niego prostopadła. Dwusieczne kątów trójkąta wyznaczają środek okręgu wpisanego, a symetralne boków środek okręgu opisanego. ### Gdzie przecinają się dwusieczne trójkąta? W jednym punkcie leżącym zawsze wewnątrz trójkąta, który jest środkiem okręgu wpisanego. Odległość tego punktu od każdego boku jest taka sama i równa promieniowi okręgu wpisanego \(r\), który możesz policzyć ze wzoru \(P=\frac{1}{2}(a+b+c)\cdot r\). ### Pod jakim kątem przecinają się dwusieczne dwóch kątów trójkąta? Pod kątem \(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\), gdzie \(\gamma\) to trzeci kąt trójkąta. Dlatego ten kąt jest zawsze rozwarty. Dla trójkąta równobocznego wychodzi \(90^\circ+30^\circ=120^\circ\). ### Czy dwusieczna dzieli bok trójkąta na pół? Tylko wtedy, gdy dwa boki przyległe do dzielonego kąta są równe, czyli w trójkącie równoramiennym dla kąta między ramionami. W każdym innym przypadku odcinki są różne i ich stosunek wynika z twierdzenia o dwusiecznej. ## Checklista: co musisz umieć - Podać definicję dwusiecznej i własność równych odległości od ramion. - Zapisać twierdzenie o dwusiecznej z poprawnie dopasowanymi odcinkami i bokami. - Udowodnić twierdzenie przez pola (wspólna wysokość plus wzór z sinusem). - Obliczyć kąt między dwusiecznymi: \(90^\circ+\frac{\gamma}{2}\). - Wyprowadzić długość dwusiecznej z równości pól, w szczególności dla kąta \(60^\circ\) i \(90^\circ\). - Rozpoznać schemat "dwusieczna plus kąty naprzemianległe daje trójkąt równoramienny" w trapezie i równoległoboku. - Odróżnić dwusieczną od symetralnej, środkowej i wysokości. Zadania z dwusieczną na żywo przećwiczysz w arkuszach [matury maj 2024](/exams/matura-maj-2024) i [matury sierpień 2023](/exams/matura-sierpien-2023), a pełny przegląd działu znajdziesz w zestawie [zadań CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)