---
route: /dodawanie-poteg-o-tej-samej-podstawie-wylaczanie-przed-nawias-matura
title: Dodawanie potęg o tej samej podstawie - jak wyłączyć potęgę przed nawias (zadania maturalne)
description: Jak dodawać potęgi o tej samej podstawie: wyłącz najmniejszą potęgę przed nawias. Wzory, 7 rozwiązanych przykładów i dowody podzielności z matury CKE.
type: task_solution
category: Potęgi i pierwiastki
tags: dodawanie potęg o tej samej podstawie, jak dodawać potęgi, odejmowanie potęg, suma potęg o tej samej podstawie, wyłączanie potęgi przed nawias, wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias potęgi, wykaż że liczba jest podzielna przez potęgi, dowód podzielności z potęgami matura, sprowadzanie potęg do wspólnej podstawy, potęgi zadania maturalne, potęgi matura podstawowa
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-10-01T13:27:00.276+00:00
updated: 2026-10-01T13:35:30.002+00:00
---
# Dodawanie potęg o tej samej podstawie - jak wyłączyć potęgę przed nawias (zadania maturalne)
Potęg o tej samej podstawie nie dodaje się przez dodanie wykładników: \(2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4\), a nie \(2^6 = 64\). Sumę potęg upraszczasz, **wyłączając przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku**: \(a^{n} + a^{n+1} + a^{n+2} = a^{n}\left(1 + a + a^2\right)\). Gdy wszystkie składniki są jednakowe, dodawanie zamieniasz na mnożenie, na przykład \(2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11}\). Gdy podstawy są różne, najpierw sprowadzasz je do wspólnej, na przykład \(4^{5} = 2^{10}\).

Na maturze z matematyki na poziomie podstawowym ten rachunek wraca w dwóch postaciach. Pierwsza to zadanie zamknięte za punkt: w [czerwcu 2017](/exams/matura-czerwiec-2017) trzeba było uprościć sumę \(16^{24}+16^{24}+16^{24}+16^{24}\), a w [maju 2025](/exams/matura-maj-2025) iloraz \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\). Druga to zadanie dowodowe: wykaż, że liczba złożona z potęg jest podzielna przez \(17\), \(21\) albo \(31\), jak w [maju 2017](/exams/matura-maj-2017), w próbnej maturze CKE z grudnia 2024 i w [sierpniu 2025](/exams/matura-sierpien-2025). Mnożenie i dzielenie potęg oraz potęgę potęgi masz we wpisie [potęgi i pierwiastki na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania). Tutaj jest jeden temat: dodawanie i odejmowanie potęg.

## Dlaczego nie wolno dodawać wykładników

Wykładniki dodajesz tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Przy dodawaniu takiej reguły nie ma, bo \(a^m + a^n\) to suma dwóch liczb, a nie ich iloczyn. Najprościej sprawdzić to na małych liczbach: \(3^2 + 3^2 = 18\), a \(3^4 = 81\).

Potęga to skrócony zapis mnożenia: \(2^5\) to pięć dwójek pomnożonych przez siebie. Gdy mnożysz \(2^5 \cdot 2^3\), do pięciu dwójek dokładasz trzy kolejne i masz osiem, stąd \(2^8\). Gdy dodajesz \(2^5 + 2^3\), niczego nie dokładasz do iloczynu, tylko dodajesz dwie osobne liczby: \(32 + 8 = 40\). Liczby \(40\) nie zapiszesz jako jednej potęgi dwójki, ale zapiszesz ją jako iloczyn potęgi i zwykłej liczby: \(40 = 2^3 \cdot 5\). Dokładnie to robi wyłączanie przed nawias: \(2^5 + 2^3 = 2^3\left(2^2 + 1\right) = 2^3 \cdot 5\).

## Jednakowe składniki: dodawanie zamieniasz na mnożenie

Suma \(k\) jednakowych potęg \(a^n\) to \(k \cdot a^n\). Gdy liczba składników \(k\) sama jest potęgą tej samej podstawy, wynik zapisujesz jako jedną potęgę: \(3 \cdot 3^{7} = 3^{8}\), a \(4 \cdot 2^{9} = 2^2 \cdot 2^9 = 2^{11}\).

Na tym stało zadanie z czerwca 2017: cztery jednakowe składniki \(16^{24}\) to \(4 \cdot 16^{24}\). Ponieważ \(16 = 4^2\), masz \(16^{24} = 4^{48}\), a cała suma to \(4 \cdot 4^{48} = 4^{49}\).

**Uwaga:** Jeśli liczba składników nie jest potęgą podstawy, zostawiasz ją jako współczynnik. \(5^{8} + 5^{8} + 5^{8} = 3 \cdot 5^{8}\) i to jest wynik w najprostszej postaci.

## Różne wykładniki: wyłącz najmniejszą potęgę

Gdy wykładniki są różne, wyłączasz przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku. W nawiasie zostają ilorazy każdego składnika przez wyłączoną potęgę, czyli małe potęgi, które liczysz w pamięci: \(7^{20} + 7^{21} = 7^{20}(1 + 7) = 8 \cdot 7^{20}\).

Dlaczego najmniejszą? Bo wtedy w nawiasie zostają same liczby całkowite. Wyłączenie większej potęgi też jest poprawne, ale w nawiasie pojawiają się ułamki: \(7^{20} + 7^{21} = 7^{21}\left(\frac17 + 1\right)\). W dowodzie podzielności taki ułamek przeszkadza, bo nie widać od razu, czy wynik jest wielokrotnością dzielnika.

Co zostaje w nawiasie, sprawdzasz dzieleniem: każdy składnik dzielisz przez wyłączoną potęgę, czyli odejmujesz wykładniki. Z \(3^{n+3}\) po wyłączeniu \(3^{n}\) zostaje \(3^3 = 27\), z \(3^{n+1}\) zostaje \(3\), a z samego \(3^{n}\) zostaje \(1\), a nie \(0\).

## Różne podstawy: najpierw wspólna podstawa

Gdy podstawy są różne, zamieniasz je na potęgi tej samej liczby i dopiero wtedy wyłączasz. W zadaniach maturalnych tego typu podstawy są zwykle potęgami liczb \(2\), \(3\) albo \(5\): \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\), \(32 = 2^5\), \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(25 = 5^2\), \(125 = 5^3\).

Potem korzystasz z potęgi potęgi: \(8^{50} = \left(2^3\right)^{50} = 2^{150}\). Zamianę podstaw także dla wykładników ujemnych i wymiernych opisuje wpis [potęgi o wykładniku wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc).

Tak zbudowane są zadania dowodowe z arkuszy CKE:

| Arkusz | Liczba | Co wyłączasz |
|---|---|---|
| [Matura maj 2013, zadanie 31](/task/matura-maj-2013-31) | \(6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}\) | \(6^{98}\) |
| [Matura maj 2017, zadanie 27](/task/matura-maj-2017-27) | \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) | \(4^{2017}\) |
| [Próbna CKE grudzień 2024, zadanie 3](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03) | \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) | \(2^{96}\) |
| [Matura sierpień 2025, zadanie 5](/task/matura-sierpie-2025-05) | \(8^{50}-2^{145}\) | \(2^{145}\) |

## Schemat w trzech krokach

Każde zadanie z sumą albo różnicą potęg rozwiążesz tym samym schematem: wspólna podstawa, wyłączenie najmniejszej potęgi, rachunek w nawiasie. Kolejność ma znaczenie, bo dopóki podstawy są różne, nie wiesz, która potęga jest najmniejsza.

**Najpierw wspólna podstawa.** Zamień każdą podstawę na potęgę tej samej liczby. W liczbie \(2^{100}+4^{49}+16^{24}\) z próbnej matury dostajesz \(2^{100}+2^{98}+2^{96}\). Dopiero teraz widać, że najmniejszą potęgą jest \(2^{96}\), choć w zapisie z zadania najmniejszy wykładnik stał przy szesnastce.

**Potem najmniejsza potęga przed nawias.** Wyłącz potęgę o najmniejszym wykładniku. Jeśli przy potęgach stoją współczynniki, jak w \(6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}\), zostają one w nawiasie i mnożą się przez to, co zostało z potęgi.

**Na końcu rachunek w nawiasie.** Policz nawias do jednej liczby i porównaj ją z pytaniem. W zadaniu zamkniętym szukasz tej liczby w odpowiedziach, w dowodzie sprawdzasz, czy jest wielokrotnością dzielnika, a w ułamku skracasz wyłączoną potęgę z mianownikiem.

## Wzory

Iloczyn potęg o tej samej podstawie:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Suma k jednakowych potęg:

$$a^n + a^n + \ldots + a^n = k \cdot a^n$$

Wyłączanie najmniejszej potęgi:

$$a^{n} + a^{n+1} + a^{n+2} = a^{n}\left(1 + a + a^2\right)$$

Różnica potęg o tej samej podstawie:

$$a^{n+k} - a^{n} = a^{n}\left(a^{k} - 1\right)$$

Potęga potęgi:

$$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$

## Przykład 1: Suma jednakowych potęg

**Treść:** Suma \(9^{15} + 9^{15} + 9^{15}\) jest równa:

- A) \(3^{31}\)
- B) \(27^{15}\)
- C) \(9^{45}\)
- D) \(9^{16}\)

**Krok 1: Zamień dodawanie na mnożenie.** Trzy jednakowe składniki to trzy razy ten składnik:

$$9^{15} + 9^{15} + 9^{15} = 3 \cdot 9^{15}$$

**Krok 2: Sprowadź do podstawy 3.** Ponieważ \(9 = 3^2\), masz \(9^{15} = 3^{30}\):

$$3 \cdot 3^{30} = 3^{31}$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedź C to dodane wykładniki, B to trójka wmnożona w podstawę, a D wyszłoby dopiero dla dziewięciu jednakowych składników.

## Przykład 2: Suma potęg w liczniku ułamka

**Treść:** Liczba \(\frac{2^{30} + 2^{31} + 2^{32}}{2^{30}}\) jest równa:

- A) \(7\)
- B) \(3\)
- C) \(2^{63}\)
- D) \(2^{3}\)

**Krok 1: Wyłącz najmniejszą potęgę w liczniku.**

$$2^{30} + 2^{31} + 2^{32} = 2^{30}\left(1 + 2 + 4\right) = 7 \cdot 2^{30}$$

**Krok 2: Skróć ułamek.**

$$\frac{7 \cdot 2^{30}}{2^{30}} = 7$$

**Odpowiedź: A.** Odpowiedź C wychodzi, gdy ktoś doda wykładniki w liczniku (\(30 + 31 + 32 = 93\)) i odejmie \(30\). B to każdy składnik licznika „skrócony” do jedynki, a D to ten sam błąd popełniony w nawiasie: \(2^0 + 2^1 + 2^2\) to \(7\), a nie \(2^3\). Ten sam schemat, tylko z piątkami, ma zadanie 2 z matury maj 2025.

## Przykład 3: Różne podstawy i odejmowanie

**Treść:** Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{9^{10} - 3^{19}}{3^{18}}\).

**Krok 1: Sprowadź do wspólnej podstawy.** \(9^{10} = \left(3^2\right)^{10} = 3^{20}\), więc licznik to \(3^{20} - 3^{19}\).

**Krok 2: Wyłącz mniejszą potęgę.**

$$3^{20} - 3^{19} = 3^{19}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{19}$$

**Krok 3: Podziel.**

$$\frac{2 \cdot 3^{19}}{3^{18}} = 2 \cdot 3 = 6$$

**Odpowiedź:** \(6\). Bez wyłączania musiałbyś liczyć \(3^{20}\), czyli liczbę dziesięciocyfrową. Wyłączenie skraca rachunek do jednego mnożenia. Podobnie zbudowane jest [zadanie 8 z czerwca 2018](/task/matura-czerwiec-2018-08), w którym od \(8^{20}\) odejmuje się \(2 \cdot 4^{20}\).

## Przykład 4: Dowód podzielności

**Treść:** Wykaż, że liczba \(3^{2020} + 3^{2021} + 3^{2022}\) jest podzielna przez \(13\).

**Krok 1: Wyłącz najmniejszą potęgę.**

$$3^{2020} + 3^{2021} + 3^{2022} = 3^{2020}\left(1 + 3 + 9\right) = 13 \cdot 3^{2020}$$

**Krok 2: Nazwij czynniki.** Liczba \(3^{2020}\) jest liczbą całkowitą, więc cała suma jest iloczynem liczby \(13\) i liczby całkowitej.

**Wniosek:** liczba \(3^{2020} + 3^{2021} + 3^{2022}\) jest podzielna przez \(13\), co należało wykazać. Bez tego zdania dowód urywa się na rachunku, a teza nie pada.

## Przykład 5: Dowód z różnymi podstawami

**Treść:** Wykaż, że liczba \(4^{30} - 2^{57}\) jest podzielna przez \(7\).

**Krok 1: Sprowadź do wspólnej podstawy.** \(4^{30} = \left(2^2\right)^{30} = 2^{60}\).

**Krok 2: Wyłącz mniejszą potęgę.**

$$2^{60} - 2^{57} = 2^{57}\left(2^3 - 1\right) = 7 \cdot 2^{57}$$

**Wniosek:** liczba \(4^{30} - 2^{57}\) jest iloczynem liczby \(7\) i liczby całkowitej \(2^{57}\), więc jest podzielna przez \(7\). Identycznie zbudowane jest zadanie 5 z sierpnia 2025, tylko z dzielnikiem \(31\), bo \(2^5 - 1 = 31\).

## Przykład 6: Współczynniki przy potęgach

**Treść:** Wykaż, że liczba \(5^{40} - 3 \cdot 5^{39} + 2 \cdot 5^{38}\) jest podzielna przez \(12\).

**Krok 1: Wyłącz najmniejszą potęgę.** Najmniejszy wykładnik ma \(5^{38}\). Z \(5^{40}\) zostaje \(5^2 = 25\), z \(3 \cdot 5^{39}\) zostaje \(3 \cdot 5 = 15\), a z \(2 \cdot 5^{38}\) zostaje sam współczynnik \(2\):

$$5^{40} - 3 \cdot 5^{39} + 2 \cdot 5^{38} = 5^{38}\left(25 - 15 + 2\right) = 12 \cdot 5^{38}$$

**Krok 2: Pilnuj znaków.** Minus przed \(3 \cdot 5^{39}\) przechodzi do nawiasu razem ze współczynnikiem, więc w nawiasie stoi \(-15\), a nie \(+15\). Z plusem wyszłoby \(42\) i dowód by się nie domknął.

**Wniosek:** liczba jest iloczynem liczby \(12\) i liczby całkowitej \(5^{38}\), więc jest podzielna przez \(12\). Tak samo zbudowane jest zadanie 31 z maja 2013, w którym po wyłączeniu \(6^{98}\) w nawiasie zostaje \(36 - 12 + 10 = 34\).

## Przykład 7: Wyłączanie potęgi w równaniu

**Treść:** Rozwiąż równanie \(2^{x} + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 56\).

**Krok 1: Wyłącz potęgę o najmniejszym wykładniku.** Najmniejszy wykładnik ma \(2^{x}\):

$$2^{x}\left(1 + 2 + 4\right) = 56 \quad\Rightarrow\quad 7 \cdot 2^{x} = 56$$

**Krok 2: Wyznacz potęgę.**

$$2^{x} = 8 = 2^{3}$$

**Odpowiedź:** \(x = 3\). Sprawdzenie: \(8 + 16 + 32 = 56\). Więcej takich równań znajdziesz we wpisie [jak rozwiązać równanie wykładnicze](/jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze).

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Trzy zadania z arkuszy CKE na poziomie podstawowym. Pierwsze to przykład 1 z dodatkowym dzieleniem przez dwa, drugie to przykład 2 z piątkami zamiast dwójek, a trzecie to dowód podzielności z czterema składnikami.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-grudzie-2014-07

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2025-02

Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2017-27

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Dodawanie wykładników przy dodawaniu potęg. \(5^{8} + 5^{8}\) to \(2 \cdot 5^{8}\), a nie \(5^{16}\). Wykładniki dodajesz tylko przy mnożeniu.

**Pułapka 2:** Zgubiona jedynka w nawiasie. Po wyłączeniu \(a^n\) ze składnika \(a^n\) zostaje \(1\): \(2^{10} + 2^{11} = 2^{10}(1 + 2) = 3 \cdot 2^{10}\), a nie \(2^{10} \cdot 2\).

**Pułapka 3:** Wyłączenie większej potęgi w dowodzie. Zapis \(5^{12} + 5^{13} = 5^{13}\left(\frac15 + 1\right)\) jest poprawny, ale z ułamka w nawiasie nie odczytasz podzielności. Wyłączaj najmniejszą potęgę.

**Pułapka 4:** Współczynnik wmnożony w podstawę. \(3 \cdot 2^{10}\) to nie \(6^{10}\). Współczynnik połączysz z potęgą tylko wtedy, gdy sam jest potęgą tej samej podstawy, jak w \(4 \cdot 2^{10} = 2^{12}\).

**Wskazówka:** Dzielnik z treści podpowiada, co powinno zostać w nawiasie. Gdy w dowodzie podzielności przez \(17\) po wyłączeniu zostaje \(85 = 5 \cdot 17\) albo \(34 = 2 \cdot 17\), wystarczy rozłożyć tę liczbę na czynniki. Gdy zostaje liczba niepodzielna przez dzielnik, szukaj błędu w zamianie podstaw albo w nawiasie.

## Co musisz umieć

- Odróżnić mnożenie potęg, przy którym dodajesz wykładniki, od dodawania potęg, przy którym tego nie robisz.
- Zamienić sumę jednakowych potęg na iloczyn liczby składników i potęgi.
- Wyłączyć przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku i obliczyć, co zostaje w nawiasie.
- Zapisać liczby 4, 8, 16, 9, 27 i 125 jako potęgi liczb 2, 3 i 5.
- Zakończyć dowód podzielności zdaniem z wnioskiem.
- Uprościć ułamek, w którego liczniku stoi suma albo różnica potęg.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania zamknięte z arkuszy, w których najpierw sprowadzasz potęgi do wspólnej podstawy, a potem upraszczasz iloczyn albo iloraz. To ten sam warsztat, którego potrzebujesz, zanim cokolwiek wyłączysz przed nawias. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki), a dowody podzielności z innych działów zebrane są we wpisach o [podzielności liczb](/podzielnosc-liczb-matura-cechy-reszty-zadania) i o [zadaniach dowodowych z matury](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z potęg i pierwiastków (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak dodawać potęgi o tej samej podstawie?

Wyłącz przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku, a w nawiasie zapisz, co zostaje z każdego składnika. Na przykład \(3^{5} + 3^{6} = 3^{5}(1 + 3) = 4 \cdot 3^{5}\). Wykładników nie dodajesz, bo to nie jest mnożenie.

### Ile to jest 2 do potęgi 10 plus 2 do potęgi 10?

\(2^{10} + 2^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2^{11} = 2048\). Dwa jednakowe składniki to dwa razy ten składnik, a mnożenie przez \(2\) podnosi wykładnik potęgi dwójki o jeden.

### Czy można dodawać potęgi o różnych podstawach?

Tylko wtedy, gdy da się je sprowadzić do wspólnej podstawy, na przykład \(4^{5} + 2^{10} = 2^{10} + 2^{10} = 2^{11}\). Potęg takich jak \(2^{5}\) i \(3^{5}\) nie zamienisz na jedną potęgę, więc zostaje policzyć ich wartości: \(32 + 243 = 275\).

### Jak odejmować potęgi o tej samej podstawie?

Tak samo jak dodawać, czyli wyłączając mniejszą potęgę: \(5^{9} - 5^{7} = 5^{7}(25 - 1) = 24 \cdot 5^{7}\). Wykładników nie odejmujesz, bo to reguła dzielenia potęg, a nie odejmowania.

### Dlaczego wyłącza się najmniejszą potęgę, a nie największą?

Bo wtedy w nawiasie zostają liczby całkowite, które łatwo dodać i porównać z dzielnikiem. Wyłączenie największej potęgi daje w nawiasie ułamki, na przykład \(\frac{1}{7}\), z których trudno odczytać podzielność.

### Jak udowodnić, że liczba z potęgami jest podzielna przez daną liczbę?

Sprowadź wszystkie składniki do wspólnej podstawy, wyłącz najmniejszą potęgę i pokaż, że w nawiasie stoi wielokrotność dzielnika. Zakończ zdaniem, że liczba jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej, więc jest przez niego podzielna. Tak są rozwiązane przykłady 4, 5 i 6.

### Jak dodać liczby zapisane w notacji wykładniczej?

Tą samą metodą: wyłączasz mniejszą potęgę dziesięciu. \(3 \cdot 10^{5} + 4 \cdot 10^{4} = 10^{4}(30 + 4) = 34 \cdot 10^{4} = 3{,}4 \cdot 10^{5}\). Na końcu przesuwasz przecinek tak, żeby przed potęgą dziesięciu stała liczba od \(1\) do \(10\), jak opisuje wpis o [notacji wykładniczej](/notacja-wykladnicza-jak-zapisac-liczbe-zadania-matura).