---
route: /czy-pojemnosc-to-objetosc-litry-dm3-zamiana-jednostek
title: Czy pojemność to objętość? Litry, dm³ i zamiana jednostek na maturze
description: Pojemność to objętość wnętrza naczynia: 1 l = 1 dm³ = 1000 cm³, a 1 m³ = 1000 l. Zamiana jednostek krok po kroku i 5 przykładów z bryłami maturalnymi.
type: topic_guide
category: Stereometria
tags: czy pojemność to objętość, pojemność a objętość, ile litrów ma metr sześcienny, litr to dm3, zamiana cm3 na litry, jednostki objętości, jednostki pojemności, pojemność walca w litrach, pojemność prostopadłościanu, objętość brył matura, 1 m3 ile litrów
author: Marcel Bogdan
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan
published: 2026-10-24T19:07:08.701+00:00
updated: 2026-10-24T19:10:01.461+00:00
---
# Czy pojemność to objętość? Litry, dm³ i zamiana jednostek na maturze
Tak, pojemność to objętość, tylko liczona dla wnętrza naczynia: mówi, ile cieczy albo gazu zmieści się w środku. Dlatego pojemność podajesz w litrach i mililitrach, a objętość zwykle w jednostkach sześciennych, przy czym \(1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3\) i \(1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3\). Na maturze z matematyki pojemność naczynia liczysz dokładnie tymi samymi wzorami co objętość bryły, a cała trudność leży w zamianie jednostek.

## W skrócie

- Pojemność naczynia to objętość jego wnętrza, a objętość bryły mierzy całe miejsce, które ta bryła zajmuje.
- Najważniejsze przeliczniki to \(1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3\) oraz \(1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l}\).
- Przelicznik długości podnosisz do trzeciej potęgi: skoro \(1\ \text{m} = 10\ \text{dm}\), to \(1\ \text{m}^3 = 10^3\ \text{dm}^3\).
- Najbezpieczniej zamienić wymiary na decymetry przed liczeniem, bo wtedy wynik w \(\text{dm}^3\) od razu jest w litrach.
- Najczęstszy błąd to dzielenie przez 100 zamiast przez 1000 przy zamianie \(\text{cm}^3\) na litry.

## Pojemność a objętość: czym się różnią

Obie wielkości dotyczą przestrzeni, więc w wielu zadaniach z działu [Stereometria](/topics/stereometria) używa się ich zamiennie. Różnica jest w tym, czego dotyczą. Objętość to ilość miejsca, które zajmuje bryła: sześcian z drewna, metalowa kula, stożek z plasteliny. Pojemność to ilość miejsca w środku naczynia, czyli objętość tej części, którą da się napełnić wodą, piaskiem albo powietrzem.

Weź kubek z grubymi ściankami. Objętość kubka jako przedmiotu to objętość samej ceramiki. Pojemność kubka to objętość pustego wnętrza, które wypełnia herbata. Te dwie liczby są różne i żadna z nich nie jest „lepsza”: zależy, o co pyta zadanie.

Policz to na prostym pudełku. Zamknięte pudełko w kształcie sześcianu ma krawędź zewnętrzną \(10\ \text{cm}\), a każda ścianka ma grubość \(1\ \text{cm}\). Wnętrze ma więc krawędź \(10 - 2 \cdot 1 = 8\ \text{cm}\), bo grubość ścianki odejmujesz z obu stron.

$$V_{\text{wnętrza}} = 8^3 = 512\ \text{cm}^3 = 0{,}512\ \text{l}$$

Bryła zewnętrzna ma objętość \(10^3 = 1000\ \text{cm}^3\), więc sam materiał ścianek zajmuje \(1000 - 512 = 488\ \text{cm}^3\). Pojemność pudełka to \(512\ \text{ml}\), a nie \(1\ \text{l}\), choć z zewnątrz wygląda na litrowe.

**Zapamiętaj:** W zadaniach maturalnych zwykle dostajesz wymiary wnętrza albo informację, że ścianki pomijasz. Wtedy pojemność naczynia równa się objętości bryły o podanych wymiarach i liczysz ją wzorem z tablic CKE.

Jest jeszcze jedno źródło pomyłek, które trafiło na listę [najczęstszych błędów na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki#blad-16-zamiana-objetosci-z-polem-powierzchni): pojemność nie ma nic wspólnego z polem powierzchni. Pole powierzchni mówi, ile farby albo papieru potrzeba na obłożenie bryły z zewnątrz (jednostki kwadratowe, np. \(\text{cm}^2\)). Pojemność mówi, ile się zmieści w środku (jednostki sześcienne albo litry). Jeśli w odpowiedzi do pytania o litry wychodzi ci wynik w \(\text{cm}^2\), coś poszło nie tak już przy wyborze wzoru.

## Jednostki objętości i pojemności

Jednostki sześcienne powstają z jednostek długości: \(1\ \text{cm}^3\) to objętość sześcianu o krawędzi \(1\ \text{cm}\), a \(1\ \text{dm}^3\) to objętość sześcianu o krawędzi \(1\ \text{dm}\). Jednostki pojemności (litr, mililitr, hektolitr) to nazwy nadane wybranym jednostkom sześciennym, żeby łatwiej mówić o płynach. Litr jest po prostu inną nazwą decymetra sześciennego.

| Jednostka pojemności | Ta sama ilość w jednostkach sześciennych |
|---|---|
| \(1\ \text{ml}\) | \(1\ \text{cm}^3\) |
| \(1\ \text{l} = 1000\ \text{ml}\) | \(1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3\) |
| \(1\ \text{hl} = 100\ \text{l}\) | \(100\ \text{dm}^3 = 0{,}1\ \text{m}^3\) |
| \(1000\ \text{l}\) | \(1\ \text{m}^3\) |

Druga tabela pokazuje same jednostki sześcienne. Każdy krok w dół mnoży liczbę przez 1000, każdy krok w górę dzieli ją przez 1000.

| Jednostka | W mniejszej jednostce | W litrach |
|---|---|---|
| \(1\ \text{m}^3\) | \(1000\ \text{dm}^3\) | \(1000\ \text{l}\) |
| \(1\ \text{dm}^3\) | \(1000\ \text{cm}^3\) | \(1\ \text{l}\) |
| \(1\ \text{cm}^3\) | \(1000\ \text{mm}^3\) | \(0{,}001\ \text{l}\) |

Z tych dwóch tabel wynikają wszystkie przeliczenia, których potrzebujesz w zadaniach. Butelka \(1{,}5\ \text{l}\) to \(1500\ \text{cm}^3\). Wanna o pojemności \(200\ \text{l}\) to \(0{,}2\ \text{m}^3\). Strzykawka \(5\ \text{ml}\) to \(5\ \text{cm}^3\).

Rzadziej spotkasz hektolitry i milimetry sześcienne. Hektolitr to \(100\ \text{l}\), więc beczka na \(2\ \text{hl}\) mieści \(200\ \text{l}\), czyli \(0{,}2\ \text{m}^3\). Milimetry sześcienne przydają się przy bardzo małych przedmiotach: kropla o objętości \(50\ \text{mm}^3\) to \(0{,}05\ \text{cm}^3\), czyli \(0{,}05\ \text{ml}\). W obu przypadkach działa ta sama zasada: sąsiednie jednostki sześcienne różnią się tysiąc razy.

**Wskazówka:** Duże liczby zapisuj potęgami dziesiątki: \(1\ \text{m}^3 = 10^6\ \text{cm}^3\). Jak to robić bez pomyłki w liczbie zer, pokazuje wpis o tym, [jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej](/notacja-wykladnicza-jak-zapisac-liczbe-zadania-matura).

## Dlaczego 1 m³ to 1000 litrów, a nie 100

Bo przelicznik długości działa w każdym z trzech wymiarów naraz. Metr to \(10\) decymetrów. Sześcian o krawędzi \(1\ \text{m}\) ma więc krawędź \(10\ \text{dm}\), a jego objętość w decymetrach to:

$$V = (10\ \text{dm})^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{l}$$

Możesz to sobie wyobrazić dosłownie. Na dnie metrowego sześcianu zmieści się \(10 \cdot 10 = 100\) litrowych kostek. Takich warstw ułożysz jedna na drugiej \(10\), więc razem jest \(1000\) kostek, czyli \(1000\) litrów.

Ten sam mechanizm działa przy polu. Skoro \(1\ \text{m} = 10\ \text{dm}\), to \(1\ \text{m}^2 = 10^2\ \text{dm}^2 = 100\ \text{dm}^2\). Ogólna reguła brzmi tak:

- przelicznik długości \(k\) daje przelicznik pola \(k^2\);
- przelicznik długości \(k\) daje przelicznik objętości \(k^3\).

To dokładnie ta sama zależność, którą znasz z figur podobnych: gdy skala podobieństwa wynosi \(k\), pola rosną \(k^2\) razy, a objętości \(k^3\) razy. Zamiana jednostek to po prostu podobieństwo o skali \(10\), \(100\) albo \(1000\). Szerzej omawia to wpis o tym, [jak skala podobieństwa zmienia pola i objętości](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura).

**Pułapka:** Zamiana \(1\ \text{m}^3 = 100\ \text{dm}^3\) bierze się z mechanicznego przepisania przelicznika długości. Wynik jest wtedy dziesięć razy za mały i w zadaniu zamkniętym prawie na pewno trafisz w przygotowaną przez autora złą odpowiedź.

## Jak zamieniać jednostki krok po kroku

Masz dwie bezpieczne metody. Obie dają ten sam wynik, różnią się tylko tym, kiedy przeliczasz.

**Metoda 1: przelicz wymiary przed liczeniem objętości.** Zamieniasz każdą długość na decymetry, liczysz objętość i od razu masz wynik w litrach. To najprostsza droga, bo przeliczasz zwykłe długości, gdzie przelicznik to tylko \(10\): \(1\ \text{dm} = 10\ \text{cm}\), \(1\ \text{m} = 10\ \text{dm}\).

**Metoda 2: policz objętość w jednostkach z zadania i przelicz wynik.** Liczysz objętość w \(\text{cm}^3\) albo \(\text{m}^3\), a potem korzystasz z tabeli: dzielisz przez \(1000\) przy przejściu z \(\text{cm}^3\) na litry, mnożysz przez \(1000\) przy przejściu z \(\text{m}^3\) na litry.

Kolejność działań w obu metodach wygląda tak:

1. Wypisz wszystkie wymiary z zadania razem z jednostkami.
2. Sprawdź, czy wszystkie są w tej samej jednostce, bo [niespójność jednostek to klasyczny błąd rachunkowy](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac#problem-niespojnosc-jednostek). Jeśli promień jest w centymetrach, a wysokość w metrach, zamień jedno z nich, zanim cokolwiek podstawisz.
3. Wybierz wzór na objętość bryły i podstaw wymiary.
4. Zamień wynik na jednostkę, o którą pyta zadanie.
5. Oceń sens wyniku: akwarium na \(7000\) litrów albo wiadro na \(0{,}1\) litra to sygnał błędu w przeliczeniu.

Punkt 5 jest ważniejszy, niż się wydaje. Znasz z życia rozmiary: butelka wody ma \(0{,}5\) albo \(1{,}5\ \text{l}\), wiadro około \(10\ \text{l}\), wanna kilkaset litrów. Jeśli wynik nie pasuje do skali przedmiotu, wróć do kroku 2.

Zamiany jednostek przydają się także w zadaniach z przepływem: pompa tłoczy \(x\) litrów na minutę, a ty liczysz czas napełnienia. Tam objętość odgrywa rolę drogi, a wydajność pompy rolę prędkości, więc działa ten sam wzór \(t = \frac{V}{w}\), który znasz z zadań typu [jak ułożyć równanie z prędkością, drogą i czasem](/zadania-z-predkoscia-droga-i-czasem-matura-jak-ulozyc-rownanie).

## Wzory

Objętość prostopadłościanu:

$$V = a \cdot b \cdot c$$

Objętość walca:

$$V = \pi r^2 h$$

Objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Objętość kuli:

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

Objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} P_p \cdot h$$

Litr w jednostkach sześciennych:

$$1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$$

Na egzaminie możesz korzystać z tablic „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki”, więc wzorów na objętość brył nie musisz wkuwać. Przelicznik litrów na decymetry sześcienne warto mieć w głowie, bo to on najczęściej decyduje o wyniku.

## Przykład 1: Ile litrów mieści akwarium

**Treść:** Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach wnętrza \(60\ \text{cm} \times 30\ \text{cm}\) i wysokości \(40\ \text{cm}\). Pojemność tego akwarium jest równa:

- A) \(7{,}2\ \text{l}\)
- B) \(72\ \text{l}\)
- C) \(720\ \text{l}\)
- D) \(7200\ \text{l}\)

**Krok 1: Zamień wymiary na decymetry.** Dzielisz każdą długość przez \(10\): \(60\ \text{cm} = 6\ \text{dm}\), \(30\ \text{cm} = 3\ \text{dm}\), \(40\ \text{cm} = 4\ \text{dm}\).

**Krok 2: Policz objętość w decymetrach sześciennych.**

$$V = 6 \cdot 3 \cdot 4 = 72\ \text{dm}^3$$

**Krok 3: Zamień na litry.** Skoro \(1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l}\), pojemność to \(72\ \text{l}\). Sprawdzenie drugą metodą: \(60 \cdot 30 \cdot 40 = 72\,000\ \text{cm}^3\), a \(72\,000 : 1000 = 72\).

**Odpowiedź: B.** Akwarium mieści \(72\) litry wody. Odpowiedź C dostaniesz, gdy podzielisz \(72\,000\) przez \(100\).

## Przykład 2: Ile litrów mieści zbiornik w kształcie walca

**Treść:** Zbiornik na deszczówkę ma kształt walca o promieniu podstawy \(0{,}5\ \text{m}\) i wysokości \(2\ \text{m}\). Przyjmij \(\pi \approx 3{,}14\). Pojemność zbiornika jest w przybliżeniu równa:

- A) \(157\ \text{l}\)
- B) \(1570\ \text{l}\)
- C) \(15\,700\ \text{l}\)
- D) \(500\ \text{l}\)

**Krok 1: Policz objętość w metrach sześciennych.** Wszystkie wymiary są w metrach, więc podstawiasz je wprost.

$$V = \pi r^2 h = \pi \cdot 0{,}5^2 \cdot 2 = \pi \cdot 0{,}25 \cdot 2 = 0{,}5\pi\ \text{m}^3$$

**Krok 2: Podstaw przybliżenie liczby pi.** \(0{,}5 \cdot 3{,}14 = 1{,}57\ \text{m}^3\).

**Krok 3: Zamień na litry.** \(1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l}\), więc \(1{,}57\ \text{m}^3 = 1570\ \text{l}\).

**Odpowiedź: B.** Zbiornik mieści około \(1570\) litrów. Dokładna wartość to \(500\pi\) litrów, a odpowiedź D bierze się z pominięcia czynnika \(\pi\).

## Przykład 3: Jak długo napełnia się basen

**Treść:** Basen w kształcie prostopadłościanu ma dno o wymiarach \(10\ \text{m} \times 5\ \text{m}\) i głębokość \(1{,}5\ \text{m}\). Pompa tłoczy \(500\) litrów wody na minutę. Pusty basen zostanie napełniony w czasie:

- A) \(15\) minut
- B) \(1{,}5\) godziny
- C) \(2{,}5\) godziny
- D) \(25\) godzin

**Krok 1: Policz objętość basenu.**

$$V = 10 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 75\ \text{m}^3$$

**Krok 2: Zamień metry sześcienne na litry.** \(75 \cdot 1000 = 75\,000\ \text{l}\).

**Krok 3: Podziel objętość przez wydajność pompy.**

$$t = \frac{75\,000\ \text{l}}{500\ \text{l/min}} = 150\ \text{min}$$

**Krok 4: Zamień minuty na godziny.** \(150 : 60 = 2{,}5\), czyli \(2\) godziny i \(30\) minut.

**Odpowiedź: C.** Basen napełni się w \(2{,}5\) godziny. Odpowiedź A dostaje ten, kto uzna, że \(1\ \text{m}^3 = 100\ \text{l}\), bo wtedy wychodzi \(7500 : 500 = 15\) minut.

## Przykład 4: Na jaką wysokość sięgnie litr wody

**Treść:** Do naczynia w kształcie walca o promieniu podstawy \(10\ \text{cm}\) wlano \(1\) litr wody. Woda sięga w naczyniu na wysokość:

- A) \(\frac{1}{\pi}\ \text{cm}\)
- B) \(\frac{10}{\pi}\ \text{cm}\)
- C) \(\frac{100}{\pi}\ \text{cm}\)
- D) \(10\pi\ \text{cm}\)

**Krok 1: Zamień litr na centymetry sześcienne.** Promień jest w centymetrach, więc objętość też musi być w \(\text{cm}^3\): \(1\ \text{l} = 1000\ \text{cm}^3\).

**Krok 2: Ułóż równanie z wzoru na objętość walca.** Woda tworzy walec o tym samym promieniu i nieznanej wysokości \(h\).

$$\pi \cdot 10^2 \cdot h = 1000$$

**Krok 3: Wyznacz wysokość.**

$$h = \frac{1000}{100\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3{,}18\ \text{cm}$$

**Odpowiedź: B.** Litr wody w takim naczyniu sięga na wysokość \(\frac{10}{\pi}\ \text{cm}\), czyli nieco ponad \(3\ \text{cm}\). Odpowiedź C wychodzi, gdy przyjmiesz \(1\ \text{l} = 10\,000\ \text{cm}^3\), a odpowiedź A, gdy przyjmiesz \(1\ \text{l} = 100\ \text{cm}^3\).

## Przykład 5: Ile kubków napełni butelkę

**Treść:** Papierowy kubek ma kształt stożka o promieniu podstawy \(3\ \text{cm}\) i wysokości \(10\ \text{cm}\). Najmniejsza liczba pełnych kubków wody, którą trzeba wlać, żeby napełnić butelkę o pojemności \(1{,}5\ \text{l}\), jest równa:

- A) \(6\)
- B) \(15\)
- C) \(16\)
- D) \(160\)

**Krok 1: Policz pojemność kubka.**

$$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 10 = \frac{1}{3}\pi \cdot 90 = 30\pi\ \text{cm}^3 \approx 94{,}2\ \text{cm}^3$$

**Krok 2: Zamień pojemność butelki na centymetry sześcienne.** \(1{,}5\ \text{l} = 1500\ \text{cm}^3\).

**Krok 3: Podziel pojemność butelki przez pojemność kubka.**

$$\frac{1500}{30\pi} = \frac{50}{\pi} \approx 15{,}9$$

**Krok 4: Zaokrąglij w górę.** Piętnaście kubków to \(15 \cdot 94{,}2 = 1413\ \text{cm}^3\), czyli za mało. Szesnaście kubków to \(1507{,}2\ \text{cm}^3\), więc butelka się wypełni.

**Odpowiedź: C.** Potrzeba \(16\) kubków. Odpowiedź B to zaokrąglenie w złą stronę, odpowiedź A wychodzi po pominięciu czynnika \(\frac{1}{3}\) we wzorze na stożek (\(\frac{1500}{90\pi} \approx 5{,}3\)), a odpowiedź D po przyjęciu \(1{,}5\ \text{l} = 15\,000\ \text{cm}^3\).

## Pojemność w zadaniach maturalnych z bazy

W zadaniach maturalnych ze stereometrii jednostki stoją często przy samych wymiarach. Zadanie podaje wymiary w centymetrach i oczekuje wyniku w \(\text{cm}^3\), więc musisz pamiętać, że objętość dostaje jednostkę sześcienną, a nie liniową. Poniżej dwa zadania z bazy, w których wymiary mają jednostki i trzeba je przenieść do wyniku.

Pierwsze dotyczy sześcianu, którego krawędź trzeba odtworzyć z przekątnej. Jeśli nie pamiętasz, skąd bierze się wzór \(d = a\sqrt{3}\), zajrzyj do wpisu o tym, [jak obliczyć przekątną sześcianu i prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania).

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-22

**Krok 1: Wyznacz krawędź z przekątnej.** Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więc \(a\sqrt{3} = 6\) i \(a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\ \text{cm}\).

**Krok 2: Policz objętość.** \(V = a^3 = (2\sqrt{3})^3 = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\ \text{cm}^3\).

**Odpowiedź: A.** Objętość sześcianu to \(24\sqrt{3}\ \text{cm}^3\), czyli około \(41{,}6\ \text{ml}\).

Drugie zadanie porównuje objętości dwóch brył o wymiarach w centymetrach. Wzór na objętość kuli i jego zastosowania rozpisuje wpis o tym, [jak obliczyć pole i objętość kuli](/jak-obliczyc-pole-i-objetosc-kuli-wzory-zadania-matura).

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-24

**Krok 1: Policz objętość kuli.** \(V_k = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi\ \text{cm}^3\).

**Krok 2: Przyrównaj do objętości walca.** \(\pi r^2 \cdot 4{,}5 = 288\pi\), więc \(r^2 = \frac{288}{4{,}5} = 64\) i \(r = 8\ \text{cm}\).

**Krok 3: Podwój promień.** Średnica to \(2r = 16\ \text{cm}\).

**Odpowiedź: C.** Średnica podstawy walca ma \(16\ \text{cm}\). Odpowiedź A to promień, a nie średnica.

W obu zadaniach wymiary są w tej samej jednostce, więc wynik dostaje jednostkę sześcienną bez żadnego przeliczania. Gdyby autor podał jeden wymiar w milimetrach, musiałbyś go zamienić, zanim wstawisz go do wzoru.

## Teraz ty

Spróbuj sam podobnego zadania z jednostkami: z pola powierzchni sześcianu w \(\text{cm}^2\) wyznacz jego objętość w \(\text{cm}^3\).

Zadanie z bazy: /task/cke-pp-treningowe-47

## Najczęstsze błędy przy zamianie jednostek

Większość punktów traconych w zadaniach o pojemności to nie zły wzór, tylko zła jednostka. Oto pomyłki, które powtarzają się najczęściej.

**Pułapka:** Dzielenie przez \(100\) zamiast przez \(1000\). Przy zamianie \(\text{cm}^3\) na litry dzielisz przez \(1000\), bo \(1\ \text{dm}^3 = 10^3\ \text{cm}^3\). Dzielenie przez \(100\) daje wynik dziesięć razy za duży.

**Pułapka 2:** Mieszanie jednostek we wzorze. Promień w centymetrach i wysokość w metrach podstawione do \(V = \pi r^2 h\) dają liczbę bez sensu. Zanim podstawisz cokolwiek, sprowadź wszystkie wymiary do jednej jednostki.

**Pułapka 3:** Zamiana jednostki dopiero po podniesieniu do kwadratu albo sześcianu, ale przelicznikiem długości. Jeśli policzyłeś \(r^2\) w \(\text{cm}^2\), a chcesz przejść na \(\text{dm}^2\), dzielisz przez \(100\), nie przez \(10\). Dlatego bezpieczniej zamieniać same długości, zanim trafią do wzoru.

**Pułapka 4:** Zaokrąglanie w złą stronę. Gdy pytanie brzmi „ile pojemników trzeba”, wynik \(15{,}9\) oznacza \(16\), bo piętnasty pojemnik nie wystarczy. Gdy pytanie brzmi „ile pełnych pojemników da się napełnić”, ten sam wynik oznacza \(15\).

**Pułapka 5:** Pomylenie pojemności z polem powierzchni. Pytanie o to, ile blachy potrzeba na zbiornik, dotyczy pola powierzchni. Pytanie o to, ile wody się w nim zmieści, dotyczy objętości.

Przy walcu łatwo też pomylić promień ze średnicą. Zbiornik o średnicy \(1\ \text{m}\) ma promień \(0{,}5\ \text{m}\), a podstawienie \(r = 1\) daje objętość cztery razy za dużą. Rozpisane przykłady z tą pułapką znajdziesz we wpisie o tym, [jak obliczyć objętość walca i jego pole powierzchni](/jak-obliczyc-objetosc-walca-pole-powierzchni).

## Pojemność różnych brył: walec, stożek, graniastosłup

Kształt naczynia decyduje tylko o wzorze, a zamiana jednostek zostaje ta sama. Kilka wskazówek do najczęstszych kształtów:

- **Prostopadłościan i graniastosłup** (akwarium, basen, pudełko): mnożysz pole podstawy przez wysokość. Przy graniastosłupie o podstawie trójkąta albo trapezu najpierw liczysz pole tej figury. Pełne omówienie daje wpis o tym, [jak obliczyć objętość graniastosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-graniastoslupa-wzory-zadania).
- **Walec** (puszka, beczka, zbiornik): \(V = \pi r^2 h\). Gdy zadanie podaje średnicę, dzielisz ją przez \(2\), zanim podniesiesz do kwadratu.
- **Stożek** (lejek, kubek, kopiec piasku): \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\). Stożek o tej samej podstawie i wysokości co walec mieści trzy razy mniej. Wzory i zadania zebrano we wpisie o tym, [jak obliczyć objętość stożka](/jak-obliczyc-objetosc-stozka-pole-powierzchni).
- **Ostrosłup** (namiot, piramida): \(V = \frac{1}{3} P_p h\), czyli trzecia część graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Przykłady z różnymi podstawami pokazuje wpis o tym, [jak stosować wzór na objętość ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni#wzor-na-objetosc-ostroslupa).
- **Kula** (zbiornik kulisty, piłka): \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\). Tu promień stoi w trzeciej potędze, więc błąd w jednostce promienia mnoży się aż \(1000\) razy.

Porównanie, które często pojawia się w zadaniach: walec, stożek i półkula o tym samym promieniu \(r\) i wysokości \(h = r\). Walec ma objętość \(\pi r^3\), półkula \(\frac{2}{3}\pi r^3\), a stożek \(\frac{1}{3}\pi r^3\). Ich pojemności mają się więc do siebie jak \(3 : 2 : 1\). Wszystkie wzory obok siebie zebrano w [tabeli wzorów na objętość i pole powierzchni brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory#tabela-podsumowujaca-wszystkie-wzory-bryl).

## Pojemność naczyń podobnych i naczynia napełnione częściowo

Gdy dwa naczynia mają ten sam kształt, a różnią się tylko rozmiarem, są bryłami podobnymi. Jeśli każdy wymiar większego naczynia jest \(k\) razy większy, jego pojemność jest \(k^3\) razy większa. To ta sama reguła co przy zamianie jednostek, tylko zamiast przelicznika jednostek masz skalę podobieństwa.

Przykład liczbowy: kubek mieści \(250\ \text{ml}\). Kubek o tym samym kształcie, ale dwa razy wyższy i dwa razy szerszy, mieści \(2^3 = 8\) razy więcej, czyli \(8 \cdot 250 = 2000\ \text{ml} = 2\ \text{l}\), a nie \(500\ \text{ml}\). Działa to też w drugą stronę: model zbiornika w skali \(1 : 10\) mieści \(10^3 = 1000\) razy mniej niż oryginał. Zbiornik z Przykładu 2 ma około \(1570\ \text{l}\), więc jego model w tej skali mieści około \(1{,}57\ \text{l}\).

Ta sama reguła wyjaśnia częsty problem z naczyniami napełnionymi częściowo. W naczyniu o stałym przekroju (prostopadłościan, walec stojący pionowo) woda do połowy wysokości to połowa pojemności, bo zmienia się tylko jeden wymiar. W stożku ustawionym wierzchołkiem w dół jest inaczej. Woda tworzy mniejszy stożek podobny do całego naczynia, a skala podobieństwa to stosunek wysokości.

$$\frac{V_{\text{wody}}}{V_{\text{stożka}}} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$$

Kieliszek w kształcie stożka napełniony do połowy wysokości zawiera więc tylko jedną ósmą swojej pojemności. Żeby był pełny w połowie objętości, woda musi sięgać na wysokość \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \approx 0{,}79\) całej wysokości.

**Wskazówka:** W zadaniu z naczyniem napełnionym częściowo najpierw sprawdź, czy przekrój naczynia zmienia się z wysokością. Jeśli nie, pojemność rośnie proporcjonalnie do wysokości. Jeśli tak, szukaj bryły podobnej albo licz objętość cieczy osobnym wzorem.

## Co musisz umieć

- Odróżnić pojemność naczynia od objętości materiału, z którego jest zrobione.
- Zamienić litry na \(\text{dm}^3\) i \(\text{cm}^3\) oraz \(\text{m}^3\) na litry bez zaglądania do tabeli.
- Wyjaśnić, dlaczego przelicznik objętości to trzecia potęga przelicznika długości.
- Sprowadzić wszystkie wymiary do jednej jednostki, zanim podstawisz je do wzoru.
- Policzyć pojemność prostopadłościanu, walca, stożka i kuli wzorami z tablic CKE.
- Wyznaczyć wymiar naczynia, gdy znasz jego pojemność w litrach.
- Zaokrąglić wynik zgodnie z treścią pytania (w górę albo w dół).

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Każde z tych zadań wymaga policzenia objętości bryły: zapisz wynik z jednostką, a przy okazji przelicz go na mililitry albo litry. Więcej zadań tego typu z pełnymi rozwiązaniami znajdziesz w przeglądzie [wzorów na objętość i pole powierzchni brył](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni).

Następny krok: Losuj zadanie z działu Stereometria (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Czy pojemność to to samo co objętość?

Pojemność to objętość wnętrza naczynia, więc liczy się ją tymi samymi wzorami i można ją wyrazić w tych samych jednostkach. Różnica polega na tym, że objętość dotyczy całej bryły, a pojemność tylko przestrzeni, którą da się napełnić. Przy cienkich ściankach obie liczby są praktycznie równe.

### Ile litrów ma metr sześcienny?

Metr sześcienny to \(1000\) litrów. Wynika to z tego, że \(1\ \text{m} = 10\ \text{dm}\), więc \(1\ \text{m}^3 = 10^3\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{dm}^3\), a każdy decymetr sześcienny to jeden litr.

### Czy litr to decymetr sześcienny?

Tak, \(1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3\), czyli litr to objętość sześcianu o krawędzi \(10\ \text{cm}\). Stąd też \(1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3\), bo mililitr to tysięczna część litra, a centymetr sześcienny to tysięczna część decymetra sześciennego.

### W jakich jednostkach podawać wynik na maturze?

Wynik podajesz w jednostce, o którą pyta zadanie, a gdy treść jej nie wskazuje, w jednostce sześciennej zgodnej z danymi. Jeśli wymiary są w centymetrach, objętość zapisujesz w \(\text{cm}^3\). Gdy zadanie pyta o litry, przeliczasz wynik i dopisujesz jednostkę do odpowiedzi.

### Czy pojemność można podać w centymetrach sześciennych?

Tak, pojemność można podać w dowolnej jednostce objętości, bo to zwykła objętość wnętrza naczynia. Litry i mililitry są po prostu wygodniejsze przy płynach: zamiast \(330\ \text{cm}^3\) mówi się \(330\ \text{ml}\), a zamiast \(2\ \text{m}^3\) mówi się \(2000\ \text{l}\). W zadaniu maturalnym liczy się zgodność z jednostką, o którą pyta treść.