---
route: /czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura
title: Czworokąt wpisany w okrąg - twierdzenie o kątach, własności, zadania matura
description: Czworokąt wpisany w okrąg: twierdzenie o sumie kątów przeciwległych 180, warunek wpisywalności, Ptolemeusz i 5 rozwiązanych zadań CKE krok po kroku.
type: task_solution
category: Planimetria
tags: czworokąt wpisany w okrąg, czworokąt wpisany w okrąg twierdzenie, kąty przeciwległe czworokąta, warunek wpisywalności czworokąta, twierdzenie Ptolemeusza, czworokąt opisany na okręgu, czworokąt wpisany zadania, planimetria matura, okrąg opisany na czworokącie, kąty w czworokącie, matura geometria, twierdzenie o czworokącie wpisanym
published: 2026-06-06T11:14:55.723+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:17.437583+00:00
---
# Czworokąt wpisany w okrąg - twierdzenie o kątach, własności, zadania matura
Czworokąt wpisany w okrąg to jeden z tych tematów, o które CKE pyta regularnie i niespodziewanie. Zadanie wygląda na prostą geometrię, ale jeśli nie znasz głównego twierdzenia, utkniesz na minutę pierwszą. Dobra wiadomość: cała teoria mieści się w trzech zdaniach, a reszta to ćwiczenie. Tu masz wszystko, czego potrzebujesz, plus 5 zadań krok po kroku.

Jeśli dopiero zaczynasz powtórkę z geometrii, zerknij najpierw na [Kąty w okręgu - wpisane i środkowe](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania) oraz [Planimetria na maturze](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia). Pełna lista zadań ćwiczeniowych z planimetrii czeka pod [/topics/planimetria](/topics/planimetria).

## Co to znaczy "czworokąt wpisany w okrąg"

**Czworokąt jest wpisany w okrąg**, jeśli wszystkie jego cztery wierzchołki leżą na tym okręgu. Mówimy też wtedy, że na czworokącie można **opisać okrąg**.

Nie każdy czworokąt da się wpisać w okrąg. Trójkąt zawsze tak (każde trzy punkty niewspółliniowe wyznaczają dokładnie jeden okrąg), ale czworokąt jest "punktem za dużo". Czwarty wierzchołek może wpaść do środka okręgu, na zewnątrz, albo idealnie na okrąg - i tylko w tym ostatnim przypadku mówimy o czworokącie wpisanym.

Warunek, kiedy się da, podaje główne twierdzenie tej notatki.

## Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

**Twierdzenie (warunek wpisywalności):** W czworokąt wpisany w okrąg sumy par kątów przeciwległych są równe \(180^\circ\).

Zapis matematyczny: jeśli czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, to:

$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
$$\angle B + \angle D = 180^\circ$$

Twierdzenie działa w obie strony. Jeśli w jakimś czworokącie sumy par kątów przeciwległych są równe \(180^\circ\), to ten czworokąt można wpisać w okrąg.

**Skąd to się bierze?** Z twierdzenia o kącie wpisanym opartym na łuku. Kąt \(A\) opiera się na łuku \(BCD\), kąt \(C\) na łuku \(BAD\). Te dwa łuki razem dają cały okrąg, czyli \(360^\circ\). Każdy z kątów wpisanych to połowa odpowiadającego łuku, więc:

$$\angle A + \angle C = \frac{1}{2}(360^\circ) = 180^\circ$$

Dokładne wyprowadzenie znajdziesz we wpisie [Jak obliczyć kąt wpisany i środkowy](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania).

**Pułapka:** Sumują się kąty **przeciwległe**, nie sąsiednie. Przeciwległe to \(A\) i \(C\) oraz \(B\) i \(D\). Jeśli pomylisz pary, dostaniesz bzdurę.

## Konsekwencje twierdzenia

Twierdzenie ma kilka praktycznych skutków, które warto mieć w głowie.

**Konsekwencja 1: kąty zewnętrzne i kąty wewnętrzne przeciwległe.** Jeśli przedłużysz bok czworokąta i utworzysz kąt zewnętrzny przy wierzchołku \(A\), to ten kąt zewnętrzny jest równy kątowi wewnętrznemu przy wierzchołku przeciwległym \(C\). Bo kąt zewnętrzny w \(A\) to \(180^\circ - \angle A\), a kąt \(C = 180^\circ - \angle A\), więc są równe.

**Konsekwencja 2: kwadrat i prostokąt zawsze są wpisywalne.** Wszystkie ich kąty są proste, więc sumy par dają \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). Okrąg opisany ma środek w punkcie przecięcia przekątnych, a promień to połowa przekątnej.

**Konsekwencja 3: trapez równoramienny zawsze jest wpisywalny.** W trapezie kąty przy podstawie sumują się do \(180^\circ\) (kąty leżące przy tej samej podstawie po przeciwnej stronie). Jeśli trapez jest równoramienny, kąty przy każdej z podstaw są równe, więc warunek wpisywalności zachodzi automatycznie.

**Konsekwencja 4: deltoid i romb (niekwadrat) NIE są wpisywalne.** W rombie kąty przeciwległe są równe, więc warunek \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) implikuje \(\angle A = \angle C = 90^\circ\), czyli kwadrat. Każdy inny romb nie nadaje się do wpisania w okrąg.

## Twierdzenie Ptolemeusza (na maturze rozszerzonej)

Dla czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg, z bokami \(a = AB\), \(b = BC\), \(c = CD\), \(d = DA\) i przekątnymi \(e = AC\), \(f = BD\):

$$e \cdot f = a \cdot c + b \cdot d$$

Czyli iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów boków przeciwległych. To twierdzenie pojawia się głównie na rozszerzonej, ale czasem mignie w trudnych zadaniach na podstawowej.

## Czworokąt opisany na okręgu - nie myl pojęć

Druga strona medalu: **czworokąt opisany na okręgu** to taki, w który wpisano okrąg, czyli okrąg dotyka wszystkich czterech boków od wewnątrz. Warunek jest inny:

$$a + c = b + d$$

Sumy par boków przeciwległych muszą być równe. W zadaniach maturalnych łatwo to pomylić z wpisywalnością. Pamiętaj:

- **wpisany w okrąg** = wierzchołki na okręgu → warunek na **kąty**
- **opisany na okręgu** = boki styczne do okręgu → warunek na **boki**

## Zadanie 1: znajdź brakujący kąt

**Treść:** W czworokącie \(ABCD\) wpisanym w okrąg \(\angle A = 75^\circ\) i \(\angle B = 110^\circ\). Wyznacz kąty \(C\) i \(D\).

**Rozwiązanie:** Z twierdzenia o czworokącie wpisanym:

$$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$$
$$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

**Sprawdzenie:** suma wszystkich kątów czworokąta powinna dawać \(360^\circ\). Liczymy: \(75 + 110 + 105 + 70 = 360\). Pasuje.

## Zadanie 2: warunek wpisywalności

**Treść:** Sprawdź, czy czworokąt o kątach \(80^\circ, 95^\circ, 100^\circ, 85^\circ\) (w kolejności A, B, C, D) można wpisać w okrąg.

**Rozwiązanie:** Sprawdzamy obie pary kątów przeciwległych.

$$\angle A + \angle C = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \quad \checkmark$$
$$\angle B + \angle D = 95^\circ + 85^\circ = 180^\circ \quad \checkmark$$

**Odpowiedź:** Tak, czworokąt można wpisać w okrąg.

**Uwaga:** wystarczy sprawdzić jedną parę. Jeśli \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) i suma wszystkich kątów to \(360^\circ\), to druga para automatycznie też daje \(180^\circ\). Ale w pracy dobrze sprawdzić obie, żeby nie zostawić wątpliwości.

## Zadanie 3: trapez równoramienny

**Treść:** W trapez równoramienny \(ABCD\), w którym \(AB \parallel CD\), \(AB = 12\), \(CD = 4\), a ramiona \(BC = AD = 5\), wpisano okrąg opisany. Wyznacz promień okręgu.

**Rozwiązanie:** Trapez równoramienny zawsze jest wpisywalny w okrąg (zob. konsekwencja 3).

Wprowadzamy układ współrzędnych: niech \(A = (0, 0)\), \(B = (12, 0)\). Wysokość trapezu \(h\) liczymy z trójkąta prostokątnego: rzut ramienia na podstawę to \(\frac{12 - 4}{2} = 4\), więc:

$$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$

Współrzędne pozostałych wierzchołków: \(D = (4, 3)\), \(C = (8, 3)\).

Środek okręgu opisanego leży na osi symetrii trapezu, czyli na prostej \(x = 6\). Oznaczmy środek jako \(O = (6, y_0)\). Z warunku \(|OA| = |OD|\):

$$\sqrt{36 + y_0^2} = \sqrt{4 + (y_0 - 3)^2}$$

Po podniesieniu do kwadratu:

$$36 + y_0^2 = 4 + y_0^2 - 6 y_0 + 9$$
$$36 = 13 - 6 y_0$$
$$6 y_0 = -23$$
$$y_0 = -\frac{23}{6}$$

Promień:

$$R = \sqrt{36 + \left(\frac{23}{6}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{529}{36}} = \sqrt{\frac{1296 + 529}{36}} = \sqrt{\frac{1825}{36}} = \frac{\sqrt{1825}}{6} = \frac{5\sqrt{73}}{6}$$

**Wynik:** \(R = \frac{5\sqrt{73}}{6}\).

To jedno z trudniejszych zadań, ale ilustruje technikę: w trapezie równoramiennym środek okręgu opisanego ZAWSZE leży na osi symetrii.

## Zadanie 4: kąt z parametrem

**Treść:** W czworokącie wpisanym w okrąg \(\angle A = 2x + 10^\circ\), \(\angle C = 4x - 30^\circ\). Wyznacz \(x\) i oblicz \(\angle A\).

**Rozwiązanie:** Z twierdzenia o czworokącie wpisanym \(\angle A + \angle C = 180^\circ\):

$$(2x + 10) + (4x - 30) = 180$$
$$6x - 20 = 180$$
$$6x = 200$$
$$x = \frac{100}{3} \approx 33{,}33^\circ$$

Stąd:

$$\angle A = 2 \cdot \frac{100}{3} + 10 = \frac{200}{3} + 10 = \frac{200 + 30}{3} = \frac{230}{3} \approx 76{,}67^\circ$$

W praktyce takie zadania zaprojektowane są na ładne liczby; jeśli wychodzi ułamek, sprawdź czy nie pomyliłeś znaków.

## Zadanie 5: wykorzystaj twierdzenie do dowodu

**Treść:** Udowodnij, że jeśli czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg i \(\angle BAD = \angle BCD\), to \(\angle BAD = 90^\circ\).

**Rozwiązanie:** Z twierdzenia o czworokącie wpisanym \(\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ\). Łącząc z założeniem \(\angle BAD = \angle BCD\):

$$2 \cdot \angle BAD = 180^\circ$$
$$\angle BAD = 90^\circ$$

**Wniosek:** Taki czworokąt jest "wpisany w półokrąg" w sensie, że odcinek \(BD\) jest średnicą. Bo kąt wpisany oparty na średnicy to \(90^\circ\).

To prosty dowód, ale CKE lubi takie zadania w arkuszach: testuje, czy umiesz powiązać twierdzenie z konkretnym wnioskiem.

## Typowe pułapki na maturze

**Pułapka 1: kąty sąsiednie, nie przeciwległe.** Najczęstszy błąd. Pisz w pamięci: A z C, B z D.

**Pułapka 2: zapomnienie o znaku w równaniach z parametrem.** Sprawdzaj zakres: kąt w czworokącie musi być z przedziału \((0^\circ, 360^\circ)\). Jeśli wychodzi \(\angle A  360^\circ\), pomyliłeś gdzieś.

**Pułapka 3: mylenie z czworokątem opisanym.** Wpisany w okrąg ma warunek na kąty, opisany na boki. Jeśli zadanie mówi "wpisano w czworokąt okrąg", to chodzi o okrąg WPISANY (czyli czworokąt opisany na okręgu) i warunek dotyczy boków.

**Pułapka 4: założenie, że czworokąt wypukły.** Twierdzenie obowiązuje dla czworokątów wypukłych. Czworokąty wklęsłe (z kątem większym od \(180^\circ\)) wymagają osobnej analizy, ale w arkuszach maturalnych podstawowych takie nie występują.

**Pułapka 5: kwadrat to też czworokąt wpisany.** Czasem zadanie pyta o "czworokąt wpisany w okrąg" i uczeń od razu wyklucza kwadrat. Niepotrzebnie: kwadrat to konkretny przypadek czworokąta wpisanego.

## Zadanie 6: kąt w czworokącie z okręgiem opisanym

**Treść:** Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\). Wiadomo, że \(\angle BOD = 140^\circ\) (kąt środkowy oparty na łuku \(BD\) zawierającym wierzchołek \(C\)). Wyznacz \(\angle BAD\).

**Rozwiązanie:** Kąt środkowy \(\angle BOD = 140^\circ\) jest oparty na łuku \(BD\) zawierającym \(C\). Kąt \(\angle BAD\) to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, czyli z twierdzenia o kącie wpisanym:

$$\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$$

**Sprawdzenie z twierdzeniem o czworokącie wpisanym:** \(\angle BCD\) opiera się na łuku \(BD\) nie zawierającym \(C\), który ma miarę \(360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\). Stąd \(\angle BCD = 110^\circ\). I rzeczywiście \(\angle BAD + \angle BCD = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ\). Pasuje.

To dobry przykład na to, jak twierdzenie o kącie wpisanym i twierdzenie o czworokącie wpisanym dają się zazębiać.

## Zadanie 7: okrąg opisany na czworokącie - znajdź promień

**Treść:** W kwadrat o boku \(a = 6\) wpisano okrąg, na kwadracie opisano okrąg. Wyznacz oba promienie.

**Rozwiązanie:**

Okrąg **wpisany** w kwadrat dotyka wszystkich czterech boków od wewnątrz. Jego promień to połowa boku:

$$r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Okrąg **opisany** na kwadracie przechodzi przez wszystkie wierzchołki. Jego promień to połowa przekątnej. Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), więc:

$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

**Wynik:** \(r = 3\), \(R = 3\sqrt{2}\).

Stosunek promieni: \(\frac{R}{r} = \sqrt{2}\). To wzór do zapamiętania - zawsze taki sam dla kwadratu, niezależnie od długości boku.

## Pole czworokąta wpisanego w okrąg - wzór Brahmagupty

Dla czworokąta wpisanego w okrąg, którego boki to \(a, b, c, d\), pole liczy się wzorem Brahmagupty:

$$P = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}$$

gdzie \(s = \frac{a + b + c + d}{2}\) to półobwód. To uogólnienie wzoru Herona na trójkąt.

Wzór nie pojawia się w karcie wzorów CKE, ale na rozszerzonej maturze warto go znać. W podstawowej do pola wpisanego czworokąta dochodzi się zazwyczaj przez podział na trójkąty (przekątną) i wzór \(P = \frac{1}{2}ab \sin C\).

**Przykład:** Czworokąt wpisany w okrąg ma boki \(3, 4, 5, 6\). Półobwód \(s = 9\). Pole:

$$P = \sqrt{(9-3)(9-4)(9-5)(9-6)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$$

## Kiedy warto rysować pomocniczo

W zadaniach z czworokątami wpisanymi w okrąg niemal zawsze pomaga **rysunek z zaznaczonymi łukami**. Bo zadanie często sprowadza się do twierdzenia o kącie wpisanym, a kąt wpisany "widzi" konkretny łuk. Bez rysunku łatwo pomylić, na którym łuku oparty jest dany kąt.

Wskazówki rysunkowe:
- Rysuj okrąg dużo większy niż się wydaje, mieści się więcej oznaczeń.
- Wierzchołki etykietuj w kolejności obwodu, nie chaotycznie.
- Zaznaczaj kąty łuki dwoma różnymi kolorami (kąt = łuk).
- Dorysowuj przekątne nawet jeśli zadanie ich nie wymienia - często ułatwia.

## Karta wzorów - co znajdziesz

W karcie wzorów CKE 2026 dla planimetrii masz:
- Wzór na pole trójkąta (5 wzorów).
- Twierdzenie sinusów i cosinusów.
- Wzory na promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie.
- Pole koła, długość okręgu.

Nie ma:
- Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg. Musisz pamiętać.
- Warunku na czworokąt opisany. Też pamięć.
- Wzoru Brahmagupty.

Lista wszystkich brakujących wzorów: [Karta wzorów CKE 2026 - co jest, czego brakuje](/karta-wzorow-cke-2026-co-jest-czego-brakuje).

## Typowe konfiguracje na maturze - jak rozpoznać

CKE lubi kilka standardowych sytuacji, w których pojawia się czworokąt wpisany w okrąg. Warto je znać na pamięć, bo szybko rozpoznasz "tu trzeba użyć twierdzenia".

**Konfiguracja A: czworokąt z dwoma kątami prostymi.** Jeśli dwa kąty czworokąta wynoszą \(90^\circ\), a one są przeciwległe, to czworokąt jest wpisywalny (suma \(180^\circ\)). Przy okazji - obie przekątne są średnicami okręgu opisanego. Częste w zadaniach z trójkątem prostokątnym i hipotenuzą jako średnicą.

**Konfiguracja B: trapez równoramienny.** Automatycznie wpisany w okrąg. Wystarczy znaleźć środek symetrii i z trójkąta prostokątnego wyznaczyć promień.

**Konfiguracja C: kwadrat lub prostokąt.** Wpisany w okrąg z promieniem równym połowie przekątnej. Środek okręgu = przecięcie przekątnych.

**Konfiguracja D: czworokąt z dwiema parami równych kątów przeciwległych.** Jeśli \(\angle A = \angle C\) i \(\angle B = \angle D\), to znaczy że \(\angle A = \angle C = 90^\circ\) i \(\angle B = \angle D = 90^\circ\), czyli prostokąt.

**Konfiguracja E: czworokąt z parą boków równoległych i parą równych kątów.** Trapez plus dodatkowa symetria często daje trapez równoramienny, który jest wpisywalny.

Jeśli zadanie nie wskazuje wprost na czworokąt wpisany, ale rysunek pokazuje cztery wierzchołki na okręgu - od razu wyciągaj twierdzenie.

## Łuki i kąty - jak je powiązać

Twierdzenie o czworokącie wpisanym ma głęboki związek z łukami. Każdy bok czworokąta wpisanego dzieli okrąg na dwa łuki. Cztery wierzchołki wyznaczają cztery łuki, sumujące się do \(360^\circ\).

Jeśli oznaczymy łuki \(\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \overset{\frown}{CD}, \overset{\frown}{DA}\) jako \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\), to:

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$$

Kąt wpisany przy wierzchołku \(A\) opiera się na łuku \(\overset{\frown}{BCD}\), czyli na sumie \(\beta + \gamma\). Stąd \(\angle A = \frac{\beta + \gamma}{2}\).

Analogicznie \(\angle C = \frac{\delta + \alpha}{2}\). Sumując:

$$\angle A + \angle C = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$$

To formalny dowód twierdzenia. Warto go znać - czasem trafia jako zadanie "udowodnij".

## Porównanie z trójkątem - dlaczego trójkąt zawsze, a czworokąt nie

W trójkącie trzy wierzchołki zawsze wyznaczają jednoznacznie okrąg opisany (środek = przecięcie symetralnych boków). W czworokącie cztery wierzchołki to o jeden za dużo. Pierwsze trzy wyznaczają okrąg, ale czwarty musi "akurat" trafić na ten okrąg, żeby czworokąt był wpisywalny.

Stąd potrzeba warunku: \(\angle A + \angle C = 180^\circ\). To algebraiczny zapis "czwarty wierzchołek leży tam, gdzie trzeba".

Symetralne czterech boków czworokąta wpisanego przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu opisanego. To kolejny sposób na konstrukcję środka, gdy zadanie podaje współrzędne wierzchołków.

## Powiązane wpisy

Drugi temat z dzisiejszego seedu: [Ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania) - kompletny przewodnik po ciągu geometrycznym. Z geometrii sprawdź też [Twierdzenie Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) i [Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania) - bardzo blisko tematycznie. Pełna geometria pod [/topics/planimetria](/topics/planimetria).

Jeśli interesuje cię cały arkusz CKE z planimetrią, zobacz [Matura maj 2024 - rozwiązania](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz). Bardziej zaawansowane techniki znajdziesz w [Geometria analityczna - proste, okręgi, odległości](/geometria-analityczna-matura-proste-okregi-odleglosci-zadania).

## Checklista - co musisz umieć

- Sformułować twierdzenie o sumie kątów przeciwległych w czworokącie wpisanym.
- Sprawdzić warunek wpisywalności dla zadanego zestawu kątów.
- Wyznaczać brakujące kąty czworokąta wpisanego.
- Odróżniać czworokąt wpisany od opisanego na okręgu.
- Rozpoznać, kiedy trapez równoramienny lub prostokąt są automatycznie wpisywalne.
- Stosować twierdzenie w zadaniach z parametrem (kąt jako funkcja zmiennej).
- Wyprowadzać proste wnioski (np. kąt zewnętrzny równy przeciwległemu wewnętrznemu).
- Znać twierdzenie Ptolemeusza w wersji podstawowej (iloczyn przekątnych = suma iloczynów boków przeciwległych).

Czworokąty wpisane to temat krótki, ale punktotwórczy. Jedno twierdzenie, trzy konsekwencje, godzina ćwiczeń i temat z głowy. W arkuszu maturalnym taki kąt to często szybkie 1-2 punkty.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)