--- route: /czworokat-opisany-na-okregu-warunek-zadania-matura title: Czworokąt opisany na okręgu - warunek a+c=b+d i zadania maturalne description: Kiedy w czworokąt można wpisać okrąg? Warunek a+c=b+d, wzór na pole P=p·r, dowód z odcinków stycznych i zadania maturalne rozwiązane krok po kroku. type: task_solution category: Planimetria tags: czworokąt opisany na okręgu, okrąg wpisany w czworokąt, warunek wpisania okręgu w czworokąt, twierdzenie Pitota, trapez opisany na okręgu, romb okrąg wpisany, pole czworokąta opisanego na okręgu, odcinki styczne do okręgu, planimetria matura, zadania maturalne planimetria author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-08-15T07:13:49.79+00:00 updated: 2026-08-15T07:13:49.79+00:00 --- # Czworokąt opisany na okręgu - warunek a+c=b+d i zadania maturalne W czworokąt wypukły można wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe: \(a + c = b + d\). Taki czworokąt nazywamy czworokątem opisanym na okręgu, a jego pole liczysz ze wzoru \(P = p \cdot r\), gdzie \(p\) to połowa obwodu, a \(r\) to promień okręgu wpisanego. Ten warunek, znany jako twierdzenie Pitota, to jedno z najczęściej wykorzystywanych twierdzeń planimetrii w zadaniach maturalnych. Uwaga na start, bo tu pada najwięcej błędów: czworokąt opisany na okręgu (okrąg w środku figury, styczny do boków) to zupełnie inna sytuacja niż [czworokąt wpisany w okrąg](/czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura), w którym okrąg przechodzi przez wierzchołki. Inny rysunek, inne twierdzenie, inne wzory. W tym poście bierzemy na warsztat wersję z okręgiem wpisanym: warunek na boki, wzór na pole, dowód z odcinków stycznych i 5 zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku. ## Czworokąt opisany na okręgu - definicja i warunek Czworokąt opisany na okręgu to czworokąt, którego wszystkie cztery boki są styczne do jednego okręgu, zwanego okręgiem wpisanym. W czworokąt wypukły da się wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe: $$a + c = b + d$$ gdzie \(a, b, c, d\) to kolejne boki czworokąta (a naprzeciwko c, b naprzeciwko d). Dwie rzeczy warto podkreślić od razu: - Warunek działa w obie strony: jeśli okrąg da się wpisać, to \(a + c = b + d\), a jeśli w czworokącie wypukłym zachodzi \(a + c = b + d\), to okrąg da się wpisać. - Założenie wypukłości jest istotne. Dla czworokątów wklęsłych sama równość sum boków nie wystarcza, więc w uzasadnieniach pisz o czworokącie wypukłym. ## Skąd bierze się warunek a + c = b + d Cały dowód opiera się na jednej własności: odcinki stycznych poprowadzonych do okręgu z tego samego punktu mają równe długości. Każdy wierzchołek czworokąta opisanego leży poza okręgiem i wychodzą z niego dwa odcinki styczne o wspólnej długości. Oznacz długości odcinków stycznych wychodzących z kolejnych wierzchołków przez \(x\), \(y\), \(z\), \(t\). Każdy bok czworokąta skleja się z dwóch takich odcinków: $$a = x + y, \quad b = y + z, \quad c = z + t, \quad d = t + x$$ Teraz policz sumy przeciwległych boków: $$a + c = x + y + z + t \quad \text{oraz} \quad b + d = y + z + t + x$$ Obie sumy są równe \(x + y + z + t\), więc \(a + c = b + d\). Koniec dowodu. Na maturze takie uzasadnienie potrafi być osobnym zadaniem - jak zabierać się za tego typu zadania, przeczytasz w poście o [dowodach matematycznych na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac). ## Wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu Pole czworokąta opisanego na okręgu to iloczyn połowy obwodu i promienia okręgu wpisanego: $$P = p \cdot r, \quad \text{gdzie } p = \frac{a+b+c+d}{2}$$ Skąd się bierze ten wzór? Połącz środek okręgu wpisanego z wierzchołkami czworokąta - figura rozpadnie się na 4 trójkąty. Każdy z nich ma podstawę na jednym boku czworokąta, a wysokość równą \(r\), bo promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku. Sumując pola trójkątów: $$P = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}dr = \frac{a+b+c+d}{2} \cdot r = p \cdot r$$ W tablicach CKE nie znajdziesz gotowego wzoru na pole czworokąta opisanego na okręgu, dlatego dopisz go do swojej listy [wzorów spoza tablic, które musisz znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac). ## Które czworokąty zawsze mają okrąg wpisany W romb i kwadrat okrąg można wpisać zawsze, bo wszystkie boki mają tę samą długość i warunek \(a + c = b + d\) spełnia się automatycznie. Pozostałe czworokąty trzeba sprawdzać warunkiem Pitota. - **Romb i kwadrat:** zawsze. Promień okręgu wpisanego w romb to połowa wysokości rombu: \(r = \frac{h}{2}\). Zobacz też [jak liczyć pole rombu i równoległoboku](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne). - **Deltoid wypukły:** zawsze, bo kolejne boki \(a, a, b, b\) dają po obu stronach tę samą sumę \(a + b\). - **Prostokąt:** tylko wtedy, gdy jest kwadratem (pokażemy to w przykładzie 5). - **Równoległobok:** tylko wtedy, gdy jest rombem, bo warunek \(2a = 2b\) wymusza równość boków. - **Trapez:** tylko wtedy, gdy suma podstaw równa się sumie ramion. W trapezie równoramiennym o ramieniu \(c\) daje to wygodną postać \(a + b = 2c\). ## Zadania maturalne krok po kroku ### Przykład 1: brakujący bok czworokąta Czworokąt o kolejnych bokach \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 9\) jest opisany na okręgu. Oblicz długość czwartego boku \(d\). **Krok 1: zapisz warunek opisania na okręgu.** Skoro czworokąt jest opisany na okręgu, sumy przeciwległych boków są równe: \(a + c = b + d\). **Krok 2: podstaw dane.** $$5 + 9 = 7 + d$$ **Krok 3: rozwiąż równanie.** \(14 = 7 + d\), stąd \(d = 7\). Odpowiedź: czwarty bok ma długość 7. ### Przykład 2: trapez równoramienny opisany na okręgu W trapez równoramienny o podstawach \(a = 10\) i \(b = 4\) wpisano okrąg. Oblicz długość ramienia, promień okręgu wpisanego i pole trapezu. **Krok 1: wyznacz ramię z warunku Pitota.** Dla trapezu opisanego na okręgu suma podstaw równa się sumie ramion: \(a + b = 2c\), czyli \(10 + 4 = 2c\), stąd \(c = 7\). **Krok 2: oblicz wysokość trapezu.** W trapezie równoramiennym rzut ramienia na dłuższą podstawę ma długość \(\frac{a - b}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3\). Z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania): \(h^2 = 7^2 - 3^2 = 40\), więc \(h = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\). **Krok 3: znajdź promień okręgu.** Okrąg wpisany jest styczny do obu podstaw, a podstawy są równoległe, więc odległość między nimi (czyli wysokość trapezu) to dokładnie średnica okręgu. Stąd \(h = 2r\), czyli \(r = \sqrt{10}\). **Krok 4: policz pole.** Ze wzoru na pole trapezu: \(P = \frac{a+b}{2} \cdot h = 7 \cdot 2\sqrt{10} = 14\sqrt{10}\). Sprawdzenie wzorem \(P = p \cdot r\): połowa obwodu to \(p = \frac{10+4+7+7}{2} = 14\), więc \(P = 14\sqrt{10}\). Oba wzory dają ten sam wynik. Inne warianty tego liczenia znajdziesz w poście o [polu trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura). ### Przykład 3: romb i promień okręgu wpisanego W romb o boku 6 i kącie ostrym \(30^\circ\) wpisano okrąg. Oblicz promień okręgu i pole rombu. **Krok 1: oblicz wysokość rombu.** Wysokość to bok razy sinus kąta ostrego: \(h = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3\). Wartości sinusa dla kątów 30, 45 i 60 stopni masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). **Krok 2: znajdź promień.** Tak jak w trapezie: okrąg wpisany jest styczny do dwóch równoległych boków rombu, więc wysokość rombu to średnica okręgu: \(r = \frac{h}{2} = 1{,}5\). **Krok 3: policz pole na dwa sposoby.** Klasycznie: \(P = a \cdot h = 6 \cdot 3 = 18\). Wzorem dla czworokąta opisanego: \(p = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12\), więc \(P = p \cdot r = 12 \cdot 1{,}5 = 18\). Wyniki się pokrywają. ### Przykład 4: pole z obwodu i promienia Czworokąt opisany na okręgu o promieniu \(r = 3\) ma obwód równy 32. Oblicz pole czworokąta. **Krok 1: policz połowę obwodu.** \(p = \frac{32}{2} = 16\). **Krok 2: podstaw do wzoru.** $$P = p \cdot r = 16 \cdot 3 = 48$$ Odpowiedź: pole czworokąta wynosi 48. Zero rysowania, dwa działania - dlatego ten wzór opłaca się znać. ### Przykład 5: dowód, że w prostokąt nie wpiszesz okręgu Uzasadnij, że w prostokąt, który nie jest kwadratem, nie można wpisać okręgu. **Krok 1: zapisz boki prostokąta.** Kolejne boki prostokąta to \(a, b, a, b\), gdzie \(a \ne b\), bo prostokąt nie jest kwadratem. **Krok 2: policz sumy przeciwległych boków.** Przeciwległe boki to para \(a, a\) oraz para \(b, b\), więc sumy wynoszą \(2a\) i \(2b\). **Krok 3: pokaż sprzeczność z warunkiem.** Gdyby okrąg dało się wpisać, zachodziłoby \(2a = 2b\), czyli \(a = b\). To sprzeczność z założeniem \(a \ne b\), więc okręgu wpisać się nie da. Koniec dowodu. ## Typowe pułapki - **Mylenie wpisanego z opisanym.** Czworokąt wpisany w okrąg: wierzchołki na okręgu, warunek na kąty \(\alpha + \gamma = 180^\circ\). Czworokąt opisany na okręgu: boki styczne do okręgu, warunek na boki \(a + c = b + d\). Zanim zaczniesz liczyć, ustal, która sytuacja występuje w zadaniu. - **Sumowanie sąsiednich boków zamiast przeciwległych.** W warunku \(a + c = b + d\) chodzi o boki leżące naprzeciwko siebie. Przy oznaczeniach z rysunku zawsze sprawdź, które boki są przeciwległe. - **Cały obwód zamiast połowy.** We wzorze \(P = p \cdot r\) litera \(p\) oznacza połowę obwodu. Podstawienie całego obwodu podwaja wynik. - **Równość h = 2r stosowana bez uzasadnienia.** Wysokość równa średnicy działa, bo okrąg jest styczny do dwóch równoległych boków (podstaw trapezu, przeciwległych boków rombu). W czworokącie bez pary boków równoległych taka równość nie ma sensu. - **Pominięcie wypukłości.** Twierdzenie odwrotne (z równości sum boków wynika istnienie okręgu wpisanego) wymaga czworokąta wypukłego. W zadaniach maturalnych figury są wypukłe, ale w uzasadnieniu warto to napisać. ## Checklista: co musisz umieć - rozpoznać na rysunku i w treści zadania, czy czworokąt jest wpisany w okrąg, czy opisany na okręgu, - zapisać warunek \(a + c = b + d\) i wyznaczyć z niego brakujący bok, - wyprowadzić warunek z równości odcinków stycznych, - policzyć pole ze wzoru \(P = p \cdot r\) oraz promień z przekształcenia \(r = \frac{P}{p}\), - w trapezie i rombie powiązać wysokość ze średnicą okręgu wpisanego (\(h = 2r\)), - uzasadnić, dlaczego w prostokąt niebędący kwadratem nie da się wpisać okręgu. Chcesz poćwiczyć na prawdziwych zadaniach CKE? Wejdź w [zadania z planimetrii z pełnymi rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) albo przejrzyj całą [bazę zadań z planimetrii](/topics/planimetria). Przyda ci się też ściąga z [pól i obwodów wszystkich figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory) oraz post o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania) - to bliźniaczy temat, który w arkuszach pojawia się jeszcze częściej. ## Najczęstsze pytania ### Kiedy w czworokąt można wpisać okrąg? W czworokąt wypukły można wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe, czyli a + c = b + d. Warunek działa w obie strony: równość sum gwarantuje istnienie okręgu wpisanego, a istnienie okręgu wymusza równość sum. ### Czym różni się czworokąt wpisany w okrąg od opisanego na okręgu? Czworokąt wpisany w okrąg ma wszystkie wierzchołki na okręgu i spełnia warunek na kąty: sumy przeciwległych kątów wynoszą 180 stopni. Czworokąt opisany na okręgu ma wszystkie boki styczne do okręgu i spełnia warunek na boki: a + c = b + d. ### Czy w każdy romb można wpisać okrąg? Tak. W rombie wszystkie boki mają tę samą długość, więc sumy przeciwległych boków są automatycznie równe. Promień okręgu wpisanego w romb to połowa jego wysokości, a środek okręgu leży w punkcie przecięcia przekątnych. ### Czy w prostokąt można wpisać okrąg? Tylko wtedy, gdy prostokąt jest kwadratem. W prostokącie o bokach a i b sumy przeciwległych boków wynoszą 2a i 2b, a warunek wpisania okręgu wymusza 2a = 2b, czyli a = b. Każdy prostokąt o różnych bokach tego warunku nie spełnia. ### Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w czworokąt? Najczęściej ze wzoru na pole: skoro P = p · r, to r = P / p, gdzie p oznacza połowę obwodu. W trapezie i rombie działa też droga przez wysokość: okrąg jest styczny do dwóch równoległych boków, więc wysokość figury równa się średnicy i r = h / 2. ### Jak obliczyć pole czworokąta opisanego na okręgu? Ze wzoru P = p · r, czyli pole to iloczyn połowy obwodu i promienia okręgu wpisanego. Wzór wynika z podziału czworokąta na cztery trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu, z których każdy ma wysokość równą promieniowi. ### Czy warunek a + c = b + d ma swoją nazwę? Tak, to twierdzenie Pitota, od nazwiska francuskiego inżyniera Henri Pitota, który udowodnił je w XVIII wieku. Na maturze nazwa nie jest wymagana. Wystarczy umieć zastosować samą równość i wiedzieć, że wynika z równości odcinków stycznych. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)