--- route: /ctg-30-stopni-ile-wynosi-ctg-60-stopni title: Ctg 30 stopni i ctg 60 stopni: ile wynoszą i skąd się biorą description: Ctg 30° wynosi √3, a ctg 60° wynosi √3/3. Wyprowadzenie z trójkąta, tabela ctg dla 30°, 45°, 60°, typowe błędy i zadania maturalne CKE z rozwiązaniami. type: topic_guide category: Trygonometria tags: ctg 30 stopni, ctg 60 stopni, ctg 45 stopni, ile wynosi ctg 30, cotangens 30 stopni, cotangens wartości, tabela wartości ctg, ctg 30 czy pierwiastek z 3, cotangens odwrotność tangensa, ctg 30 stopni bez tablic, trygonometria matura author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-10-20T08:19:11+00:00 updated: 2026-10-20T08:25:05.663+00:00 --- # Ctg 30 stopni i ctg 60 stopni: ile wynoszą i skąd się biorą Ctg 30° wynosi \(\sqrt{3}\), a ctg 60° wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Cotangens to cosinus podzielony przez sinus, czyli odwrotność tangensa, więc \(\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{1}{\operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}\). Najczęstszy błąd to zamiana tych dwóch liczb: \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) to tangens 30°, a nie cotangens. ## W skrócie - Ctg 30° = \(\sqrt{3}\), ctg 45° = 1, ctg 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), czyli wartości tangensa w odwrotnej kolejności. - Dla kąta ostrego \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\), więc zawsze \(\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1\). - Ctg 30° = tg 60° i ctg 60° = tg 30°, bo \(\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)\). - W zadaniach maturalnych cotangens często stoi w przebraniu jako \(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\). - Im większy kąt ostry, tym mniejszy cotangens: \(\sqrt{3} > 1 > \frac{\sqrt{3}}{3}\). ## Czym jest cotangens kąta ostrego Cotangens to czwarta funkcja trygonometryczna, obok sinusa, cosinusa i tangensa. Całą trygonometrię z zadaniami maturalnymi znajdziesz w dziale [Trygonometria w bazie zadań](/topics/trygonometria), a tutaj skupiamy się na jednej liczbie, której uczniowie szukają najczęściej: ctg 30°. Weź trójkąt prostokątny i jeden z jego kątów ostrych \(\alpha\). Przyprostokątna, która dotyka kąta \(\alpha\), to przyprostokątna przyległa. Przyprostokątna po drugiej stronie trójkąta to przyprostokątna przeciwległa. Tangens dzieli przeciwległą przez przyległą. Cotangens robi dokładnie odwrotnie: dzieli przyległą przez przeciwległą. Jeśli przyprostokątne mają długości \(a\) (przeciwległa do \(\alpha\)) i \(b\) (przyległa do \(\alpha\)), to \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}\), a \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a}\). Ten sam ułamek, tylko odwrócony. Stąd bierze się najważniejsza własność cotangensa: jest odwrotnością tangensa. Definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym omawiamy szerzej we wpisie o tym, [jak działają sinus, cosinus i tangens na maturze](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci). Jeśli te trzy funkcje masz opanowane, cotangens nie wymaga od ciebie żadnej nowej wiedzy. Wystarczy jeden ułamek odwrócić. ## Wzory Definicja cotangensa w trójkącie: $$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{b}{a} = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przyprostokątna przeciwległa}}$$ Cotangens przez sinus i cosinus: $$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$ Cotangens jako odwrotność tangensa: $$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$$ Iloczyn tangensa i cotangensa: $$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$$ Cotangens kąta dopełniającego: $$\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$$ Wszystkie pięć wzorów mówi to samo z różnych stron. Pierwszy to definicja. Drugi dostajesz, gdy dzielisz cosinus przez sinus: \(\frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{a}\), bo przeciwprostokątna \(c\) się skraca. Trzeci i czwarty wynikają z tego, że tangens to \(\frac{a}{b}\). Piąty pochodzi z tego, że drugi kąt ostry trójkąta ma miarę \(90^\circ - \alpha\), a dla niego przyległa i przeciwległa zamieniają się miejscami. ## Ile wynosi ctg 30 stopni i skąd to wiadomo Ctg 30° wynosi \(\sqrt{3}\). Nie musisz tego pamiętać na ślepo, bo da się to wyprowadzić w pół minuty z trójkąta równobocznego. **Krok pierwszy: trójkąt równoboczny.** Narysuj trójkąt równoboczny o boku 2. Każdy jego kąt ma 60°. Poprowadź wysokość z jednego wierzchołka. Wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. **Krok drugi: boki małego trójkąta.** Każdy z małych trójkątów ma przeciwprostokątną 2 (bok trójkąta równobocznego), krótszą przyprostokątną 1 (połowa podstawy) i dłuższą przyprostokątną równą wysokości. Z twierdzenia Pitagorasa: \(h^2 = 2^2 - 1^2 = 3\), więc \(h = \sqrt{3}\). **Krok trzeci: kąty małego trójkąta.** Kąt przy podstawie został bez zmian, czyli 60°. Wysokość przecięła kąt przy wierzchołku na pół, więc przy górnym wierzchołku jest 30°. Kąt prosty jest przy spodku wysokości. **Krok czwarty: odczyt cotangensa.** Przy kącie 30° przyległa przyprostokątna to wysokość \(\sqrt{3}\), a przeciwległa to odcinek o długości 1. Dzielisz przyległą przez przeciwległą: $$\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$$ Ten sam wynik dostaniesz dwiema innymi drogami. Z sinusa i cosinusa: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) i \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), więc \(\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}\). Z tangensa: \(\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\), więc \(\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\). Trzy drogi, jeden wynik. Jeśli któraś z nich daje ci coś innego, gdzieś odwróciłeś ułamek. Przybliżenie dziesiętne też warto mieć w głowie: \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\). Na maturze z matematyki wolno korzystać z kalkulatora prostego, a taki kalkulator nie ma klawiszy sin, cos ani tg. Wartości dla kątów 30°, 45° i 60° musisz więc znać albo umieć szybko wyprowadzić, a przybliżenie przydaje się tylko do kontroli wyniku. Cotangens kąta mniejszego niż 45° jest zawsze większy od 1, więc wynik typu 0,58 dla ctg 30° od razu powinien zapalić ci czerwoną lampkę. ## Ile wynosi ctg 60 stopni Ctg 60° wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), czyli w przybliżeniu 0,58. Bierzesz ten sam mały trójkąt z poprzedniej sekcji i patrzysz tym razem z kąta 60°. Przy kącie 60° przyległa przyprostokątna to krótki odcinek o długości 1 (połowa podstawy trójkąta równobocznego), a przeciwległa to wysokość \(\sqrt{3}\). Dzielisz przyległą przez przeciwległą: $$\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Ostatni krok to usunięcie niewymierności z mianownika: mnożysz licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\). Postać \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) jest matematycznie poprawna, ale w odpowiedziach zamkniętych prawie zawsze zobaczysz \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Musisz rozpoznać, że to ta sama liczba. Sprawdzenie przez sinus i cosinus: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), więc \(\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Zgadza się. Zwróć uwagę na ciekawą rzecz: ctg 60° ma tę samą wartość co tg 30°. To nie przypadek, tylko wzór na kąt dopełniający, o którym niżej. ## Tabela wartości ctg dla kątów 30, 45 i 60 stopni Ctg 45° wynosi 1, bo trójkąt prostokątny z kątem 45° jest równoramienny: obie przyprostokątne są równe, więc ich iloraz to 1. Oto pełna tabela dla trzech kątów szczególnych: | Funkcja | 30° | 45° | 60° | |---|---|---|---| | \(\sin\alpha\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | | \(\cos\alpha\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | | \(\operatorname{tg}\alpha\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | | \(\operatorname{ctg}\alpha\) | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | Popatrz na dwa ostatnie wiersze. Wiersz cotangensa to wiersz tangensa czytany od prawej do lewej. Tak samo wiersz cosinusa to wiersz sinusa czytany od końca. Jeśli zapamiętasz sinus i tangens, resztę tabeli odtworzysz w kilka sekund. Interaktywny kalkulator: tabela-trygonometryczna (dostępny na stronie wpisu) Skąd się bierze cała tabela i jak ją wyprowadzić z dwóch trójkątów, pokazujemy krok po kroku we wpisie o tym, [skąd się biorą wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). Tam znajdziesz też trójkąt prostokątny równoramienny, z którego wychodzą wartości dla 45°. Dwie wartości brzegowe warto znać dla porządku: ctg 90° = 0, bo \(\cos 90^\circ = 0\), a ctg 0° nie istnieje, bo \(\sin 0^\circ = 0\) i dzielenie przez zero nie ma sensu. Na maturze pojawiają się rzadko, ale chronią przed głupim błędem w zadaniu z kątem granicznym. ## Przykład 1: wartość wyrażenia z ctg 30° i ctg 60° **Treść:** Wartość wyrażenia \(\operatorname{ctg} 30^\circ \cdot \sin 30^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ \cdot \cos 30^\circ\) jest równa: - A) \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\) - B) \(\sqrt{3}\) - C) \(\frac{\sqrt{3}+3}{6}\) - D) \(1\) **Krok 1: Podstaw wartości z tabeli.** \(\operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}\), \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), \(\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). $$\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **Krok 2: Policz oba iloczyny.** Pierwszy to \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). W drugim \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\), więc dostajesz \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). $$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$$ **Odpowiedź: A.** Odpowiedź C to pułapka dla kogoś, kto wziął ctg 30° jako \(\frac{\sqrt{3}}{3}\): wtedy pierwszy iloczyn wychodzi \(\frac{\sqrt{3}}{6}\), a suma \(\frac{\sqrt{3}+3}{6}\). ## Teraz ty Spróbuj sam zadania tego samego typu z prawdziwego arkusza CKE: wartość wyrażenia z funkcjami kątów szczególnych. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2016-16 ## Związek ctg 30° z tg 60° i ctg 60° z tg 30° Ctg 30° = tg 60°, bo kąty 30° i 60° sumują się do 90°. W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre zawsze się dopełniają do kąta prostego. Przyprostokątna przyległa do jednego kąta jest przeciwległa do drugiego. Dlatego iloraz „przyległa przez przeciwległą” dla kąta 30° jest tym samym ilorazem co „przeciwległa przez przyległą” dla kąta 60°. Zapisane wzorem: $$\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)$$ Podstaw \(\alpha = 30^\circ\): \(\operatorname{ctg} 30^\circ = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}\). Podstaw \(\alpha = 60^\circ\): \(\operatorname{ctg} 60^\circ = \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Podstaw \(\alpha = 45^\circ\): \(\operatorname{ctg} 45^\circ = \operatorname{tg} 45^\circ = 1\). Ta zależność przydaje się w dwóch sytuacjach. Pierwsza: zapomniałeś wartości cotangensa, ale pamiętasz tangens. Wtedy liczysz tangens kąta dopełniającego. Druga: zadanie podaje tangens jednego kąta ostrego trójkąta prostokątnego i pyta o drugi kąt. Wtedy tangens drugiego kąta to cotangens pierwszego, czyli odwrotność danej liczby. Jeśli w trójkącie prostokątnym \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}\), to tangens drugiego kąta ostrego wynosi \(\frac{5}{2}\), bez żadnego liczenia boków. Podobnie działa sinus i cosinus: \(\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)\). Gdy w zadaniu widzisz kąty, które sumują się do 90°, prawie zawsze chodzi o jedną z tych dwóch zależności. ## Ctg 30° to √3 czy √3/3? Typowe błędy Ctg 30° to \(\sqrt{3}\). Liczba \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) to tangens 30° albo cotangens 60°. Pomyłka bierze się z tego, że obie liczby wyglądają podobnie i stoją w tej samej tabeli tuż obok siebie. **Pułapka:** Zamiana tangensa z cotangensem. Jeśli liczysz ctg 30° i wychodzi ci \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), właśnie policzyłeś tangens. Szybki test: kąt 30° jest mniejszy od 45°, więc jego cotangens musi być większy od 1. \(\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58\) jest mniejsze od 1, więc odpada. **Pułapka 2:** Odwrócony iloraz sinusa i cosinusa. Cotangens to \(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), a nie \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Ten drugi ułamek to tangens. Pomaga skojarzenie: w nazwie „co-tangens” jest „co” jak „cosinus”, a cosinus idzie do licznika. **Pułapka 3:** Niewymierność w mianowniku. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) i około 0,577 to ta sama liczba. Jeśli w odpowiedziach nie ma twojej postaci, usuń niewymierność z mianownika, zanim uznasz, że się pomyliłeś. **Pułapka 4:** Mylenie kąta przy wyprowadzeniu z trójkąta. W trójkącie o kątach 30°, 60° i 90° krótsza przyprostokątna leży naprzeciw kąta 30°, nie przy nim. Jeśli przypiszesz jej kąt 30° jako przyległy, wszystkie wartości wyjdą ci odwrócone. **Wskazówka:** Przy każdej wartości trygonometrycznej sprawdź rząd wielkości. Sinus i cosinus kąta ostrego leżą między 0 a 1. Tangens kąta mniejszego od 45° jest mniejszy od 1, a cotangens takiego kąta jest większy od 1. Dla kąta większego od 45° jest odwrotnie. ## Jak zapamiętać wartości cotangensa Najprostszy sposób: nie zapamiętuj cotangensa osobno. Zapamiętaj tangens i odwracaj. Tangens dla 30°, 45°, 60° to \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), 1, \(\sqrt{3}\). Cotangens to te same trzy liczby w odwrotnej kolejności: \(\sqrt{3}\), 1, \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Drugi sposób to reguła monotoniczności. Gdy kąt ostry rośnie od 0° do 90°, tangens rośnie od 0 w górę bez ograniczenia, a cotangens maleje od bardzo dużych wartości do 0. Kąt 30° jest mały, więc ma duży cotangens (\(\sqrt{3} \approx 1{,}73\)). Kąt 60° jest duży, więc ma mały cotangens (około 0,58). Pośrodku, przy 45°, oba są równe 1. Trzeci sposób to iloczyn równy 1. Tangens i cotangens tego samego kąta zawsze mnożą się do jedynki: \(\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{3} = 1\). Jeśli masz wątpliwość, czy dobrze pamiętasz parę, pomnóż ją. Iloczyn różny od 1 oznacza błąd. Czwarty sposób to rysunek. Trójkąt o bokach 1, \(\sqrt{3}\) i 2 narysujesz na marginesie w kilka sekund, a wszystkie jego własności zebraliśmy we wpisie o [zależnościach boków w trójkącie 30-60-90](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura). Najkrótszy bok leży naprzeciw najmniejszego kąta, czyli 30°. Najdłuższy bok to przeciwprostokątna. Z takiego szkicu odczytasz wszystkie osiem wartości dla 30° i 60°. Jeśli chcesz sprawdzić się z sinusem i cosinusem przy znanym tangensie (to zwykle kolejny krok po cotangensie), przeczytaj, [jak obliczyć sinus i cosinus, znając tangens](/jak-obliczyc-sinus-cosinus-znajac-tangens). Tamta metoda działa identycznie, gdy zamiast tangensa dostajesz cotangens: wystarczy go najpierw odwrócić. ## Jak obliczyć ctg kąta, gdy znasz sinus albo cosinus Nie każdy kąt w zadaniu to 30°, 45° albo 60°. Często dostajesz sinus lub cosinus kąta ostrego i masz policzyć cotangens. Schemat jest zawsze ten sam: brakującą funkcję wyliczasz z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), a potem dzielisz cosinus przez sinus. Weźmy \(\sin\alpha = \frac{1}{4}\) dla kąta ostrego. Najpierw cosinus: \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\), a ponieważ kąt jest ostry, cosinus jest dodatni, więc \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}\). Teraz cotangens: $$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sqrt{15}/4}{1/4} = \sqrt{15}$$ Czwórki w mianownikach się skróciły i został sam pierwiastek. Tak jest zawsze, gdy sinus i cosinus mają wspólny mianownik, więc nie musisz go przepisywać. Gdy znasz tangens, jest jeszcze prościej: odwracasz ułamek. Dla \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{3}\) od razu masz \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{2}\). Dla \(\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{5}\) dostajesz \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\). Gdy znasz cotangens, a pytają o sinus, możesz narysować trójkąt prostokątny. Dla \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{3}{2}\) przyległa przyprostokątna ma długość 3, przeciwległa 2, a przeciwprostokątna \(\sqrt{9+4} = \sqrt{13}\). Stąd \(\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}\). Długości boków nie muszą być prawdziwe, ważne są tylko proporcje, bo funkcje trygonometryczne zależą od kąta, a nie od wielkości trójkąta. ## Ctg 30° i ctg 60° w zadaniach z geometrii Cotangens jest najwygodniejszy wtedy, gdy znasz wysokość, a szukasz odcinka leżącego poziomo. Wtedy poziomy odcinek to wysokość pomnożona przez cotangens kąta przy podstawie. Nie musisz dzielić przez tangens ani usuwać niewymierności z mianownika, bo mnożenie przez \(\sqrt{3}\) albo przez \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) robisz od razu. Trapez równoramienny ma kąt ostry 30° i wysokość 4. Rzut ramienia na dłuższą podstawę, czyli odcinek między spodkiem wysokości a wierzchołkiem kąta ostrego, ma długość \(4 \cdot \operatorname{ctg} 30^\circ = 4\sqrt{3}\). Dłuższa podstawa jest więc dłuższa od krótszej o \(8\sqrt{3}\), bo takie odcinki są po obu stronach. Tak samo zaczyna się każde zadanie na [pole trapezu z kątem przy podstawie](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura#pole-trapezu-z-katem-przy-podstawie). Stożek ma wysokość 6, a tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Promień podstawy to \(6 \cdot \operatorname{ctg} 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\). Ten sam schemat działa w ostrosłupach, gdy [kąt nachylenia krawędzi bocznej](/jak-obliczyc-kat-miedzy-krawedzia-a-podstawa-ostroslupa#jak-znalezc-trojkat-prostokatny-krok-po-kroku) albo ściany bocznej do podstawy wynosi 30° lub 60°. W obu przypadkach kluczowy jest rysunek: zaznacz kąt, wysokość i szukany odcinek, a potem nazwij, która przyprostokątna jest przyległa, a która przeciwległa. Gdy szukany odcinek przylega do kąta, a wysokość leży naprzeciw niego, sięgasz po cotangens. ## Ctg kąta rozwartego: 120° i 150° Dla kątów rozwartych korzystasz z tego, że \(\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha\). Wynika to wprost z definicji: \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\), a \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha\), więc iloraz zmienia znak. Stąd \(\operatorname{ctg} 150^\circ = -\operatorname{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}\) oraz \(\operatorname{ctg} 120^\circ = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wartość bezwzględna zostaje ta sama co dla kąta ostrego, zmienia się tylko znak. Cotangens kąta rozwartego jest ujemny, tak samo jak tangens i cosinus, bo w [drugiej ćwiartce](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania#znaki-funkcji-trygonometrycznych-w-cwiartkach) układu współrzędnych \(x 0\). Pełną listę takich zależności znajdziesz we wpisie o [wzorach redukcyjnych z tabelą i zadaniami](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania), a definicje funkcji przez współrzędne punktu na ramieniu kąta omawiamy przy [funkcjach trygonometrycznych kąta rozwartego](/funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura). ## Przykład 2: przyprostokątna z ctg 60° **Treść:** W trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 60° ma długość 9. Oblicz długość przyprostokątnej przyległej do tego kąta. **Krok 1: Zapisz definicję cotangensa.** Dla kąta 60° szukana przyprostokątna \(x\) jest przyległa, a dana przyprostokątna 9 jest przeciwległa. $$\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{x}{9}$$ **Krok 2: Podstaw wartość i wylicz x.** \(\operatorname{ctg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\), więc mnożysz obie strony przez 9. $$x = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$ **Krok 3: Sprawdź Pitagorasem.** Przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\), a krótsza przyprostokątna \(3\sqrt{3}\) to dokładnie połowa przeciwprostokątnej, jak w każdym trójkącie o kątach 30°, 60°, 90°. **Odpowiedź:** \(3\sqrt{3}\). ## Przykład 3: kąt z wartości cotangensa **Treść:** Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{ctg}\alpha = \sqrt{3}\). Wartość wyrażenia \(2\sin\alpha + \operatorname{tg}\alpha\) jest równa: - A) \(\frac{3+\sqrt{3}}{3}\) - B) \(1+\sqrt{3}\) - C) \(2\) - D) \(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\) **Krok 1: Rozpoznaj kąt.** Kąt ostry, którego cotangens wynosi \(\sqrt{3}\), to 30°. Tangens jest odwrotnością: \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\). **Krok 2: Podstaw.** \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), więc \(2\sin\alpha = 1\). $$2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3+\sqrt{3}}{3}$$ **Odpowiedź: A.** Jeśli pomylisz cotangens z tangensem i przyjmiesz \(\operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}\), czyli kąt 60°, dostaniesz \(2\sin 60^\circ + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\). Takiej liczby nie ma wśród odpowiedzi, i to jest sygnał, że gdzieś odwróciłeś ułamek. ## Przykład 4: pole trójkąta z ctg 30° **Treść:** W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość 6. Pole tego trójkąta jest równe: - A) \(6\sqrt{3}\) - B) \(18\sqrt{3}\) - C) \(12\sqrt{3}\) - D) \(3\sqrt{3}\) **Krok 1: Ułóż równanie z cotangensem.** Przyległa przyprostokątna to 6, przeciwległą oznacz \(a\). $$\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{6}{a}, \quad \text{czyli} \quad \sqrt{3} = \frac{6}{a}$$ **Krok 2: Wylicz a.** Mnożysz na krzyż i usuwasz niewymierność z mianownika. $$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ **Krok 3: Policz pole.** Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych. $$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ **Odpowiedź: A.** Odpowiedź B dostaniesz, jeśli pomnożysz 6 przez \(\sqrt{3}\) zamiast przez nie dzielić, czyli jeśli odwrócisz definicję cotangensa. ## Cotangens w przebraniu: 1/tg α w zadaniach CKE W arkuszach CKE z bazy zadań cotangens rzadko stoi pod własną nazwą. Zamiast tego widzisz wyrażenie \(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\), czyli dokładnie cotangens. Najczęstszy motyw to suma \(\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\). Jest jeden trik, który rozwiązuje wszystkie takie zadania: $$\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$$ W liczniku stoi jedynka trygonometryczna, którą omawiamy we wpisie o [jedynce trygonometrycznej z dowodem i zadaniami](/jedynka-trygonometryczna-wzor-dowod-zadania-matura). Suma tangensa i cotangensa to po prostu odwrotność iloczynu sinusa i cosinusa. Zobacz to na zadaniu 29 z arkusza z sierpnia 2015: Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2015-29 **Krok 1: Zamień tangens i jego odwrotność na sinus i cosinus.** Ze wzoru wyżej lewa strona równości to \(\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\). $$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{7}{2}$$ **Krok 2: Odwróć obie strony.** Skoro odwrotności są równe, to same liczby też. $$\sin\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{2}{7}$$ **Odpowiedź:** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{2}{7}\). To samo narzędzie działa w drugą stronę. W zadaniu 30 z arkusza z czerwca 2018 znasz sumę sinusa i cosinusa, a liczysz sumę tangensa i jego odwrotności. Najpierw podnosisz daną równość do kwadratu, żeby dostać iloczyn \(\sin\alpha\cos\alpha\), a potem używasz wzoru na \(\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\). Zadanie z bazy: /task/matura-czerwiec-2018-30 **Krok 1: Podnieś równość do kwadratu.** \((\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha\). $$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\sqrt{2})^2 = 2$$ **Krok 2: Wylicz iloczyn.** \(2\sin\alpha\cos\alpha = 1\), więc \(\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\). **Krok 3: Użyj wzoru na sumę tangensa i cotangensa.** $$\operatorname{tg}\alpha + \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$ **Odpowiedź:** \(2\). Dla porządku: warunek spełnia tylko \(\alpha = 45^\circ\), a wtedy \(\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{ctg} 45^\circ = 1 + 1 = 2\). **Zapamiętaj:** Gdy w zadaniu widzisz \(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\), czytaj to jako \(\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Sprowadzenie wszystkiego do sinusa i cosinusa prawie zawsze odsłania jedynkę trygonometryczną. ## Co musisz umieć - Podać z pamięci ctg 30° = √3, ctg 45° = 1 i ctg 60° = √3/3. - Wyprowadzić ctg 30° i ctg 60° z trójkąta o bokach 1, √3 i 2. - Zamienić cotangens na iloraz cosinusa przez sinus albo na odwrotność tangensa. - Skorzystać z zależności ctg α = tg(90° - α) dla kątów dopełniających. - Rozpoznać kąt ostry po wartości jego cotangensa. - Uprościć sumę tg α + 1/tg α do odwrotności iloczynu sinusa i cosinusa. ## Poćwicz na zadaniach z bazy Te zadania z arkuszy maturalnych sprawdzą, czy wartości funkcji kątów 30°, 45° i 60° masz już w małym palcu, także wtedy, gdy cotangens schowano pod \(\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\). Następny krok: Losuj zadanie z działu Trygonometria (/losuj) ## Najczęstsze pytania ### Ile wynosi ctg 30°? Ctg 30° wynosi \(\sqrt{3}\), czyli w przybliżeniu 1,73. Wynika to z ilorazu \(\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}\) albo z odwrotności tangensa: \(\frac{1}{\operatorname{tg} 30^\circ} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\). ### Czy ctg 30° to √3 czy √3/3? Ctg 30° to \(\sqrt{3}\). Liczba \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) to tangens 30° i jednocześnie cotangens 60°. Najszybciej sprawdzisz to tak: kąt mniejszy od 45° ma cotangens większy od 1, a \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) spełnia ten warunek. ### Ile wynosi ctg 60°? Ctg 60° wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), czyli \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) po usunięciu niewymierności z mianownika, w przybliżeniu 0,58. To ta sama wartość co tg 30°, bo kąty 30° i 60° dopełniają się do 90°. ### Jak obliczyć ctg 30° bez tablic? Narysuj trójkąt równoboczny o boku 2 i poprowadź wysokość. Powstanie trójkąt prostokątny o bokach 1, \(\sqrt{3}\) i 2 z kątem 30° przy górnym wierzchołku. Przyległa do tego kąta przyprostokątna ma długość \(\sqrt{3}\), przeciwległa 1, więc \(\operatorname{ctg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). ### Jaki jest związek ctg 30° z tg 60°? Są równe: \(\operatorname{ctg} 30^\circ = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}\). Wynika to ze wzoru \(\operatorname{ctg}\alpha = \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha)\), bo w trójkącie prostokątnym przyprostokątna przyległa do jednego kąta ostrego jest przeciwległa do drugiego.