---
route: /cos-180-stopni-ile-wynosi-wzory-redukcyjne-zadania
title: Cos 180 stopni: ile wynosi, skąd ten wynik i jak go użyć w zadaniach
description: Cos 180° = -1, bo kąt 180° wyznacza punkt (-1, 0) na okręgu jednostkowym. Zobacz cos π, sin 180°, wzory redukcyjne i zadania maturalne krok po kroku.
type: topic_guide
category: Trygonometria
tags: cos 180 stopni, cos 180, cos pi, sin 180 stopni, cos 170 stopni, cos 120 stopni, cos 20 stopni, cos 35 stopni, cos 25 stopni, wzory redukcyjne, cosinus kąta rozwartego, cos 360 stopni
author: Marcel Bogdan
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan
published: 2026-11-03T09:18:36+00:00
updated: 2026-11-03T09:25:50.682+00:00
---
# Cos 180 stopni: ile wynosi, skąd ten wynik i jak go użyć w zadaniach
Cos 180 stopni wynosi \(-1\). W radianach zapisujesz to samo jako \(\cos\pi = -1\), bo \(180^\circ = \pi\). Wynik odczytasz z okręgu jednostkowego: ramię kąta \(180^\circ\) leży na ujemnej półosi \(Ox\) i przecina okrąg w punkcie \((-1, 0)\), a cosinus to pierwsza współrzędna tego punktu.

## W skrócie

- \(\cos 180^\circ = -1\), \(\sin 180^\circ = 0\), \(\operatorname{tg} 180^\circ = 0\), a kąt \(180^\circ\) to \(\pi\) radianów.
- Wynik bierze się z punktu \((-1, 0)\) na okręgu jednostkowym: cosinus to współrzędna \(x\), sinus to współrzędna \(y\).
- Wzór redukcyjny \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\) zamienia cosinus kąta rozwartego na cosinus kąta ostrego, np. \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}\).
- Najczęstszy błąd to pomylenie \(\cos 180^\circ = -1\) z \(\sin 180^\circ = 0\) albo zgubienie minusa przy kącie rozwartym.

## Cos 180 stopni na okręgu jednostkowym

Na poziomie podstawowym sinus i cosinus definiujesz dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) w układzie współrzędnych. Pełny zestaw zadań z tego działu znajdziesz w dziale [trygonometria w bazie zadań](/topics/trygonometria), a tu skupiamy się na jednym kącie i na tym, co z niego wynika.

Definicja jest krótka. Rysujesz kąt o wierzchołku w początku układu, jedno ramię leży na dodatniej półosi \(Ox\), drugie wychodzi pod kątem \(\alpha\). Na drugim ramieniu bierzesz dowolny punkt \(P = (x, y)\) różny od \((0, 0)\) i liczysz jego odległość od początku układu: \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\). Wtedy:

$$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}\ (x \neq 0)$$

Najwygodniej wziąć punkt w odległości \(r = 1\), czyli na okręgu jednostkowym. Wtedy mianownik znika i cosinus to po prostu współrzędna \(x\), a sinus to współrzędna \(y\).

Teraz kąt \(180^\circ\). Drugie ramię obraca się od dodatniej półosi \(Ox\) o pół obrotu i ląduje na ujemnej półosi \(Ox\). Okrąg jednostkowy przecina tę półoś w punkcie \((-1, 0)\). Stąd:

$$\cos 180^\circ = \frac{-1}{1} = -1, \qquad \sin 180^\circ = \frac{0}{1} = 0$$

To cały dowód. Nie potrzebujesz żadnego wzoru, tylko obrazka. Gdy na sprawdzianie zapomnisz wartości, narysuj okrąg, zaznacz punkt na lewym końcu poziomej średnicy i odczytaj współrzędne.

**Zapamiętaj:** cosinus to „iks”, sinus to „igrek”. Kąt \(180^\circ\) to punkt najdalej na lewo, więc iks jest najmniejszy z możliwych, czyli \(-1\).

## Cos 180° w radianach: cos π

Pełny kąt ma \(360^\circ\), czyli \(2\pi\) radianów. Połowa pełnego kąta to \(180^\circ = \pi\). Dlatego zapisy \(\cos 180^\circ\) i \(\cos\pi\) oznaczają tę samą liczbę:

$$\cos\pi = -1$$

Przeliczenie stopni na radiany robisz proporcją: kąt w radianach to kąt w stopniach razy \(\frac{\pi}{180^\circ}\). Dla przykładu \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\), \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\), \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\). Radiany pojawiają się głównie na poziomie rozszerzonym, przy funkcjach trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej i równaniach trygonometrycznych. Więcej o tym, skąd biorą się wartości dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\) także w radianach, przeczytasz we wpisie [wartości funkcji trygonometrycznych i jak je zapamiętać](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

## Dlaczego cos 180 stopni jest ujemny

Znak cosinusa zależy od tego, po której stronie osi \(Oy\) leży punkt na ramieniu kąta. Cosinus to \(\frac{x}{r}\), a \(r\) jest zawsze dodatnie, więc znak cosinusa to znak współrzędnej \(x\).

- Dla kątów ostrych (od \(0^\circ\) do \(90^\circ\)) punkt leży w pierwszej ćwiartce, \(x > 0\), cosinus jest dodatni.
- Dla kąta prostego punkt leży na osi \(Oy\), \(x = 0\), więc \(\cos 90^\circ = 0\).
- Dla kątów rozwartych (od \(90^\circ\) do \(180^\circ\)) punkt leży w drugiej ćwiartce, \(x  0\), więc sinus każdego kąta z przedziału \((0^\circ, 180^\circ)\) jest dodatni. Na osi \(Ox\) mamy \(y = 0\), dlatego \(\sin 0^\circ = \sin 180^\circ = 0\).

Ta obserwacja rozwiązuje sporą część zadań zamkniętych bez liczenia. Gdy w treści stoi „kąt \(\alpha\) jest rozwarty”, od razu wiesz, że \(\cos\alpha  0\). Więcej przykładów w układzie współrzędnych pokazuje wpis o [funkcjach trygonometrycznych kąta rozwartego](/funkcje-trygonometryczne-kata-rozwartego-uklad-wspolrzednych-matura).

**Wskazówka:** cosinus maleje, gdy kąt rośnie od \(0^\circ\) do \(180^\circ\): zaczyna od \(1\), przechodzi przez \(0\) przy \(90^\circ\) i kończy na \(-1\). Każdy kąt rozwarty ma więc cosinus z przedziału \((-1, 0)\).

## Sin 180°, tg 180° i ctg 180°

Skoro punkt dla kąta \(180^\circ\) to \((-1, 0)\), wszystkie cztery funkcje dostajesz z jednego miejsca:

| Funkcja | Wzór z punktu \((x, y)\) | Wartość dla \(180^\circ\) |
|---|---|---|
| sinus | \(\frac{y}{r}\) | \(0\) |
| cosinus | \(\frac{x}{r}\) | \(-1\) |
| tangens | \(\frac{y}{x}\) | \(\frac{0}{-1} = 0\) |
| cotangens | \(\frac{x}{y}\) | nie istnieje (dzielenie przez \(0\)) |

Tangens kąta \(180^\circ\) jest równy zero, bo licznik \(y\) jest zerem, a mianownik \(x = -1\) zerem nie jest. Z cotangensem jest odwrotnie: w mianowniku stoi \(y = 0\), więc wyrażenie nie ma sensu. Tak samo nie istnieje \(\operatorname{tg} 90^\circ\), bo tam zeruje się \(x\).

## Wartości dla 0°, 90°, 180°, 270° i 360°

Kąty, których ramię leży na osi układu, nazywamy osiowymi. Ich wartości nie trzeba wkuwać, bo wszystkie biorą się z czterech punktów okręgu jednostkowego: \((1, 0)\), \((0, 1)\), \((-1, 0)\) i \((0, -1)\).

| Kąt | Punkt na okręgu | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\operatorname{tg}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) (\(0\)) | \((1, 0)\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(90^\circ\) (\(\frac{\pi}{2}\)) | \((0, 1)\) | \(1\) | \(0\) | nie istnieje |
| \(180^\circ\) (\(\pi\)) | \((-1, 0)\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(270^\circ\) (\(\frac{3\pi}{2}\)) | \((0, -1)\) | \(-1\) | \(0\) | nie istnieje |
| \(360^\circ\) (\(2\pi\)) | \((1, 0)\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |

Szybki sposób na zapamiętanie: idziesz po okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara i czytasz kolejne punkty. Cosinus to pierwsza współrzędna, więc w kolejnych krokach dostajesz \(1, 0, -1, 0, 1\). Sinus to druga współrzędna, więc \(0, 1, 0, -1, 0\). Sinus jest „spóźniony” o ćwierć obrotu względem cosinusa.

Kąty \(270^\circ\) i \(360^\circ\) wykraczają poza przedział \(0^\circ\)-\(180^\circ\), więc na poziomie podstawowym pojawiają się rzadko. Na rozszerzeniu wracają przy wykresach i równaniach, a przebieg całych funkcji opisuje wpis o [wykresach funkcji sinus i cosinus](/wykres-funkcji-sinus-cosinus-okres-amplituda-przesuniecia).

Gotowe wartości dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\) masz w interaktywnej tabeli poniżej.

Interaktywny kalkulator: tabela-trygonometryczna (dostępny na stronie wpisu)

## Wzory redukcyjne z kątem 180°

Kąt \(180^\circ\) jest punktem odniesienia dla wszystkich kątów rozwartych. Kąt rozwarty \(\beta\) zapisujesz jako \(180^\circ - \alpha\), gdzie \(\alpha\) jest ostry, i sprowadzasz zadanie do kąta ostrego.

Cosinus kąta 180° minus alfa:

$$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$$

Sinus kąta 180° minus alfa:

$$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$$

Tangens kąta 180° minus alfa:

$$\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$$

Skąd te wzory? Punkty na okręgu dla kątów \(\alpha\) i \(180^\circ - \alpha\) są swoimi odbiciami względem osi \(Oy\). Jeśli kąt \(\alpha\) daje punkt \((x, y)\), to kąt \(180^\circ - \alpha\) daje punkt \((-x, y)\). Współrzędna \(y\) się nie zmienia, więc sinus zostaje ten sam. Współrzędna \(x\) zmienia znak, więc cosinus zmienia znak. Tangens to iloraz \(\frac{y}{x}\), więc też zmienia znak.

Podstaw \(\alpha = 0^\circ\) i sprawdź wzór na kącie z tytułu: \(\cos(180^\circ - 0^\circ) = -\cos 0^\circ = -1\). Zgadza się z okręgiem. Pełny zestaw wzorów redukcyjnych, także dla \(90^\circ\) i \(270^\circ\), zebraliśmy we wpisie [wzory redukcyjne w tabeli z zadaniami](/wzory-redukcyjne-trygonometria-matura-tabela-zadania).

## Jak obliczyć cos 170°, cos 150° i cos 120°

Schemat jest zawsze ten sam i ma trzy ruchy.

1. Zapisz kąt rozwarty jako \(180^\circ - \alpha\) z ostrym \(\alpha\).
2. Zamień cosinus na \(-\cos\alpha\).
3. Odczytaj \(\cos\alpha\) z tabeli kątów szczególnych albo z tablicy wartości.

**Cos 120°.** \(120^\circ = 180^\circ - 60^\circ\), więc

$$\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac12$$

**Cos 135°.** \(135^\circ = 180^\circ - 45^\circ\), więc

$$\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt2}{2}$$

**Cos 150°.** \(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\), więc

$$\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}$$

**Cos 170°.** \(170^\circ = 180^\circ - 10^\circ\). Kąt \(10^\circ\) nie jest szczególny, więc wartość odczytujesz z tablicy:

$$\cos 170^\circ = -\cos 10^\circ \approx -0{,}9848$$

Wszystkie kąty szczególne od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) w jednej tabeli. Prawa połowa powstaje z lewej wzorami redukcyjnymi: sinus przepisujesz, cosinusowi zmieniasz znak.

| Kąt | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(120^\circ\) | \(135^\circ\) | \(150^\circ\) | \(180^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\cos\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) | \(-\frac12\) | \(-\frac{\sqrt2}{2}\) | \(-\frac{\sqrt3}{2}\) | \(-1\) |

Wiersz sinusa jest symetryczny względem \(90^\circ\), a wiersz cosinusa jest „antysymetryczny”: wartości po prawej to wartości z lewej z przeciwnym znakiem. Jeśli zapamiętasz tylko lewą połowę, prawą odtworzysz w kilka sekund.

Zauważ też, że im bliżej \(180^\circ\), tym bliżej \(-1\). Kąt \(170^\circ\) leży tuż obok \(180^\circ\), więc jego cosinus jest prawie równy \(-1\). To dobra kontrola wyniku: jeśli dla \(170^\circ\) wyjdzie ci liczba dodatnia albo bliska zera, gdzieś zgubiłeś minus.

## Cos 20°, cos 25° i cos 35°: wartości z tablicy

Kąty \(20^\circ\), \(25^\circ\) i \(35^\circ\) nie należą do kątów szczególnych. Ich cosinusów nie zapiszesz pierwiastkiem, a na maturze bierzesz je z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych w zestawie „Wybrane wzory matematyczne”. Kalkulator prosty, który wolno mieć na egzaminie, nie liczy cosinusa, więc tablica jest jedynym źródłem.

| Kąt | \(\cos\) (przybliżenie do 4 miejsc) | Kąt rozwarty z tym samym modułem | \(\cos\) kąta rozwartego |
|---|---|---|---|
| \(10^\circ\) | \(0{,}9848\) | \(170^\circ\) | \(-0{,}9848\) |
| \(20^\circ\) | \(0{,}9397\) | \(160^\circ\) | \(-0{,}9397\) |
| \(25^\circ\) | \(0{,}9063\) | \(155^\circ\) | \(-0{,}9063\) |
| \(35^\circ\) | \(0{,}8192\) | \(145^\circ\) | \(-0{,}8192\) |

Jak czytać tablicę: w wierszu kąta szukasz kolumny z cosinusem. Wartości cosinusa maleją, gdy kąt rośnie, więc \(\cos 20^\circ > \cos 25^\circ > \cos 35^\circ\). Dzięki temu nawet bez tablicy ocenisz w zadaniu zamkniętym, która z dwóch liczb jest większa.

Tablica działa też w drugą stronę. Gdy wyjdzie ci \(\cos\alpha \approx 0{,}8192\), szukasz tej wartości w kolumnie cosinusa i odczytujesz \(\alpha \approx 35^\circ\). A gdy wyjdzie \(\cos\beta \approx -0{,}8192\) i wiesz, że \(\beta\) jest rozwarty, to \(\beta = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ\).

**Uwaga:** tablica zawiera kąty od \(0^\circ\) do \(90^\circ\). Dla kąta rozwartego zawsze najpierw redukujesz go wzorem do kąta ostrego, a dopiero potem czytasz wartość.

## Przykład 1: Sinus kąta rozwartego (matura próbna grudzień 2014, zadanie 15)

**Treść:** Liczba \(\sin 150^\circ\) jest równa liczbie:

- A) \(\cos 60^\circ\)
- B) \(\cos 120^\circ\)
- C) \(\operatorname{tg} 120^\circ\)
- D) \(\operatorname{tg} 60^\circ\)

**Krok 1: Redukcja sinusa.** \(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\), a sinus przy tej redukcji nie zmienia znaku.

$$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac12$$

**Krok 2: Wartości z odpowiedzi.** \(\cos 60^\circ = \frac12\). Dla porównania \(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac12\), \(\operatorname{tg} 120^\circ = -\operatorname{tg} 60^\circ = -\sqrt3\), \(\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt3\).

**Odpowiedź: A.** \(\sin 150^\circ = \frac12 = \cos 60^\circ\).

## Przykład 2: Różnica sinusa i cosinusa (matura czerwiec 2015, zadanie 7)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(\sin 120^\circ - \cos 30^\circ\) jest równa:

- A) \(\sin 90^\circ\)
- B) \(\sin 150^\circ\)
- C) \(\sin 0^\circ\)
- D) \(\sin 60^\circ\)

**Krok 1: Redukcja.** \(120^\circ = 180^\circ - 60^\circ\), więc \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}\).

**Krok 2: Odejmowanie.** \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}\), więc

$$\sin 120^\circ - \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt3}{2} = 0$$

**Krok 3: Która odpowiedź daje zero.** \(\sin 0^\circ = 0\). Pozostałe to \(1\), \(\frac12\) i \(\frac{\sqrt3}{2}\).

**Odpowiedź: C.** Wyrażenie jest równe \(0 = \sin 0^\circ\).

## Przykład 3: Pole równoległoboku z kątem rozwartym (matura maj 2024, zadanie 21)

**Treść:** Dany jest równoległobok o bokach długości \(3\) i \(4\) oraz o kącie między nimi o mierze \(120^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe:

- A) \(12\)
- B) \(12\sqrt3\)
- C) \(6\)
- D) \(6\sqrt3\)

**Krok 1: Wzór na pole.** Pole równoległoboku o bokach \(a\), \(b\) i kącie \(\alpha\) między nimi to \(P = a \cdot b \cdot \sin\alpha\).

**Krok 2: Sinus kąta rozwartego.** \(\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}\).

**Krok 3: Podstawienie.**

$$P = 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3$$

**Odpowiedź: D.** Pole wynosi \(6\sqrt3\).

## Przykład 4: Iloczyn sinusa i cosinusa (matura czerwiec 2019, zadanie 12)

**Treść:** Kąt \(\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)\) oraz wiadomo, że \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha = -\frac38\). Wartość wyrażenia \((\cos\alpha - \sin\alpha)^2 + 2\) jest równa:

- A) \(\frac{15}{4}\)
- B) \(\frac94\)
- C) \(\frac{27}{8}\)
- D) \(\frac{21}{8}\)

**Krok 1: Co mówi znak iloczynu.** Sinus kąta z przedziału \((0^\circ, 180^\circ)\) jest dodatni, a iloczyn jest ujemny, więc \(\cos\alpha  0\), \(\cos\alpha < 0\). Iloczyn \(\sin\alpha \cdot \cos\alpha\) jest więc ujemny, a tangens jako iloraz liczby dodatniej przez ujemną wychodzi ujemny, co zgadza się z danymi.

Potem wartości. Z definicji tangensa \(\sin\alpha = \operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = -3\cos\alpha\). Podstawiasz do jedynki:

$$9\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\alpha = \frac{1}{10}$$

Cosinus jest ujemny, więc \(\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}\), a \(\sin\alpha = -3\cos\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}\). Sprawdzenie: \(\frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1\).

Ten sam schemat działa dla każdej pary danych: najpierw [znak z ćwiartki](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania#znaki-funkcji-trygonometrycznych-w-cwiartkach), potem moduł z jedynki, na końcu sprawdzenie. Gdy w odpowiedziach stoi \(\frac{\sqrt{10}}{10}\) i \(-\frac{\sqrt{10}}{10}\), znak rozstrzyga zadanie, zanim cokolwiek policzysz.

## Kąt 180° w zadaniach z trójkątem

Wzory redukcyjne z kątem \(180^\circ\) wynikają wprost z geometrii trójkąta. Suma kątów trójkąta to \(180^\circ\), więc dowolny kąt trójkąta da się zapisać jako \(180^\circ\) minus suma dwóch pozostałych. Kąt zewnętrzny trójkąta to \(180^\circ\) minus kąt wewnętrzny przy tym samym wierzchołku, więc jego cosinus ma przeciwny znak, a sinus jest ten sam.

To ostatnie zdanie ma praktyczne skutki. Pole trójkąta \(P = \frac12 ab\sin\gamma\) daje ten sam wynik dla kąta \(60^\circ\) i \(120^\circ\), bo \(\sin 60^\circ = \sin 120^\circ\). Za to twierdzenie cosinusów rozróżnia te kąty, bo \(\cos 60^\circ = \frac12\), a \(\cos 120^\circ = -\frac12\).

Weź trójkąt o bokach \(3\) i \(5\) i kącie \(120^\circ\) między nimi. Trzeci bok \(c\) liczysz z twierdzenia cosinusów:

$$c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\frac12\right) = 34 + 15 = 49$$

Stąd \(c = 7\). Gdybyś wziął \(\cos 120^\circ = \frac12\), wyszłoby \(c^2 = 19\) i zupełnie inny trójkąt. Minus cosinusa kąta rozwartego zamienia odejmowanie w dodawanie, dlatego bok naprzeciw kąta rozwartego jest najdłuższy. Kiedy sięgać po twierdzenie cosinusów, a kiedy po twierdzenie sinusów, wyjaśnia wpis [twierdzenie sinusów i cosinusów: kiedy stosować](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

Przypadek graniczny też ma sens. Gdy kąt między bokami \(a\) i \(b\) rośnie do \(180^\circ\), trójkąt spłaszcza się w odcinek. Podstaw \(\cos 180^\circ = -1\):

$$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$$

czyli \(c = a + b\). Boki leżą wtedy na jednej prostej, a trzeci bok jest ich sumą. To dobry sposób, żeby zapamiętać, że \(\cos 180^\circ = -1\): bez minusa wzór dałby różnicę zamiast sumy.

## Kąt 180° w równoległoboku i czworokącie wpisanym

Kąt półpełny ukrywa się także w czworokątach. W równoległoboku sąsiednie kąty sumują się do \(180^\circ\), więc jeśli jeden ma miarę \(\alpha\), drugi ma \(180^\circ - \alpha\). Sinusy obu kątów są równe, a cosinusy różnią się znakiem. Dlatego pole równoległoboku policzysz z dowolnego z jego kątów, a długości przekątnych już nie.

Przekątne równoległoboku o bokach \(a\), \(b\) i kącie ostrym \(\alpha\) liczysz twierdzeniem cosinusów w dwóch trójkątach. Krótsza leży naprzeciw kąta ostrego, dłuższa naprzeciw kąta \(180^\circ - \alpha\):

$$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha, \qquad d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(180^\circ - \alpha) = a^2 + b^2 + 2ab\cos\alpha$$

Dla boków \(3\) i \(4\) i kąta \(60^\circ\) dostajesz \(d_1^2 = 9 + 16 - 24 \cdot \frac12 = 13\) oraz \(d_2^2 = 25 + 12 = 37\). Suma kwadratów przekątnych to \(50 = 2 \cdot (3^2 + 4^2)\), bo składniki z cosinusem się znoszą. To dobra kontrola rachunku w każdym zadaniu z przekątnymi. Pole i przekątne tych figur omawia też wpis o [polu rombu i równoległoboku](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne).

Podobnie działa czworokąt wpisany w okrąg: jego przeciwległe kąty sumują się do \(180^\circ\). Jeśli kąt przy wierzchołku \(A\) ma cosinus \(\frac13\), to kąt przy wierzchołku \(C\) ma cosinus \(-\frac13\), a sinusy obu kątów są równe \(\frac{2\sqrt2}{3}\). Twierdzenie cosinusów dla przekątnej \(BD\) zapisane w trójkątach \(ABD\) i \(CBD\) daje wtedy dwa równania, które różnią się tylko znakiem przy cosinusie. Ten układ jest typowym sposobem na wyznaczenie przekątnej, a cały mechanizm opisuje wpis o [czworokącie wpisanym w okrąg](/czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura).

## Cos 360° i kąty większe niż 180°

Na poziomie rozszerzonym kąt może być dowolną liczbą rzeczywistą, a ramię może obrócić się więcej niż o pół obrotu. Wtedy przydają się wzory z \(180^\circ + \alpha\):

$$\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos\alpha, \qquad \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin\alpha$$

Na okręgu punkt dla kąta \(180^\circ + \alpha\) jest odbiciem punktu dla \(\alpha\) względem początku układu: \((x, y)\) przechodzi w \((-x, -y)\). Obie współrzędne zmieniają znak. Na przykład:

$$\cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}$$

Pełny obrót wraca do punktu startowego \((1, 0)\), więc \(\cos 360^\circ = \cos 0^\circ = 1\). Ogólnie cosinus jest funkcją okresową o okresie \(360^\circ\), czyli \(2\pi\): \(\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos\alpha\). Dlatego \(\cos 540^\circ = \cos 180^\circ = -1\).

Z tego wynika też rozwiązanie równania \(\cos x = -1\) na rozszerzeniu: cosinus osiąga \(-1\) tylko w punkcie \((-1, 0)\), więc

$$x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Jak rozwiązywać takie równania ogólnie, pokazuje wpis o [metodach rozwiązywania równań trygonometrycznych](/jak-rozwiazac-rownanie-trygonometryczne-metody-matura).

## Skąd wzór redukcyjny: cosinus różnicy

Na rozszerzeniu wzory redukcyjne nie muszą być osobną rzeczą do zapamiętania. Wynikają ze wzoru na cosinus różnicy kątów, jeśli podstawisz do niego wartości dla \(180^\circ\):

$$\cos(180^\circ - \alpha) = \cos 180^\circ \cos\alpha + \sin 180^\circ \sin\alpha = (-1) \cdot \cos\alpha + 0 \cdot \sin\alpha = -\cos\alpha$$

Tak samo ze wzoru na sinus różnicy:

$$\sin(180^\circ - \alpha) = \sin 180^\circ \cos\alpha - \cos 180^\circ \sin\alpha = 0 - (-1) \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$$

Cała praca opiera się na dwóch liczbach: \(\cos 180^\circ = -1\) i \(\sin 180^\circ = 0\). Kto je zna, wyprowadzi wzór w trzy sekundy, nawet gdy w stresie zapomni, czy znak zmienia sinus, czy cosinus. Wzory na sinus i cosinus sumy oraz różnicy z przykładami zebraliśmy we wpisie o [wzorach na sinus i cosinus sumy kątów](/wzory-na-sinus-i-cosinus-sumy-i-roznicy-katow-matura-rozszerzona).

## Cos 180° na wykresie funkcji cosinus

Na wykresie funkcji \(y = \cos x\) wartość \(\cos\pi = -1\) to najniższy punkt pierwszej „doliny” wykresu. Funkcja startuje od \(1\) w \(x = 0\), schodzi przez \(0\) w \(x = \frac{\pi}{2}\), osiąga minimum \(-1\) w \(x = \pi\) i wraca do \(1\) w \(x = 2\pi\).

Z wykresu odczytasz trzy rzeczy, które przydają się na rozszerzeniu:

- [zbiór wartości cosinusa](/zbior-wartosci-funkcji-jak-wyznaczyc-matura#zbior-wartosci-funkcji-trygonometrycznej) to przedział \([-1, 1]\), więc \(-1\) to najmniejsza możliwa wartość i każde równanie \(\cos x = a\) z \(a < -1\) jest sprzeczne;
- na przedziale \([0, \pi]\) cosinus jest malejący, dlatego dla kątów od \(0^\circ\) do \(180^\circ\) większy kąt ma mniejszy cosinus;
- wykres jest symetryczny względem prostej \(x = \pi\), co jest graficzną wersją równości \(\cos(180^\circ - \alpha) = \cos(180^\circ + \alpha)\).

Ostatni punkt łatwo sprawdzić na liczbach: \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}\) i \(\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt3}{2}\). Oba kąty są oddalone od \(180^\circ\) o \(30^\circ\), więc leżą na wykresie na tej samej wysokości.

## Kąt 180° między wektorami

Cosinus kąta \(180^\circ\) pojawia się też w geometrii analitycznej na poziomie rozszerzonym. Kąt między dwoma wektorami liczysz z [iloczynu skalarnego](/jak-obliczyc-iloczyn-skalarny-wektorow-wzor-zadania#wzor-na-iloczyn-skalarny-dwie-postaci):

$$\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$$

Wektory przeciwnie skierowane, na przykład \(\vec u = [2, 1]\) i \(\vec v = [-4, -2]\), tworzą kąt \(180^\circ\). Sprawdź to rachunkiem: \(\vec u \cdot \vec v = 2 \cdot (-4) + 1 \cdot (-2) = -10\), \(|\vec u| = \sqrt5\), \(|\vec v| = \sqrt{20} = 2\sqrt5\). Wtedy

$$\cos\theta = \frac{-10}{\sqrt5 \cdot 2\sqrt5} = \frac{-10}{10} = -1$$

więc \(\theta = 180^\circ\). Wartość \(-1\) jest najmniejsza możliwa, dlatego iloczyn skalarny dwóch wektorów nigdy nie spada poniżej \(-|\vec u| \cdot |\vec v|\). Więcej przykładów ze współrzędnymi znajdziesz we wpisie o tym, [jak obliczyć kąt między wektorami i prostymi](/jak-obliczyc-kat-miedzy-wektorami-prostymi-matura).

## Co musisz umieć

- Odczytać \(\cos 180^\circ = -1\) i \(\sin 180^\circ = 0\) z punktu \((-1, 0)\) na okręgu jednostkowym.
- Zamienić \(180^\circ\) na \(\pi\) radianów i odwrotnie.
- Podać znak sinusa, cosinusa i tangensa kąta rozwartego bez liczenia.
- Zredukować cosinus kąta rozwartego wzorem \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\).
- Odczytać z tablicy przybliżone wartości, np. \(\cos 20^\circ \approx 0{,}9397\).
- Użyć \(\cos 120^\circ = -\frac12\) w twierdzeniu cosinusów.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Każde z tych zadań wymaga znaku albo redukcji funkcji kąta rozwartego. Zacznij od zamkniętych, a dwupunktowe zostaw na koniec, gdy redukcja wejdzie ci w nawyk. Przy każdym zadaniu zrób tę samą rutynę: zaznacz, w której ćwiartce leży kąt, zapisz znaki sinusa i cosinusa, a dopiero potem licz. Po kilku zadaniach ta kolejność stanie się odruchem i przestaniesz gubić minusy.

Następny krok: Losuj zadanie z działu Trygonometria (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Ile wynosi cos 180° w radianach?

\(\cos\pi = -1\). Kąt \(180^\circ\) to dokładnie \(\pi\) radianów, więc to ta sama liczba zapisana w innej jednostce kąta.

### Dlaczego cos 180° jest ujemny?

Bo punkt na okręgu jednostkowym dla kąta \(180^\circ\) to \((-1, 0)\), a cosinus to jego pierwsza współrzędna. Każdy kąt, którego ramię leży na lewo od osi \(Oy\), ma ujemny cosinus.

### Ile wynosi sin 180°?

\(\sin 180^\circ = 0\). Druga współrzędna punktu \((-1, 0)\) jest zerem, tak samo jak dla kąta \(0^\circ\).

### Jak obliczyć cos 170° wzorem redukcyjnym?

Zapisz \(170^\circ = 180^\circ - 10^\circ\) i użyj wzoru \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\). Wychodzi \(\cos 170^\circ = -\cos 10^\circ \approx -0{,}9848\), a wartość \(\cos 10^\circ\) bierzesz z tablicy.

### Ile wynosi cos 20 stopni?

\(\cos 20^\circ \approx 0{,}9397\). To nie jest kąt szczególny, więc wartość bierzesz z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych. Podobnie \(\cos 25^\circ \approx 0{,}9063\) i \(\cos 35^\circ \approx 0{,}8192\).