---
route: /cieciwa-okregu-dlugosc-odleglosc-od-srodka-kat-ze-styczna-zadania
title: Cięciwa okręgu - długość, odległość od środka, kąt ze styczną i zadania maturalne
description: Cięciwa okręgu: wzór na długość z promienia i odległości od środka, kąt między styczną a cięciwą, twierdzenie o cięciwach. 8 zadań CKE krok po kroku.
type: task_solution
category: Planimetria
tags: cięciwa okręgu, długość cięciwy wzór, odległość cięciwy od środka okręgu, kąt między styczną a cięciwą, twierdzenie o cięciwach, cięciwa i średnica okręgu, kąt wpisany i środkowy, planimetria matura, okrąg zadania maturalne, cięciwa okręgu zadania z rozwiązaniami
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-08-23T08:02:50.982+00:00
updated: 2026-10-05T12:48:17.133+00:00
---
# Cięciwa okręgu - długość, odległość od środka, kąt ze styczną i zadania maturalne
Cięciwa okręgu to odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu; najdłuższa cięciwa przechodzi przez środek i nazywa się średnicą. Trzy własności załatwiają niemal każde zadanie maturalne z cięciwą: prosta poprowadzona ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli ją na połowy, więc cięciwa w odległości \(d\) od środka okręgu o promieniu \(r\) ma długość \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\); kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (czyli połowie kąta środkowego); a gdy dwie cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P\), to \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\).

Cięciwa wraca w arkuszach CKE częściej, niż się wydaje. W naszej bazie 15 z 269 zadań z [planimetrii](/topics/planimetria) ma cięciwę w treści, w tym zadania z matur: maj 2016, sierpień 2021, maj 2022, sierpień 2022, dwa zadania z próbnej CKE z grudnia 2023 i jedno z próbnej CKE z marca 2026. Prawie wszystkie są za 1-2 punkty, czyli to punkty do wzięcia w kilka minut, jeśli znasz trzy własności z akapitu wyżej. Poniżej: teoria z dowodami na poziomie podstawowym, siedem przykładów z prawdziwych arkuszy i pułapki.

## Co to jest cięciwa okręgu i czym różni się od średnicy, łuku i siecznej

Cięciwa to odcinek o obu końcach na okręgu. Średnica to szczególna cięciwa przechodząca przez środek, o długości \(2r\). Łuk to fragment samego okręgu między końcami cięciwy (krzywa, nie odcinek). Sieczna to cała prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach, a cięciwa jest jej fragmentem "w środku" okręgu.

Każda cięciwa wyznacza dwa łuki: krótszy i dłuższy. Kąt środkowy oparty na krótszym łuku ma mniej niż \(180^\circ\), a kąt wpisany oparty na tym łuku ma połowę tej miary. Dokładnie z tej zależności korzystają zadania o kątach w okręgu; jeśli potrzebujesz jej odświeżenia, przeczytaj najpierw poradnik o [kącie wpisanym i środkowym](/jak-obliczyc-kat-wpisany-srodkowy-okrag-twierdzenie-zadania), bo tutaj traktujemy ją jako narzędzie.

## Własność 1: odległość cięciwy od środka i wzór na jej długość

Odcinek łączący środek okręgu \(S\) ze środkiem cięciwy \(M\) jest prostopadły do cięciwy, a trójkąt \(SMA\) jest prostokątny z przeciwprostokątną \(r\). Z twierdzenia Pitagorasa \(\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2\), skąd długość cięciwy to \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\), a jej odległość od środka to \(d=\sqrt{r^2-\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2}\).

Dlaczego \(SM\) dzieli cięciwę na połowy: trójkąt \(SAB\) jest równoramienny (\(|SA|=|SB|=r\)), a w trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową. To cała teoria. Dwa wnioski, które często ratują zadanie:

- Cięciwy równej długości leżą w równej odległości od środka (i odwrotnie).
- Im cięciwa bliżej środka, tym dłuższa; w odległości \(d=0\) staje się średnicą o długości \(2r\).

Jeśli zamiast odległości znasz kąt środkowy \(\alpha\) oparty na cięciwie, to z połówkowego trójkąta prostokątnego \(SMA\) (kąt przy \(S\) równy \(\frac{\alpha}{2}\)) dostajesz:

$$|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}, \qquad d=r\cos\frac{\alpha}{2}$$

Na przykład cięciwa oparta na kącie środkowym \(60^\circ\) ma długość \(2r\sin 30^\circ=r\) (trójkąt \(SAB\) jest wtedy równoboczny), a oparta na kącie \(90^\circ\) ma długość \(2r\sin 45^\circ=r\sqrt{2}\). Definicje i wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów masz w poradniku o [sinusie, cosinusie i tangensie](/sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci).

### Przykład 1: długość cięciwy z promienia i odległości

W okręgu o promieniu \(13\) poprowadzono cięciwę w odległości \(5\) od środka. Oblicz jej długość.

**Krok 1: zapisz trójkąt prostokątny**

Połowa cięciwy, odległość \(d=5\) i promień \(r=13\) tworzą trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną \(13\).

**Krok 2: zastosuj twierdzenie Pitagorasa**

$$\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2=13^2-5^2=169-25=144 \quad\Rightarrow\quad \frac{|AB|}{2}=12$$

**Krok 3: podaj długość całej cięciwy**

$$|AB|=24$$

Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na \(12\). Pitagoras daje połowę cięciwy, nie całą. W drugą stronę liczy się tak samo: cięciwa o długości \(16\) w okręgu o promieniu \(10\) leży w odległości \(d=\sqrt{100-64}=6\) od środka. Inne zastosowania tego trójkąta znajdziesz w poradniku o [twierdzeniu Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania).

### Przykład 2: odległość cięciwy od środka z kąta (Matura maj 2016, zadanie 13)

W okręgu o środku \(S\) poprowadzono cięciwę \(AB\), która tworzy z promieniem \(AS\) kąt \(31^\circ\). Promień ma długość \(10\). Odległość punktu \(S\) od cięciwy \(AB\) jest liczbą z przedziału: A. \(\langle\frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle\), B. \((\frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle\), C. \((\frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle\), D. \((\frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle\).

**Krok 1: znajdź trójkąt prostokątny**

Niech \(M\) będzie spodkiem prostopadłej z \(S\) na \(AB\). W trójkącie \(SMA\) kąt przy \(M\) jest prosty, przeciwprostokątna \(|SA|=10\), a szukana odległość to przyprostokątna \(|SM|\) leżąca naprzeciw kąta \(31^\circ\).

**Krok 2: użyj sinusa**

$$\sin 31^\circ=\frac{|SM|}{|SA|} \quad\Rightarrow\quad |SM|=10\cdot\sin 31^\circ\approx 10\cdot 0{,}5150=5{,}15$$

**Krok 3: dopasuj przedział**

\(5{,}15\in\langle 4{,}5;\,5{,}5\rangle\), czyli odpowiedź A. Wartość \(\sin 31^\circ\) odczytujesz z tablic trygonometrycznych w karcie wzorów CKE. Pułapka: gdyby kąt \(31^\circ\) był kątem przy \(S\) (między promieniem a prostopadłą), użyłbyś cosinusa. Zawsze sprawdź, naprzeciw którego kąta leży szukany bok. Pełny arkusz: [matura maj 2016](/exams/matura-maj-2016).

### Przykład 3: cięciwa i średnica w jednym trójkącie (zbiór CKE 2015-2023 PP, zadanie 70)

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Cięciwa \(AC\) ma długość \(r\sqrt{3}\). Które zdanie jest prawdziwe: A. \(|\sphericalangle AOC|=130^\circ\), B. \(|\sphericalangle ABC|=90^\circ\), C. \(|\sphericalangle BOC|=60^\circ\), D. \(|\sphericalangle BAC|=45^\circ\)?

**Krok 1: wykorzystaj średnicę**

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ\) (to kąt przy \(C\), nie przy \(B\), więc odpowiedź B odpada).

**Krok 2: oblicz drugą cięciwę z Pitagorasa**

$$|BC|^2=|AB|^2-|AC|^2=(2r)^2-(r\sqrt{3})^2=4r^2-3r^2=r^2 \quad\Rightarrow\quad |BC|=r$$

**Krok 3: rozpoznaj trójkąt równoboczny**

W trójkącie \(BOC\) wszystkie boki mają długość \(r\) (\(|OB|=|OC|=r\) jako promienie, \(|BC|=r\) z Kroku 2), więc \(|\sphericalangle BOC|=60^\circ\). Odpowiedź C.

Kontrola drugą metodą: z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(AOC\) o bokach \(r\), \(r\), \(r\sqrt{3}\) dostajesz \(\cos\sphericalangle AOC=\frac{r^2+r^2-3r^2}{2r^2}=-\frac{1}{2}\), czyli \(120^\circ\), a kąt przyległy \(BOC\) ma \(60^\circ\). Zadanie możesz rozwiązać w aplikacji: [zadanie 70 ze zbioru CKE 2015-2023](/task/cke-2015-2023-pp-70). Kiedy sięgać po cosinusy, a kiedy po Pitagorasa, opisujemy w poradniku o [twierdzeniu sinusów i cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

## Własność 2: kąt między styczną a cięciwą

Kąt między styczną do okręgu w punkcie \(A\) a cięciwą \(AB\) jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku \(AB\) leżącym wewnątrz tego kąta, czyli połowie kąta środkowego \(ASB\) opartego na tym łuku. W praktyce: jeśli kąt środkowy ma \(100^\circ\), kąt między styczną a cięciwą ma \(50^\circ\).

Dowód na poziomie podstawowym mieści się w trzech linijkach. Trójkąt \(SAB\) jest równoramienny, więc jeśli kąt środkowy \(|\sphericalangle ASB|=\beta\), to kąty przy podstawie mają po \(\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2}\). Styczna jest prostopadła do promienia \(SA\), więc kąt między styczną a cięciwą to \(90^\circ-\left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\beta}{2}\). To zarazem miara kąta wpisanego opartego na łuku \(AB\). Warunek prostopadłości stycznej do promienia w wersji analitycznej (odległość środka od prostej równa \(r\)) opisaliśmy w poradniku o [równaniu stycznej do okręgu](/jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania).

### Przykład 4: kąt środkowy dany, kąt ze styczną szukany (Matura sierpień 2022, zadanie 19)

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt \(\alpha\). Wtedy: A. \(40^\circ\), B. \(45^\circ\), C. \(50^\circ\), D. \(60^\circ\).

**Krok 1: kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego**

$$|\sphericalangle SAB|=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$$

**Krok 2: prostopadłość stycznej do promienia**

$$\alpha=90^\circ-40^\circ=50^\circ$$

Odpowiedź C. Skrót z twierdzenia: \(\alpha=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ\). Na maturze warto znać obie drogi: skrót daje odpowiedź w pięć sekund, a rozpisanie trójkąta ratuje, gdy zapomnisz twierdzenia. Treść z rysunkiem: [matura sierpień 2022](/exams/matura-sierpien-2022).

### Przykład 5: kąt ze styczną dany, kąt środkowy szukany (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 22)

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu o środku \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt \(32^\circ\). Odcinek \(AC\) jest średnicą. Oblicz miarę kąta rozwartego \(BOC\).

**Krok 1: kąt między promieniem a cięciwą**

Styczna jest prostopadła do promienia \(OA\), więc:

$$|\sphericalangle OAB|=90^\circ-32^\circ=58^\circ$$

**Krok 2: kąt środkowy AOB z trójkąta równoramiennego**

Trójkąt \(OAB\) ma \(|OA|=|OB|=r\), więc kąty przy podstawie \(AB\) są równe \(58^\circ\):

$$|\sphericalangle AOB|=180^\circ-2\cdot 58^\circ=64^\circ$$

**Krok 3: kąt przyległy wzdłuż średnicy**

Punkty \(A\), \(O\), \(C\) leżą na jednej prostej, więc kąty \(AOB\) i \(BOC\) są przyległe:

$$|\sphericalangle BOC|=180^\circ-64^\circ=116^\circ$$

Kontrola twierdzeniem: kąt między styczną a cięciwą \(AB\) to \(32^\circ\), więc kąt środkowy \(AOB\) ma \(64^\circ\) i znów \(|\sphericalangle BOC|=116^\circ\). Ten i inne sposoby przechodzenia między kątami w okręgu zebraliśmy w poradniku o [kątach w figurach](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

## Własność 3: przecinające się cięciwy, czyli twierdzenie o cięciwach

Jeżeli cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P\) wewnątrz okręgu, to iloczyny odcinków każdej z nich są równe: \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\). Mnożysz dwa kawałki tej samej cięciwy, nie "na krzyż" między cięciwami.

Skąd to się bierze: trójkąty \(APC\) i \(DPB\) są podobne. Kąty \(APC\) i \(DPB\) są wierzchołkowe, a kąty \(CAB\) i \(CDB\) to kąty wpisane oparte na tym samym łuku \(CB\), więc równe. Z podobieństwa \(\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}\), co po wymnożeniu daje tezę. Cechy podobieństwa i zapis proporcji powtórzysz w poradniku o [trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). W zadaniu otwartym nie powołuj się na ten wzór jak na gotowe twierdzenie z karty wzorów, tylko zapisz podobieństwo trójkątów: dokładnie tak wygląda modelowe rozwiązanie CKE w przykładzie niżej.

### Przykład 6: promień z odcinków cięciw (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 24)

Średnica \(AB\) okręgu o środku \(S\) przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\). Dane: \(|PB|=4\), \(|PC|=8\), \(|PD|=5\). Oblicz promień okręgu.

**Krok 1: uzasadnij podobieństwo trójkątów**

Kąty \(APC\) i \(DPB\) są wierzchołkowe. Kąty \(CAB\) i \(CDB\) są wpisane i oparte na tym samym łuku \(CB\), więc mają równe miary. Trójkąty \(APC\) i \(DPB\) są podobne (cecha kąt-kąt).

**Krok 2: zapisz proporcję i oblicz |PA|**

$$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|} \quad\Rightarrow\quad \frac{|PA|}{5}=\frac{8}{4} \quad\Rightarrow\quad |PA|=10$$

To samo daje wzór: \(|PA|\cdot 4=8\cdot 5\), czyli \(|PA|=10\).

**Krok 3: średnica i promień**

$$|AB|=|PA|+|PB|=10+4=14 \quad\Rightarrow\quad r=7$$

Zadanie za 2 punkty: jeden za podobieństwo (albo poprawne użycie wzoru z uzasadnieniem), drugi za wynik. Całość w [próbnej CKE z grudnia 2023](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2023).

### Przykład 7: kąty przy przecięciu cięciw (Matura sierpień 2021, zadanie 19)

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu. Cięciwy \(DB\) i \(AC\) przecinają się w punkcie \(E\). Wiadomo, że \(|\sphericalangle ACB|=55^\circ\) oraz \(|\sphericalangle AEB|=140^\circ\). Oblicz miarę kąta \(DAC\).

**Krok 1: kąt przyległy w punkcie przecięcia**

$$|\sphericalangle CEB|=180^\circ-140^\circ=40^\circ$$

**Krok 2: trzeci kąt trójkąta CEB**

$$|\sphericalangle EBC|=180^\circ-40^\circ-55^\circ=85^\circ$$

Punkt \(E\) leży na cięciwie \(DB\), więc \(|\sphericalangle DBC|=85^\circ\).

**Krok 3: kąty wpisane oparte na tym samym łuku**

Kąty \(DAC\) i \(DBC\) są wpisane i oparte na łuku \(DC\), więc \(|\sphericalangle DAC|=85^\circ\). Odpowiedź D.

Ten sam schemat (kąt przyległy, suma kątów w trójkącie, równe kąty wpisane) rozwiązuje zadanie 17 z maja 2022, gdzie cięciwa \(AC\) przecina średnicę z punktu \(B\): kąt środkowy \(BSC=\alpha\) daje kąt wpisany \(BAC=\frac{\alpha}{2}\), a z trójkąta \(ABD\) wychodzi \(|\sphericalangle ABD|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma\). Spróbuj samodzielnie: [zadanie 17 z maja 2022](/task/matura-maj-2022-17), a potem [zadanie 20 z próbnej CKE marzec 2026](/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-23), które jest jego bliźniakiem z konkretnymi liczbami.

## Cięciwa w układzie współrzędnych

Gdy prosta przecina okrąg o równaniu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), długość odciętej cięciwy liczysz bez szukania punktów przecięcia: obliczasz odległość \(d\) środka \((a,b)\) od prostej i podstawiasz do \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\). To ta sama Własność 1, tylko odległość bierzesz ze wzoru na odległość punktu od prostej.

### Przykład 8: długość cięciwy odciętej przez prostą

Oblicz długość cięciwy, którą prosta \(y=3\) odcina z okręgu \(x^2+y^2=25\).

**Krok 1: odczytaj środek i promień**

Środek \((0,0)\), promień \(r=5\). Jak czytać te dane z równania ogólnego, pokazujemy w poradniku o [równaniu okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania).

**Krok 2: odległość środka od prostej**

Prosta \(y=3\) jest pozioma, więc \(d=3\). Dla prostej ukośnej użyj wzoru z poradnika o [odległości punktu od prostej](/odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania).

**Krok 3: długość cięciwy**

$$|AB|=2\sqrt{25-9}=2\cdot 4=8$$

Kontrola: podstawiając \(y=3\) do równania okręgu, dostajesz \(x^2=16\), czyli końce cięciwy \((-4,3)\) i \((4,3)\), odległe o \(8\). Zgadza się.

## Typowe pułapki w zadaniach z cięciwą

- **Połowa zamiast całości.** Z trójkąta \(SMA\) wychodzi połowa cięciwy. Pomnóż przez \(2\), zanim zapiszesz odpowiedź.
- **Sinus czy cosinus.** Szukany odcinek leży naprzeciw kąta: sinus. Przy kącie: cosinus. W zadaniu z maja 2016 kąt \(31^\circ\) był przy \(A\), a odległość \(|SM|\) leżała naprzeciw niego, stąd sinus.
- **Styczna i promień.** Kąt między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności ma zawsze \(90^\circ\). Bez tego faktu nie policzysz żadnego kąta ze styczną.
- **Kąt ze styczną a kąt środkowy.** Kąt między styczną a cięciwą to połowa kąta środkowego, nie cały kąt środkowy i nie jego dopełnienie do \(180^\circ\).
- **Mnożenie "na krzyż" w twierdzeniu o cięciwach.** Poprawnie: \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\), czyli dwa odcinki tej samej cięciwy po każdej stronie równości.
- **Cięciwa a łuk.** Długość łuku liczysz z proporcji kąta środkowego do \(360^\circ\) i obwodu \(2\pi r\), nie z Pitagorasa. Różnicę między nimi wyjaśnia poradnik o [długości łuku i polu wycinka](/jak-obliczyc-pole-wycinka-kola-dlugosc-luku-wzor-zadania).
- **Kąt wpisany oparty na "złym" łuku.** Kąty wpisane są równe tylko wtedy, gdy opierają się na tym samym łuku. Przed napisaniem równości nazwij łuk, na którym leżą oba kąty.
- **Założenie, że punkt przecięcia to środek.** Średnica przecinająca cięciwę dzieli ją na połowy tylko wtedy, gdy jest do niej prostopadła. W Przykładzie 6 \(|PC|=8\) i \(|PD|=5\), więc \(P\) nie był środkiem cięciwy.

## Checklista: co musisz umieć

- Powiedzieć, czym cięciwa różni się od średnicy, łuku i siecznej.
- Narysować trójkąt prostokątny \(SMA\) (środek, środek cięciwy, koniec cięciwy) i zapisać \(\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2\).
- Obliczyć długość cięciwy z promienia i odległości od środka, i odwrotnie.
- Obliczyć długość cięciwy z kąta środkowego: \(|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}\).
- Zastosować prostopadłość stycznej do promienia i twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą.
- Uzasadnić podobieństwo trójkątów przy przecinających się cięciwach i zapisać \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\).
- Przejść od kąta środkowego do wpisanego i z powrotem, wskazując łuk, na którym się opierają.
- W układzie współrzędnych policzyć cięciwę z odległości środka okręgu od prostej.

Więcej zadań z okręgiem, w tym z promieniem okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie, znajdziesz w poradniku o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania), a pełną listę zadań CKE z tego działu w [bazie zadań z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami).

## Najczęstsze pytania

### Co to jest cięciwa okręgu?
Cięciwa okręgu to odcinek, którego oba końce leżą na okręgu. Każda cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki, a prosta przechodząca przez środek okręgu i prostopadła do cięciwy dzieli ją na dwie równe części.

### Czy średnica jest cięciwą?
Tak, średnica to najdłuższa cięciwa okręgu: przechodzi przez środek i ma długość \(2r\). Każda inna cięciwa jest krótsza od średnicy, a im dalej od środka leży, tym jest krótsza.

### Jak obliczyć długość cięciwy, znając promień i odległość od środka?
Ze wzoru \(|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}\), który wynika z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie o bokach: połowa cięciwy, odległość \(d\) i promień \(r\). Na przykład dla \(r=13\) i \(d=5\) cięciwa ma długość \(2\sqrt{169-25}=24\).

### Jak obliczyć odległość cięciwy od środka okręgu?
Z tego samego trójkąta prostokątnego: \(d=\sqrt{r^2-\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2}\). Jeśli zamiast długości cięciwy znasz kąt \(\varphi\) między cięciwą a promieniem poprowadzonym do jej końca, to \(d=r\cdot\sin\varphi\), jak w zadaniu z matury z maja 2016.

### Jak obliczyć długość cięciwy z kąta środkowego?
Jeśli cięciwa \(AB\) jest oparta na kącie środkowym \(\alpha\), to \(|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}\). Dla \(\alpha=60^\circ\) cięciwa ma długość \(r\), dla \(\alpha=90^\circ\) długość \(r\sqrt{2}\), a dla \(\alpha=120^\circ\) długość \(r\sqrt{3}\).

### Ile wynosi kąt między styczną a cięciwą?
Kąt między styczną w punkcie \(A\) a cięciwą \(AB\) jest równy połowie kąta środkowego opartego na łuku \(AB\) leżącym wewnątrz tego kąta, czyli tyle samo co kąt wpisany oparty na tym łuku. Wynika to z tego, że styczna jest prostopadła do promienia, a trójkąt złożony z dwóch promieni i cięciwy jest równoramienny.

### Co mówi twierdzenie o cięciwach?
Jeśli cięciwy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(P\), to \(|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|\). Uzasadnia się je podobieństwem trójkątów \(APC\) i \(DPB\), które mają równe kąty wierzchołkowe i równe kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

Cięciwa to relacja prostej z jednym okręgiem - a na maturze pojawia się też relacja dwóch okręgów między sobą. Kiedy są styczne, a kiedy się przecinają, tłumaczymy w poradniku [wzajemne położenie dwóch okręgów](/wzajemne-polozenie-dwoch-okregow-matura-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)