--- route: /ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte title: Ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność i zadania otwarte z pełnymi rozwiązaniami description: Sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych, monotoniczność i zadania otwarte za 4-5 punktów z pełnymi rozwiązaniami. Wzory i schematy na maturę. type: topic_guide category: Ciągi tags: ciągi, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, suma ciągu, monotoniczność, matura matematyka, wzór na n-ty wyraz, zadania otwarte, ciągi zadania, matura 2027 author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-04-10T07:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00 --- # Ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność i zadania otwarte z pełnymi rozwiązaniami ## Ciągi na maturze - co musisz umieć na egzaminie Na maturze z matematyki ciągi pojawiają się **zawsze** - minimum 2 zadania, w tym przynajmniej jedno otwarte za 4-5 punktów. Podstawy (wzór na n-ty wyraz, różnica, iloraz) znajdziesz w [podstawowym przewodniku po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-i-geometryczne-na-maturze-wzory-zadania). Ten artykuł idzie dalej - skupiamy się na **sumach ciągów, monotoniczności i zadaniach otwartych**, bo tam leżą punkty na maturze. --- ## Suma ciągu arytmetycznego ### Wzór podstawowy Suma \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego: $$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$ Alternatywna postać (gdy nie znasz \(a_n\)): $$S_n = \frac{2a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n$$ gdzie \(r\) to różnica ciągu. ### Kiedy który wzór? - Znasz \(a_1\) i \(a_n\) - użyj pierwszego - Znasz \(a_1\) i \(r\) - użyj drugiego - Znasz tylko \(S_n\) i musisz znaleźć wyraz - przekształcaj: \(a_n = S_n - S_{n-1}\) dla \(n \geq 2\) ### Zadanie 1 - typowe maturalne **Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym \(a_1 = 3\) i \(r = 4\). Oblicz sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.** Najpierw obliczamy \(a_{20}\): $$a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$$ Teraz suma: $$S_{20} = \frac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = \frac{82 \cdot 20}{2} = \frac{1640}{2} = 820$$ ### Zadanie 2 - suma z warunkiem **Suma pięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 35, a suma dziesięciu pierwszych wyrazów wynosi 120. Znajdź \(a_1\) i \(r\).** Z wzoru na sumę tworzymy układ równań: $$S_5 = \frac{2a_1 + 4r}{2} \cdot 5 = 5a_1 + 10r = 35$$ $$S_{10} = \frac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = 10a_1 + 45r = 120$$ Z pierwszego równania: \(a_1 + 2r = 7\), czyli \(a_1 = 7 - 2r\). Podstawiamy do drugiego: $$10(7 - 2r) + 45r = 120$$ $$70 - 20r + 45r = 120$$ $$25r = 50$$ $$r = 2$$ Więc \(a_1 = 7 - 4 = 3\). **Sprawdzenie:** \(S_5 = \frac{(3 + 11) \cdot 5}{2} = 35\) ✓, \(S_{10} = \frac{(3 + 21) \cdot 10}{2} = 120\) ✓ Więcej o [układach równań na maturze](/uklady-rownan-na-maturze-metody-rozwiazywania-z-przykladami). --- ## Suma ciągu geometrycznego ### Wzór Suma \(n\) pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (\(q \neq 1\)): $$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$ Jeśli \(q = 1\), to \(S_n = n \cdot a_1\) (każdy wyraz jest taki sam). ### Suma nieskończonego ciągu geometrycznego Jeśli \(|q| 0\) - ciąg jest **rosnący** - \(r 0\) | \(a_1 1\): rosnący | \(q > 1\): malejący | | \(0 0\), więc ciąg jest rosnący. ✓ Ale pytanie brzmi "dla jakich \(m\)" - tu jest tylko jedno \(m = 3\), bo warunek bycia ciągiem arytmetycznym wyznacza \(m\) jednoznacznie. Ciąg jest rosnący dla \(m = 3\). --- ## Zadania otwarte - poziom maturalny ### Zadanie 5 (4 pkt) **W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3 = 10\) i \(a_7 = 26\). Wyznacz \(a_1\), \(r\) oraz \(S_{15}\).** Z wzoru na n-ty wyraz: $$a_3 = a_1 + 2r = 10$$ $$a_7 = a_1 + 6r = 26$$ Odejmujemy stronami: $$4r = 16, \quad r = 4$$ Więc \(a_1 = 10 - 8 = 2\). Suma 15 wyrazów: $$a_{15} = 2 + 14 \cdot 4 = 58$$ $$S_{15} = \frac{(2 + 58) \cdot 15}{2} = \frac{60 \cdot 15}{2} = 450$$ ### Zadanie 6 (5 pkt) **Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi 4, a trzeci wyraz wynosi 1. Wyznacz iloraz ciągu (wiemy, że jest dodatni) i oblicz sumę pierwszych sześciu wyrazów.** $$a_1 = 4, \quad a_3 = a_1 \cdot q^2 = 4q^2 = 1$$ $$q^2 = \frac{1}{4}, \quad q = \frac{1}{2} \quad (\text{bo } q > 0)$$ $$S_6 = 4 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^6}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{63}{32} = \frac{252}{32} = \frac{63}{8} = 7\frac{7}{8}$$ ### Zadanie 7 (5 pkt) **Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 21, a suma ich kwadratów wynosi 155. Znajdź te trzy wyrazy.** Oznaczmy wyrazy jako \(a-r, a, a+r\) (klasyczna sztuczka na ciągi arytmetyczne). Z sumy: $$(a-r) + a + (a+r) = 3a = 21, \quad a = 7$$ Z sumy kwadratów: $$(7-r)^2 + 49 + (7+r)^2 = 155$$ $$49 - 14r + r^2 + 49 + 49 + 14r + r^2 = 155$$ $$147 + 2r^2 = 155$$ $$2r^2 = 8, \quad r^2 = 4, \quad r = \pm 2$$ Trzy wyrazy to: **5, 7, 9** lub **9, 7, 5** (oba rozwiązania są poprawne). ### Zadanie 8 (5 pkt) **Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny. Wiadomo, że \(S_6 = 54\) i \(S_{12} = 216\). Oblicz \(S_{18}\).** $$S_6 = \frac{2a_1 + 5r}{2} \cdot 6 = 6a_1 + 15r = 54$$ $$S_{12} = \frac{2a_1 + 11r}{2} \cdot 12 = 12a_1 + 66r = 216$$ Z pierwszego: \(2a_1 + 5r = 18\). Z drugiego: \(2a_1 + 11r = 36\). Odejmujemy: \(6r = 18\), \(r = 3\), \(a_1 = \frac{18 - 15}{2} = \frac{3}{2}\). $$S_{18} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 17 \cdot 3}{2} \cdot 18 = \frac{3 + 51}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$$ **Sprytna metoda:** W ciągu arytmetycznym zachodzi ciekawa własność - sumy bloków po 6 wyrazów tworzą ciąg arytmetyczny. \(S_6 = 54\), \(S_{12} - S_6 = 162\), więc \(S_{18} - S_{12} = 162 + (162 - 54) = 270\). Stąd \(S_{18} = 216 + 270 = 486\). --- ## Typowe pułapki na maturze 1. **Ciąg geometryczny z ujemnym ilorazem** - pamiętaj, że \(q^2 = 4\) daje \(q = 2\) lub \(q = -2\). Sprawdź w treści, czy iloraz ma być dodatni. 2. **\(a_n = S_n - S_{n-1}\) tylko dla \(n \geq 2\)** - pierwszy wyraz to \(a_1 = S_1\). Jeśli zapomnisz, dostaniesz błędny wynik. 3. **Mylenie sumy ciągu z n-tym wyrazem** - CKE lubi pytać "wyznacz wyraz \(a_n\)", a uczniowie obliczają sumę. Czytaj treść uważnie. 4. **Iloraz ciągu geometrycznego \(q = 0\)** - nie istnieje ciąg geometryczny z ilorazem 0. Jeśli \(q = 0\) wychodzi w obliczeniach, coś poszło źle. --- ## Co dalej? - Ćwicz zadania z ciągami na [Sprawnej Maturze](/topics/ciagi) - mamy 87 zadań maturalnych - Powtórz [wzory na maturę](/wzory-na-mature-z-matematyki-kompletna-lista) - sekcja o ciągach - Przejrzyj rozwiązania arkuszy maturalnych, np. [matura maj 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania) i [matura próbna luty 2026](/matura-probna-luty-2026-matematyka-rozwiazania) Ciągi to **gwarantowane punkty** na maturze, jeśli opanujesz wzory i przećwiczysz zadania otwarte. Powodzenia! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)