--- route: /ciag-rekurencyjny-matura-wzor-ogolny-jak-obliczyc-wyrazy title: Ciąg rekurencyjny - jak obliczyć wyrazy i wyznaczyć wzór ogólny (matura) description: Jak obliczyć wyrazy ciągu rekurencyjnego i wyznaczyć wzór ogólny. Rozpoznawanie ciągu arytmetycznego i geometrycznego, 6 rozwiązanych przykładów na maturę. type: task_solution category: Ciągi tags: ciąg rekurencyjny, wzór rekurencyjny ciągu, jak wyznaczyć wzór ogólny ciągu rekurencyjnego, ciąg dany rekurencyjnie matura, jak obliczyć wyrazy ciągu rekurencyjnego, wzór rekurencyjny a ogólny, ciąg arytmetyczny rekurencyjnie, ciąg geometryczny rekurencyjnie, ciągi matura, jak udowodnić że ciąg jest arytmetyczny published: 2026-06-16T08:32:14.701+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:29.093596+00:00 --- # Ciąg rekurencyjny - jak obliczyć wyrazy i wyznaczyć wzór ogólny (matura) "Ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym" - i już połowa sali ma stres. Niepotrzebnie. Wzór rekurencyjny to nic strasznego: to po prostu przepis, który mówi ci, jak z jednego wyrazu policzyć następny. Zamiast podawać gotowy wzór na \(n\)-ty wyraz, zadanie daje ci punkt startowy i regułę przejścia. Twoja robota to albo policzyć kilka pierwszych wyrazów, albo rozpoznać, że to ukryty ciąg arytmetyczny lub geometryczny, i wypisać wzór ogólny. W tym wpisie pokażę ci jak robić jedno i drugie. To temat z działu [ciągi](/topics/ciagi), więc świetnie łączy się z naszym przewodnikiem [ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). Konkurencja prawie nie ma porządnych materiałów o rekurencji - najwyżej jedno wideo albo wątek na forum - więc jeśli to ogarniesz, będziesz mieć przewagę na maturze. ## Co to jest wzór rekurencyjny Wzór rekurencyjny ciągu składa się z dwóch części. Pierwsza to wyraz początkowy, najczęściej \(a_1\) (czasem podane są dwa pierwsze wyrazy). Druga to reguła, która mówi, jak policzyć kolejny wyraz na podstawie poprzedniego - zwykle w postaci \(a_{n+1} = \text{coś z } a_n\). Klasyczny przykład: $$a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = a_n + 4$$ Czytasz to tak: pierwszy wyraz wynosi 3, a każdy następny powstaje przez dodanie 4 do poprzedniego. To wszystko. Mając te dwie informacje, możesz odtworzyć cały ciąg, wyraz po wyrazie. Różnica między wzorem rekurencyjnym a wzorem ogólnym jest taka: wzór ogólny \(a_n = 4n - 1\) pozwala policzyć od razu np. setny wyraz, podstawiając \(n = 100\). Wzór rekurencyjny wymaga, żeby najpierw znać poprzedni wyraz. Dlatego często celem zadania jest zamiana rekurencji na wzór ogólny - i o tym powiemy za chwilę. ## Jak policzyć kolejne wyrazy ciągu rekurencyjnego Najprostszy typ zadania: "oblicz cztery pierwsze wyrazy". Robisz to mechanicznie, podstawiając kolejno \(n = 1, 2, 3, \dots\) do reguły. ### Przykład 1 Dany ciąg: \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = a_n + 4\). Oblicz \(a_2, a_3, a_4\). $$a_2 = a_1 + 4 = 3 + 4 = 7$$ $$a_3 = a_2 + 4 = 7 + 4 = 11$$ $$a_4 = a_3 + 4 = 11 + 4 = 15$$ Czyli kolejne wyrazy to \(3, 7, 11, 15, \dots\). Zauważ, że za każdym razem dodajemy stałą liczbę 4 - to znak, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Wrócimy do tego w następnej sekcji. Uważaj tylko na indeksy: \(a_{n+1} = a_n + 4\) oznacza, że żeby policzyć \(a_2\), bierzesz \(n = 1\), więc \(a_{1+1} = a_1 + 4\). Najczęstszy błąd to liczenie o jeden wyraz za dużo albo za mało. ### Przykład 2 Dany ciąg: \(b_1 = 2\), \(b_{n+1} = 3 b_n\). Oblicz cztery pierwsze wyrazy. $$b_2 = 3 \cdot 2 = 6, \quad b_3 = 3 \cdot 6 = 18, \quad b_4 = 3 \cdot 18 = 54$$ Wyrazy to \(2, 6, 18, 54, \dots\). Tym razem każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę 3 - to znak ciągu geometrycznego. ## Jak rozpoznać ukryty ciąg arytmetyczny lub geometryczny To klucz do większości zadań maturalnych z rekurencji. Spójrz na regułę przejścia i zadaj sobie pytanie: Jeśli reguła ma postać \(a_{n+1} = a_n + r\), gdzie \(r\) to stała liczba (dodatnia lub ujemna), to ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r\). Wzór ogólny: $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$ Jeśli reguła ma postać \(a_{n+1} = q \cdot a_n\), gdzie \(q\) to stała liczba różna od zera, to ciąg jest geometryczny o ilorazie \(q\). Wzór ogólny: $$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$$ Te dwa wzory ogólne znajdziesz w karcie wzorów, ale musisz wiedzieć, kiedy je zastosować. Jeśli chcesz odświeżyć podstawy, mamy osobne wpisy [jak obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania) oraz [ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania). ### Przykład 3 Ciąg dany rekurencyjnie: \(a_1 = 3\), \(a_{n+1} = a_n + 4\) (ten sam, co w przykładzie 1). Wyznacz wzór ogólny. Reguła to dodawanie stałej 4, więc ciąg jest arytmetyczny: \(a_1 = 3\), \(r = 4\). Podstawiamy do wzoru: $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$$ Wzór ogólny to \(a_n = 4n - 1\). Sprawdzenie: \(a_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 3\) (zgadza się), \(a_4 = 4 \cdot 4 - 1 = 15\) (też zgadza się z przykładem 1). Mając teraz wzór ogólny, policzysz dowolny wyraz bez liczenia wszystkich poprzednich. ### Przykład 4 Ciąg: \(c_1 = 5\), \(c_{n+1} = c_n - 3\). Wyznacz wzór ogólny i oblicz \(c_{10}\). Tu odejmujemy stałą 3, czyli różnica jest ujemna: \(r = -3\), \(c_1 = 5\). Wzór ogólny: $$c_n = 5 + (n - 1) \cdot (-3) = 5 - 3n + 3 = 8 - 3n$$ Stąd \(c_{10} = 8 - 3 \cdot 10 = 8 - 30 = -22\). Gdybyśmy liczyli rekurencyjnie, musielibyśmy wypisać dziesięć wyrazów - wzór ogólny załatwia to jednym podstawieniem. To pokazuje, po co w ogóle zamieniamy rekurencję na wzór ogólny. ## Gdy reguła nie daje stałej różnicy - metoda teleskopowa Czasem reguła ma postać \(a_{n+1} = a_n + f(n)\), gdzie do poprzedniego wyrazu dodajemy coś, co zależy od \(n\) - na przykład \(a_{n+1} = a_n + 2n\). Wtedy ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny, ale wzór ogólny i tak da się wyznaczyć, sumując wszystkie przyrosty. To technika trochę trudniejsza, raczej na rozszerzeniu, ale warto ją zobaczyć. ### Przykład 5 Ciąg: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 2n\). Oblicz \(a_2, a_3, a_4\) i wyznacz wzór ogólny. Najpierw wyrazy: $$a_2 = a_1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$$ $$a_3 = a_2 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$$ $$a_4 = a_3 + 2 \cdot 3 = 7 + 6 = 13$$ Różnice między wyrazami to 2, 4, 6 - nie są stałe, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Żeby dostać wzór ogólny, dodajemy wszystkie przyrosty od \(a_1\) do \(a_n\): $$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k = 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 1 + n(n-1) = n^2 - n + 1$$ Sprawdzenie: \(a_1 = 1 - 1 + 1 = 1\), \(a_3 = 9 - 3 + 1 = 7\), \(a_4 = 16 - 4 + 1 = 13\). Wszystko gra. Skorzystaliśmy tu ze wzoru na sumę kolejnych liczb naturalnych, który poznasz dokładniej we wpisie [jak obliczyć sumę ciągu](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego). ## Zadania na dowód - wykaż, że ciąg jest arytmetyczny Bardzo lubiany typ zadania otwartego: dostajesz wzór ogólny i masz wykazać, że ciąg jest arytmetyczny (albo geometryczny), a następnie zapisać go rekurencyjnie. Sztuczka jest prosta: policz różnicę \(a_{n+1} - a_n\) i pokaż, że wychodzi stała. ### Przykład 6 Wykaż, że ciąg \(a_n = 2n + 3\) jest arytmetyczny, a następnie zapisz go wzorem rekurencyjnym. Liczymy różnicę dwóch sąsiednich wyrazów: $$a_{n+1} - a_n = \big(2(n+1) + 3\big) - (2n + 3) = 2n + 2 + 3 - 2n - 3 = 2$$ Różnica jest stała i równa 2, niezależnie od \(n\) - to dowodzi, że ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r = 2\). Pierwszy wyraz: \(a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5\). Zatem wzór rekurencyjny to: $$a_1 = 5, \qquad a_{n+1} = a_n + 2$$ Zwróć uwagę, że to jest odwrotność tego, co robiliśmy w przykładzie 3: tam z rekurencji szliśmy do wzoru ogólnego, tu ze wzoru ogólnego do rekurencji. Maturzysta musi umieć poruszać się w obie strony. Więcej o pisaniu dowodów krok po kroku znajdziesz we wpisie [ciągi - suma, monotoniczność, zadania otwarte](/ciagi-na-maturze-suma-ciagu-monotonicznosc-zadania-otwarte). ## Ciąg z dwoma wyrazami początkowymi Czasem reguła odwołuje się do dwóch poprzednich wyrazów - wtedy zadanie podaje dwa pierwsze wyrazy. Najsłynniejszy przykład to ciąg Fibonacciego: \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1\), \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\). Każdy wyraz to suma dwóch poprzednich: \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots\). Na maturze podstawowej takie ciągi pojawiają się rzadko i prawie zawsze wystarczy policzyć kilka wyrazów, bo wzór ogólny dla rekurencji dwuwyrazowych jest skomplikowany i wykracza poza wymagania. ### Przykład 7 Dany ciąg: \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\), \(a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n\). Oblicz \(a_3\) i \(a_4\). $$a_3 = 2a_2 - a_1 = 2 \cdot 5 - 2 = 8$$ $$a_4 = 2a_3 - a_2 = 2 \cdot 8 - 5 = 11$$ Wyrazy to \(2, 5, 8, 11, \dots\) - rosną co 3, więc to w istocie ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Reguła \(a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n\) to zresztą ukryty warunek na ciąg arytmetyczny: po przekształceniu daje \(a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+2}}{2}\), czyli każdy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. To bardzo lubiany trop w zadaniach na dowód - jeśli widzisz, że wyraz środkowy jest średnią dwóch skrajnych, masz ciąg arytmetyczny. ## Rekurencja w zadaniach praktycznych Rekurencja to nie tylko abstrakcja - opisuje realne procesy, w których stan w kolejnym kroku zależy od poprzedniego. Najlepszy przykład to procent składany. Jeśli wpłacasz kapitał i co roku dopisywane są odsetki \(p\%\), to stan konta tworzy ciąg geometryczny dany rekurencyjnie: \(K_{n+1} = K_n \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\). To dokładnie reguła ciągu geometrycznego o ilorazie \(q = 1 + \frac{p}{100}\), więc po \(n\) latach \(K_n = K_0 \cdot q^{\,n}\). Rozwijamy ten wątek we wpisie [procent składany - wzór, zadania, odsetki](/procent-skladany-matura-wzor-zadania-odsetki). ### Przykład 8 Na lokatę wpłacono 1000 zł przy oprocentowaniu 5% rocznie z kapitalizacją roczną. Zapisz stan konta wzorem rekurencyjnym i oblicz, ile będzie po dwóch latach. Stan początkowy \(K_0 = 1000\), reguła \(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}05\). Liczymy: $$K_1 = 1000 \cdot 1{,}05 = 1050, \qquad K_2 = 1050 \cdot 1{,}05 = 1102{,}5$$ Po dwóch latach na koncie będzie 1102,50 zł. Wzór ogólny \(K_n = 1000 \cdot 1{,}05^{\,n}\) daje to samo: \(K_2 = 1000 \cdot 1{,}05^2 = 1000 \cdot 1{,}1025 = 1102{,}5\). To pokazuje, że rozpoznanie ciągu geometrycznego w rekurencji od razu daje wygodny wzór ogólny, którym policzysz stan konta po dowolnej liczbie lat bez wypisywania wszystkich kroków. ## Najczęstsze pytania o ciągi rekurencyjne ### Czy z każdej rekurencji da się wyznaczyć wzór ogólny? W teorii często tak, ale na maturze podstawowej masz do czynienia tylko z trzema wygodnymi przypadkami: ciąg arytmetyczny (dodawanie stałej), ciąg geometryczny (mnożenie przez stałą) i sumowanie prostych przyrostów. Jeśli reguła jest bardziej skomplikowana, zadanie prawie zawsze prosi tylko o kilka pierwszych wyrazów. ### Jak odróżnić ciąg arytmetyczny od geometrycznego w rekurencji? Patrz na operację: jeśli do poprzedniego wyrazu coś dodajesz, to kandydat na ciąg arytmetyczny; jeśli przez coś mnożysz, to kandydat na geometryczny. Potem sprawdzasz, czy ta dodawana lub mnożona liczba jest stała - jeśli zależy od \(n\), żaden z tych dwóch typów nie wchodzi w grę. ### Czy wyraz początkowy zawsze ma indeks 1? Nie. Czasem ciąg startuje od \(a_0\) - na przykład w zadaniach z procentem składanym, gdzie \(K_0\) to kapitał na starcie. Zawsze sprawdź w treści, od którego indeksu zaczyna się ciąg, bo to wpływa na to, jak zapiszesz wzór ogólny. ## Typowe pułapki i błędy Pierwsza pułapka to założenie, że każdy ciąg rekurencyjny jest arytmetyczny. Nieprawda - tylko wtedy, gdy do poprzedniego wyrazu dodajesz stałą liczbę. Jeśli dodajesz coś zależnego od \(n\) (jak \(2n\)), różnica się zmienia i ciąg arytmetyczny nie jest. Druga pułapka to błędy w indeksach - reguła \(a_{n+1} = a_n + r\) oznacza, że \(a_2\) liczysz, podstawiając \(n = 1\), a nie \(n = 2\). Trzecia: przy zamianie rekurencji na wzór ogólny uczniowie piszą \(a_n = a_1 + n \cdot r\) zamiast \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\) - to zgubienie jednej różnicy psuje cały wynik. Czwarta: mylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym, czyli dodawanie tam, gdzie trzeba mnożyć. Najlepsza obrona to zawsze policzyć trzy, cztery pierwsze wyrazy z reguły rekurencyjnej i porównać je z tym, co daje wyznaczony wzór ogólny. Jeśli się zgadzają, wzór jest prawie na pewno dobry. To ta sama zasada weryfikacji, o której piszemy w [jak sprawdzać odpowiedzi na maturze](/jak-sprawdzac-odpowiedzi-na-maturze-z-matematyki-10-metod-weryfikacji). ## Powiązane tematy warto powtórzyć razem Rekurencja to brama do całego działu ciągów. Po niej naturalnie przychodzą: [wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego](/jak-obliczyc-n-ty-wyraz-ciagu-arytmetycznego-wzor-zadania), [ciąg geometryczny](/ciag-geometryczny-matura-wzor-suma-iloraz-zadania) oraz [suma ciągu](/jak-obliczyc-sume-ciagu-arytmetycznego-geometrycznego). A jeśli chcesz na chwilę przełączyć się na geometrię, zerknij na nasz świeży wpis [symetria w geometrii analitycznej](/punkt-symetryczny-symetria-osiowa-srodkowa-wspolrzedne-matura) - to drugi temat, który łatwo opanować, a daje pewne punkty. ## Co musisz umieć - checklist - Odczytać wzór rekurencyjny: wyraz początkowy plus reguła przejścia. - Policzyć kolejne wyrazy, podstawiając \(n = 1, 2, 3, \dots\) (uwaga na indeksy). - Rozpoznać ciąg arytmetyczny: reguła \(a_{n+1} = a_n + r\) ze stałą \(r\). - Rozpoznać ciąg geometryczny: reguła \(a_{n+1} = q \cdot a_n\) ze stałym \(q\). - Wyznaczyć wzór ogólny: \(a_n = a_1 + (n-1)r\) lub \(a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}\). - Poradzić sobie z regułą \(a_{n+1} = a_n + f(n)\) metodą sumowania przyrostów. - Wykazać, że ciąg jest arytmetyczny, licząc \(a_{n+1} - a_n\). - Sprawdzić wynik, porównując pierwsze wyrazy z wzorem ogólnym. Najlepszy sposób, żeby to utrwalić, to rozwiązać kilkanaście zadań z prawdziwych arkuszy. Wejdź na stronę działu [ciągi](/topics/ciagi) i ćwicz rekurencję, aż przestanie cię stresować. Dasz radę. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)