---
route: /cechy-przystawania-trojkatow-bbb-bkb-kbk-dowody-matura
title: Cechy przystawania trójkątów BBB, BKB i KBK - jak udowodnić, że trójkąty są przystające (zadania maturalne)
description: Cechy przystawania trójkątów BBB, BKB i KBK: jak wybrać cechę, skąd wziąć równości do dowodu i 5 zadań maturalnych typu wykaż rozwiązanych krok po kroku.
type: task_solution
category: Planimetria
tags: cechy przystawania trójkątów, przystawanie trójkątów, cecha bok kąt bok, cecha kąt bok kąt, cecha bok bok bok, trójkąty przystające zadania, trójkąty przystające dowód, wykaż że odcinki są równe, dowody geometryczne matura, planimetria matura podstawowa
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-10-03T07:18:32.918+00:00
updated: 2026-10-03T07:22:45.255+00:00
---
# Cechy przystawania trójkątów BBB, BKB i KBK - jak udowodnić, że trójkąty są przystające (zadania maturalne)
Dwa trójkąty są przystające, gdy mają odpowiednio równe wszystkie trzy boki i wszystkie trzy kąty, czyli jeden można nałożyć na drugi tak, że pokryją się w całości. Żeby to wykazać, nie sprawdzasz sześciu równości. Wystarczy jedna z trzech cech przystawania: **BBB** (trzy pary równych boków), **BKB** (dwie pary równych boków i równy kąt między nimi) albo **KBK** (para równych boków i równe kąty przy obu końcach tego boku). Z przystawania wynika, że pozostałe odpowiadające sobie boki i kąty też są równe, i właśnie tak rozwiązuje się zadania typu „Wykaż, że \(|AD| = |BE|\)”.

Na maturze podstawowej cechy przystawania są narzędziem w zadaniach dowodowych z planimetrii. W [maju 2010](/exams/matura-maj-2010) (zadanie 28) trzeba było wykazać równość odcinków w dwóch trójkątach prostokątnych równoramiennych, w [czerwcu 2019](/exams/matura-czerwiec-2019) (zadanie 28) równość odległości dwóch punktów od prostej, a w [maju 2014](/exams/matura-maj-2014) (zadanie 31) zależność między kątami w trójkącie wpisanym w okrąg. Każde z tych zadań było warte 2 punkty i każde rozwiązujesz tak samo: znajdujesz dwa trójkąty przystające i nazywasz cechę. Podobieństwo, czyli „ten sam kształt, inna wielkość”, ma osobny wpis o [cechach podobieństwa trójkątów](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). Tutaj chodzi o przypadek, w którym skala jest równa \(1\).

## Co to znaczy, że trójkąty są przystające

Trójkąty \(ABC\) i \(KLM\) są przystające, gdy \(|AB| = |KL|\), \(|BC| = |LM|\), \(|CA| = |MK|\) oraz \(\angle A = \angle K\), \(\angle B = \angle L\), \(\angle C = \angle M\). Zapisujesz to jako \(\triangle ABC \equiv \triangle KLM\). Kolejność liter ma znaczenie: pierwszy wierzchołek odpowiada pierwszemu, drugi drugiemu, trzeci trzeciemu. Zapis \(\triangle ABC \equiv \triangle KLM\) mówi więc, że bok \(AB\) odpowiada bokowi \(KL\), a kąt przy \(C\) kątowi przy \(M\).

Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa ze skalą \(k = 1\). Trójkąty przystające nie muszą leżeć obok siebie ani być tak samo obrócone. Jeden może być lustrzanym odbiciem drugiego, a nadal są przystające.

## Trzy cechy przystawania trójkątów

Cecha BBB (bok-bok-bok): jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe odpowiednio trzem bokom drugiego, trójkąty są przystające. Trzy długości wyznaczają trójkąt jednoznacznie, więc kąty nie mają tu wyboru.

Cecha BKB (bok-kąt-bok): jeśli dwa boki jednego trójkąta i kąt **między nimi** są równe odpowiednio dwóm bokom drugiego trójkąta i kątowi między nimi, trójkąty są przystające. Słowo „między” jest w tej cesze najważniejsze: wierzchołek kąta musi być wspólnym końcem obu boków.

Cecha KBK (kąt-bok-kąt): jeśli bok jednego trójkąta i dwa kąty **przy jego końcach** są równe odpowiednio bokowi drugiego trójkąta i dwóm kątom przy jego końcach, trójkąty są przystające.

Przy KBK przydaje się jedna obserwacja. Suma kątów w trójkącie wynosi \(180^\circ\), więc jeśli dwie pary kątów są równe, to trzecia też. Masz wtedy równe wszystkie kąty i wystarczy jedna para odpowiadających sobie boków, czyli boków leżących naprzeciw równych kątów. Dlatego gdy w dowodzie masz dwa równe kąty i bok, który nie leży między nimi, najpierw dopisz równość trzecich kątów, a dopiero potem powołaj się na KBK.

## Dlaczego nie ma cechy BBK ani KKK

Trzy równe kąty (KKK) dają tylko podobieństwo. Trójkąt równoboczny o boku \(1\) i trójkąt równoboczny o boku \(5\) mają te same kąty, ale nie są przystające.

Dwa boki i kąt, który **nie leży między nimi** (BBK), też nie wystarczą. Weź kąt \(\angle A = 30^\circ\), bok \(|AB| = 8\) i bok \(|BC| = 5\). Z twierdzenia cosinusów dla boku \(BC\) dostajesz równanie na \(x = |AC|\):

$$25 = 64 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos 30^\circ \quad \Rightarrow \quad x^2 - 8\sqrt{3}\,x + 39 = 0$$

Wyróżnik jest dodatni, \(\Delta = 192 - 156 = 36\), więc równanie ma dwa rozwiązania: \(x = 4\sqrt{3} + 3\) i \(x = 4\sqrt{3} - 3\). Dwa różne trójkąty mają te same dane BBK, więc z takich danych przystawania nie wyprowadzisz. To typowy błąd w dowodach: wypisane są dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich, a obok podpis „cecha BKB”.

## Skąd brać równości w dowodzie

Zanim powołasz się na cechę, potrzebujesz trzech równości, a każda musi mieć uzasadnienie. W zadaniach maturalnych biorą się prawie zawsze z tych źródeł:

- wspólny bok dwóch trójkątów,
- kąty wierzchołkowe przy przecięciu dwóch prostych,
- boki tej samej figury: kwadratu, trójkąta równobocznego, rombu, ramiona trójkąta równoramiennego,
- środek odcinka, który dzieli go na dwie równe części,
- kąty naprzemianległe albo odpowiadające przy prostych równoległych,
- promienie tego samego okręgu,
- kąty, które uzupełniają ten sam kąt do \(90^\circ\) albo do \(180^\circ\).

Ostatnie źródło łatwo przegapić. Jeśli \(\alpha + \beta = 90^\circ\) i \(\gamma + \beta = 90^\circ\), to \(\alpha = \gamma\), choć żadnego z tych kątów nie znasz. Tak samo działają kąty przyległe: kąty przyległe do równych kątów są równe. Więcej o kątach przy prostych równoległych i w okręgu znajdziesz we wpisie o [kątach w figurach na maturze](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

Przystawanie stoi też za twierdzeniem o odcinkach stycznych. Jeśli z punktu \(P\) poprowadzisz dwie styczne do okręgu o środku \(O\), dotykające go w punktach \(A\) i \(B\), to trójkąty \(OAP\) i \(OBP\) są prostokątne, bo promień jest prostopadły do stycznej. Mają wspólną przeciwprostokątną \(OP\) i równe przyprostokątne \(|OA| = |OB|\), więc z twierdzenia Pitagorasa także \(|PA| = |PB|\) i trójkąty są przystające z cechy BBB. Z tej równości korzystasz przy okręgu wpisanym w trójkąt, opisanym we wpisie o [promieniu okręgu wpisanego i opisanego](/promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania).

## Jak zapisać dowód z przystawaniem

Dowód z trójkątami przystającymi ma zawsze ten sam szkielet:

1. Nazwij dwa trójkąty, w których leżą odcinki albo kąty z tezy. Odcinki z tezy mają być w nich odpowiadającymi sobie bokami.
2. Wypisz trzy równości i przy każdej napisz, z czego wynika.
3. Sprawdź układ: przy BKB kąt leży między bokami, przy KBK bok leży między kątami. Nazwij cechę.
4. Zapisz wniosek: z przystawania trójkątów wynika równość odpowiadających boków, czyli teza.

Sama obserwacja, że trójkąty wyglądają na przystające, nie jest dowodem, a rozumowanie bez wskazania cechy jest niepełne. Ogólne zasady zapisu dowodu, w tym jak oddzielić założenia od tezy, opisuje wpis [jak pisać dowody matematyczne na maturze](/dowody-matematyczne-na-maturze-jak-pisac).

## Wzory

Cecha bok-bok-bok (BBB):

$$|AB| = |KL|,\ |BC| = |LM|,\ |CA| = |MK| \ \Rightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle KLM$$

Cecha bok-kąt-bok (BKB):

$$|AB| = |KL|,\ \angle B = \angle L,\ |BC| = |LM| \ \Rightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle KLM$$

Cecha kąt-bok-kąt (KBK):

$$\angle A = \angle K,\ |AB| = |KL|,\ \angle B = \angle L \ \Rightarrow\ \triangle ABC \equiv \triangle KLM$$

Trzeci kąt z sumy kątów:

$$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$$

## Przykład 1: Który warunek daje przystawanie

**Treść:** Trójkąty \(ABC\) i \(KLM\) spełniają warunki \(|AB| = |KL|\) oraz \(|AC| = |KM|\). Który dodatkowy warunek gwarantuje, że te trójkąty są przystające?

- A) \(\angle B = \angle L\)
- B) \(\angle A = \angle K\)
- C) \(\angle C = \angle M\)
- D) \(|AB| = |AC|\)

**Krok 1: Znajdź kąt między danymi bokami.** Boki \(AB\) i \(AC\) mają wspólny koniec w punkcie \(A\), więc kąt między nimi to \(\angle A\). W drugim trójkącie boki \(KL\) i \(KM\) wychodzą z punktu \(K\).

**Krok 2: Dopasuj cechę.** Równość \(\angle A = \angle K\) uzupełnia dane do cechy BKB. Kąty przy \(B\) i \(C\) nie leżą między danymi bokami, więc z nimi dostajesz układ BBK, który przystawania nie gwarantuje. Warunek D dotyczy tylko jednego trójkąta i nic nie mówi o drugim.

**Odpowiedź: B.** Przy dwóch parach równych boków potrzebny jest kąt o wierzchołku we wspólnym końcu tych boków.

## Przykład 2: Dwa trójkąty prostokątne równoramienne (matura maj 2010, zadanie 28)

**Treść:** Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a kąt prosty w obu trójkątach leży przy wierzchołku \(C\). Kąty proste \(ACB\) i \(DCE\) zachodzą na siebie: punkt \(D\) leży wewnątrz kąta \(ACB\), a punkt \(B\) wewnątrz kąta \(DCE\). Wykaż, że \(|AD| = |BE|\).

**Krok 1: Wybierz trójkąty.** Odcinek \(AD\) jest bokiem trójkąta \(ACD\), a odcinek \(BE\) bokiem trójkąta \(BCE\). Wykażesz, że te trójkąty są przystające.

**Krok 2: Dwie pary boków.** Trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są równoramienne, a ich ramiona wychodzą z wierzchołka kąta prostego \(C\):

$$|AC| = |BC|, \qquad |CD| = |CE|$$

**Krok 3: Kąt między tymi bokami.** Oznacz \(\beta = \angle BCD\). Kąt \(ACD\) to kąt prosty \(ACB\) bez kąta \(\beta\), a kąt \(BCE\) to kąt prosty \(DCE\) bez tego samego kąta \(\beta\):

$$\angle ACD = 90^\circ - \beta = \angle BCE$$

**Krok 4: Cecha i wniosek.** W trójkątach \(ACD\) i \(BCE\) masz \(|AC| = |BC|\), \(\angle ACD = \angle BCE\) i \(|CD| = |CE|\), a kąt leży między tymi bokami. Z cechy BKB wynika, że \(\triangle ACD \equiv \triangle BCE\), więc boki leżące naprzeciw równych kątów przy \(C\) są równe.

**Wniosek:** \(|AD| = |BE|\), co kończy dowód. Kąta \(\beta\) nie trzeba znać: wystarczy, że oba kąty powstają z kąta prostego przez odjęcie tego samego kąta.

## Przykład 3: Odległości dwóch punktów od prostej (matura czerwiec 2019, zadanie 28)

**Treść:** Dany jest trójkąt \(ABC\). Punkt \(S\) jest środkiem boku \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe.

**Krok 1: Dorysuj odległości.** Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego do tej prostej. Niech \(D\) i \(E\) będą rzutami prostokątnymi punktów \(A\) i \(B\) na prostą \(CS\). Jeśli prosta \(CS\) jest prostopadła do \(AB\), oba rzuty wypadają w punkcie \(S\) i obie odległości są równe \(|AS| = |BS|\). W pozostałych przypadkach powstają dwa trójkąty prostokątne \(ADS\) i \(BES\).

**Krok 2: Dwie pary kątów.** Kąty \(ADS\) i \(BES\) są proste. Kąty \(ASD\) i \(BSE\) są wierzchołkowe, bo powstają przy przecięciu prostych \(AB\) i \(CS\) w punkcie \(S\). Z sumy kątów w trójkącie równe są też trzecie kąty:

$$\angle DAS = 90^\circ - \angle ASD = 90^\circ - \angle BSE = \angle EBS$$

**Krok 3: Bok między kątami.** Punkt \(S\) jest środkiem \(AB\), więc \(|AS| = |BS|\). Bok \(AS\) leży między kątami \(DAS\) i \(ASD\), a bok \(BS\) między kątami \(EBS\) i \(BSE\).

**Krok 4: Cecha i wniosek.** Z cechy KBK wynika, że \(\triangle ADS \equiv \triangle BES\), więc odpowiadające sobie przyprostokątne są równe: \(|AD| = |BE|\).

**Wniosek:** odległości punktów \(A\) i \(B\) od prostej \(CS\) są równe. Krok 2 z trzecim kątem nie jest ozdobą: bok \(AS\) leży naprzeciw kąta prostego, a nie między nim a kątem przy \(S\), więc bez trzecich kątów cecha KBK by nie pasowała.

## Przykład 4: Kąt środkowy w trójkącie równoramiennym (matura maj 2014, zadanie 31)

**Treść:** Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\) o ramionach \(AC\) i \(BC\) leży wewnątrz tego trójkąta. Wykaż, że miara kąta wypukłego \(ASB\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(SBC\).

**Krok 1: Dorysuj promienie.** Połącz punkt \(S\) z wierzchołkami \(A\), \(B\) i \(C\). Odcinki \(SA\), \(SB\) i \(SC\) są promieniami okręgu opisanego, więc mają tę samą długość \(R\).

**Krok 2: Trójkąty przystające z cechy BBB.** W trójkątach \(ASC\) i \(BSC\) masz \(|SA| = |SB| = R\), \(|AC| = |BC|\) (ramiona), a bok \(SC\) jest wspólny. Z cechy BBB wynika, że \(\triangle ASC \equiv \triangle BSC\), więc \(\angle SCA = \angle SCB\).

**Krok 3: Kąty w trójkątach równoramiennych.** Oznacz \(\alpha = \angle SBC\). Trójkąt \(BSC\) jest równoramienny, bo \(|SB| = |SC|\), więc \(\angle SCB = \alpha\) i \(\angle BSC = 180^\circ - 2\alpha\). Z kroku 2 \(\angle SCA = \alpha\), a trójkąt \(ASC\) też jest równoramienny, więc \(\angle SAC = \alpha\) i \(\angle ASC = 180^\circ - 2\alpha\).

**Krok 4: Kąty wokół punktu S.** Punkt \(S\) leży wewnątrz trójkąta, więc kąty \(ASB\), \(BSC\) i \(CSA\) wypełniają kąt pełny:

$$\angle ASB = 360^\circ - 2 \cdot (180^\circ - 2\alpha) = 4\alpha$$

**Wniosek:** \(\angle ASB = 4 \cdot \angle SBC\). Założenie, że \(S\) leży wewnątrz trójkąta, było potrzebne dokładnie w kroku 4.

## Przykład 5: Odcinek równoległy w trójkącie równobocznym (matura próbna marzec 2012, zadanie 25)

**Treść:** Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(N\) leży na przedłużeniu boku \(BC\) poza punkt \(C\), a na boku \(AC\) wybrano punkt \(M\) tak, że \(|AM| = |CN|\). Wykaż, że \(|BM| = |MN|\).

**Krok 1: Dorysuj odcinek równoległy.** Poprowadź przez \(M\) prostą równoległą do \(AB\). Przecina ona bok \(BC\) w punkcie \(D\). Kąty trójkąta \(MDC\) są równe kątom trójkąta \(ABC\), bo to kąty odpowiadające przy prostych równoległych, więc trójkąt \(MDC\) jest równoboczny:

$$|MD| = |DC| = |CM|$$

**Krok 2: Równość odcinków na boku BC.** Boki trójkąta \(ABC\) są równe, więc

$$|BD| = |BC| - |DC| = |AC| - |CM| = |AM| = |CN|$$

**Krok 3: Równe kąty rozwarte.** Kąt \(BDM\) jest przyległy do kąta \(MDC\) o mierze \(60^\circ\), a kąt \(MCN\) jest przyległy do kąta \(ACB\) o mierze \(60^\circ\):

$$\angle BDM = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ = \angle MCN$$

**Krok 4: Cecha BKB.** W trójkątach \(BDM\) i \(NCM\) masz \(|BD| = |NC|\), \(\angle BDM = \angle NCM\) i \(|DM| = |CM|\), a kąt leży między tymi bokami. Z cechy BKB wynika, że \(\triangle BDM \equiv \triangle NCM\), więc boki naprzeciw kątów \(120^\circ\) są równe.

**Wniosek:** \(|BM| = |MN|\). Kluczowy był odcinek pomocniczy \(MD\): bez niego na rysunku nie ma drugiego trójkąta do porównania.

## Sprawdź się na zadaniach CKE

Dwa zadania dowodowe do samodzielnego rozwiązania. W pierwszym szukasz trójkątów przystających z cechy BKB dwa razy: najpierw trzech małych trójkątów przy wierzchołkach trójkąta równobocznego, a potem trzech trójkątów, których bokami są boki trójkąta \(KGE\). W drugim zacznij od trójkątów \(ADC\) i \(DBE\) i od równych kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego \(CDB\).

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2011-28

Zadanie z bazy: /task/cke-2015-2023-pp-103

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Kąt, który nie leży między bokami. Dwa boki i kąt przy jednym z nich, ale nie między nimi, to układ BBK, a nie BKB. Zanim napiszesz nazwę cechy, sprawdź, czy wierzchołek kąta jest wspólnym końcem obu boków.

**Pułapka 2:** Trzy równe kąty jako dowód przystawania. Równe kąty dają podobieństwo. Do przystawania potrzebujesz jeszcze jednej pary odpowiadających sobie boków.

**Pułapka 3:** Zła kolejność wierzchołków. Zapis \(\triangle ACD \equiv \triangle BCE\) mówi, że \(A\) odpowiada \(B\), a \(D\) odpowiada \(E\). Jeśli przestawisz litery, wniosek o równych bokach może wyjść fałszywy.

**Pułapka 4:** Równość bez uzasadnienia. Zdanie „z rysunku widać, że kąty są równe” nie jest argumentem. Każda z trzech równości potrzebuje powodu: wspólny bok, kąty wierzchołkowe, środek odcinka, promień, bok kwadratu.

**Wskazówka:** Gdy na rysunku nie widać dwóch trójkątów, które zawierałyby odcinki z tezy, dorysuj odcinek pomocniczy: promień, wysokość albo prostą równoległą do boku. Tak było w przykładach 4 i 5.

## Co musisz umieć

- Wymienić trzy cechy przystawania trójkątów i wskazać, który kąt leży między bokami w cesze BKB.
- Odróżnić przystawanie od podobieństwa i wiedzieć, że ani BBK, ani KKK nie wystarczą.
- Znaleźć dwa trójkąty, których odpowiadającymi bokami są odcinki z tezy.
- Uzasadnić każdą równość wspólnym bokiem, kątami wierzchołkowymi, środkiem odcinka, promieniem albo własnością figury.
- Wyznaczyć trzeci kąt z sumy kątów, żeby dostać cechę KBK.
- Dorysować odcinek pomocniczy, gdy trójkątów przystających nie ma na rysunku.
- Zapisać wniosek: z przystawania trójkątów wynika równość odpowiadających boków.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z planimetrii z arkuszy maturalnych, w których przydają się odcinki styczne, trójkąty równoramienne i porównywanie trójkątów. Wszystkie zadania z geometrii płaskiej znajdziesz w dziale [planimetria](/topics/planimetria), a rozwiązania innych zadań typu „wykaż” we wpisie o [zadaniach dowodowych z matury](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jakie są cechy przystawania trójkątów?

Są trzy: BBB, gdy trzy boki jednego trójkąta są równe trzem bokom drugiego, BKB, gdy równe są dwa boki i kąt między nimi, oraz KBK, gdy równy jest bok i dwa kąty przy jego końcach. Wystarczy spełnić jedną z nich.

### Czym różnią się trójkąty przystające od podobnych?

Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć różną wielkość: ich boki są proporcjonalne w skali \(k\). Trójkąty przystające mają ten sam kształt i tę samą wielkość, czyli są podobne w skali \(k = 1\).

### Czy dwa boki i dowolny kąt wystarczą do przystawania?

Nie. Kąt musi leżeć między tymi bokami. Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nich mogą wyznaczać dwa różne trójkąty, więc taki zestaw danych przystawania nie gwarantuje.

### Czy trójkąty prostokątne mają osobną cechę przystawania?

Nie potrzebują jej. Jeśli dwa trójkąty prostokątne mają równe przeciwprostokątne i jedną parę równych przyprostokątnych, to z twierdzenia Pitagorasa równe są też drugie przyprostokątne i działa cecha BBB.

### Jak zapisać dowód przystawania trójkątów na maturze?

Nazwij dwa trójkąty, wypisz trzy równości z uzasadnieniem każdej, wskaż cechę przystawania i zapisz wniosek o równości odpowiadających boków albo kątów. Sam rysunek i stwierdzenie, że trójkąty wyglądają tak samo, nie są dowodem.

### Czy trójkąty przystające muszą być tak samo ułożone?

Nie. Jeden może być przesunięty, obrócony albo odbity lustrzanie względem drugiego. Liczy się tylko to, że odpowiadające sobie boki i kąty są równe.